雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程

雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程2021/5/911.橢圓的定義和等于常數(shù)2a(2a>|F1F2|>0)的點(diǎn)的軌跡.平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的2.引入問題：差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么呢？平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的復(fù)習(xí)|MF1|+|MF2|=2a(

2a>|F1F2|>0)

2021/5/92①如圖(A)，|MF1|-|MF2|=常數(shù)②如圖(B)，上面兩條合起來叫做雙曲線由①②可得：||MF1|-|MF2||=常數(shù)

（差的絕對值）|MF2|-|MF1|=常數(shù)2021/5/93雙曲線在生活中☆.☆2021/5/942021/5/952021/5/96①兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2——雙曲線的焦點(diǎn);②|F1F2|=2c——焦距.（1）2a<|F1F2|

；oF2F1M

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于︱F1F2︱)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.（2）2a>0；雙曲線定義思考：（1）若2a=|F1F2|,則軌跡是？（2）若2a>|F1F2|,則軌跡是？說明（3）若2a=0,則軌跡是？

||MF1|-|MF2||

=2a(1)兩條射線(2)不表示任何軌跡(3)線段F1F2的垂直平分線2021/5/97如何建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系？原則：盡可能使方程的形式簡單、運(yùn)算簡單；

(一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標(biāo)軸.)?探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案OxyOxyOxy方案一Oxy(對稱、“簡潔”)Oxy方案二2021/5/98F2F1MxOy求曲線方程的步驟：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1.建系.以F1,F2所在的直線為x軸，線段F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系2.設(shè)點(diǎn)．設(shè)M（x,y）,則F1(-c,0),F2(c,0)3.列式|MF1|-|MF2|=±2a4.化簡2021/5/99此即為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程2021/5/910F2F1MxOyOMF2F1xy若建系時(shí),焦點(diǎn)在y軸上呢?2021/5/911看前的系數(shù)，哪一個(gè)為正，則在哪一個(gè)軸上2、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有何區(qū)別與聯(lián)系?1、如何判斷雙曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上？問題2021/5/912雙曲線定義雙曲線圖象標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)a.b.c

的關(guān)系

||MF1|-|MF2||=2a（０<2a<|F1F2|）F(±c,0)

F(0,±c)2021/5/913定義

方程

焦點(diǎn)a.b.c的關(guān)系F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2雙曲線與橢圓之間的區(qū)別與聯(lián)系||MF1|－|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a橢圓雙曲線F（0，±c）F（0，±c）2021/5/9141.過雙曲線的焦點(diǎn)且垂直x軸的弦的長度為

.2.y2-2x2=1的焦點(diǎn)為

、焦距是

.練習(xí)鞏固:3.方程(2+

)x2+(1+

)y2=1表示雙曲線的充要條件是

.-2<<-12021/5/915方程表示的曲線是雙曲線方程表示的曲線是雙曲線的右支方程表示的曲線是x軸上分別以F1和F2為端點(diǎn)，指向x軸的負(fù)半軸和正半軸的兩條射線。練習(xí)鞏固:2021/5/916例2題型二利用雙曲線的定義求軌跡問題動圓M與圓C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且與圓C2：(x－3)2＋y2＝1內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程．2021/5/9172021/5/918【名師點(diǎn)評】利用定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，首先找出兩個(gè)定點(diǎn)(即雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn))；然后再根據(jù)條件尋找動點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差(或差的絕對值)是否為常數(shù)，這樣確定c和a的值，再由c2＝a2＋b2求b2，進(jìn)而求雙曲線的方程．2021/5/9192021/5/920課本例22021/5/921

使A、B兩點(diǎn)在x軸上，并且點(diǎn)O與線段AB的中點(diǎn)重合解:由聲速及在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,可知A地與爆炸點(diǎn)的距離比B地與爆炸點(diǎn)的距離遠(yuǎn)680m.因?yàn)閨AB|>680m,所以爆炸點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線在靠近B處的一支上.

例3.(課本第54頁例)已知A,B兩地相距800m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,且聲速為340m/s,求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程.如圖所示，建立直角坐標(biāo)系xOy,設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，則即2a=680，a=340xyoPBA因此炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程為2021/5/922答:再增設(shè)一個(gè)觀測點(diǎn)C，利用B、C（或A、C）兩處測得的爆炸聲的時(shí)間差，可以求出另一個(gè)雙曲線的方程，解這兩個(gè)方程組成的方程組，就能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置.這是雙曲線的一個(gè)重要應(yīng)用.2021/5/923例2:如果方程表示雙曲線，求m的取值范圍.解:方程可以表示哪些曲線？_____________.思考：2021/5/924例32021/5/9252021/5/926【名師點(diǎn)評】雙曲線的定義是解決與雙曲線有關(guān)的問題的主要依據(jù)，在應(yīng)用時(shí)，一是注意條件||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)的使用，二是注意與三角形知識相結(jié)合，經(jīng)常利用正、余弦定理，同時(shí)要注意整體運(yùn)算思想的應(yīng)用．2021/5/927跟蹤訓(xùn)練2021/5/9282021/5/929方法感悟1．對雙曲線定義的理解雙曲線定義中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)，不要漏了絕對值符號，當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)表示兩條射線．解題時(shí)，也要注意“絕對值”這一個(gè)條件，若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支．2021/5/9302．雙曲線方程的求法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程包括“定位”和“定量”．“定位”是指除了中心在原點(diǎn)之外，判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，以便使方程的右邊為1時(shí)，確定方程的左邊哪一項(xiàng)為正，哪一項(xiàng)為負(fù)，“定量”是指確定a2，b2的值，即根據(jù)條件列出關(guān)于a2和b2的方程組，解得a2和b2的具體數(shù)值后，再按位置特征寫出標(biāo)準(zhǔn)方程．2021/5/931精彩推薦典例展示易錯警示雙曲線定義運(yùn)用中的誤區(qū)例42021/5/932【常見錯誤】

(1)利用雙曲線定義||PF1|－|PF2||＝8求|PF2|時(shí)，易忽略絕對值號，而錯選A.(2)根據(jù)雙曲線的定義可得到答案C，但由于雙曲線上的點(diǎn)到雙曲線焦點(diǎn)的最小距離是c－a＝6－4＝2，而|PF2|＝1＜2，不合題意，所以應(yīng)該舍去，造成錯誤的原因是忽略雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，沒有檢驗(yàn)|PF1|＋|PF2|＝10＜|F1F2|造成的．2021/5/933【解析】雙曲線的實(shí)軸長為8，由雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝8，所以|9－|PF2||＝8，所以|PF2|＝1或17.因?yàn)閨F1F2|＝12，當(dāng)|PF2|＝1時(shí)，|PF1|＋|PF2|＝10＜|F1F2|，不符合公理“兩點(diǎn)之間線段最短”，應(yīng)舍去．所以|PF2|＝17.【答案】

B2021/5/934【失誤防范】運(yùn)用雙曲線的定義解決相關(guān)問題時(shí)，(1)不能忽略“絕對值”號，以免造成漏解，(2)求出解后，要注意檢驗(yàn)根的合理性，以免出現(xiàn)增根．2