解排列組合應(yīng)用題時(shí)的錯(cuò)判

解排列組合應(yīng)用題時(shí)的錯(cuò)判

在解決問(wèn)題和排列應(yīng)用程序時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)多計(jì)算（包括重復(fù)計(jì)算和不相交的錯(cuò)誤計(jì)算）和遺漏計(jì)算。在這項(xiàng)工作中，我們想找出其根本原因，避免錯(cuò)誤和遺漏。一、不同分法.相同的白子和多個(gè)充法誤排列為組合會(huì)導(dǎo)致漏算,反之會(huì)造成重算.區(qū)別排列組合并不難,但有些情況卻似是而非,似此實(shí)彼,必須謹(jǐn)慎小心以免錯(cuò)判.例14本不同的書分給兩人,每人2本,有多少種不同的分法?錯(cuò)解:首先從4本中任取2本給其中一人,有法.然后把余下的2本給另一人,有法.2人交換所得,有法.因此有種不同的分法.分析:從4本中任取2本給第一人的法中,包括了所有的情況。相應(yīng)地,第二人所得雖是第一人取剩的2本,也必然包括所有的情況,因而交換是不必要的,否則就會(huì)重復(fù).正確答案為:有種不同的分法.例25個(gè)相同的白子和3個(gè)相同的黑子排成一列,可得多少種不同的圖案?錯(cuò)解:先把五個(gè)白子排成一列,因?yàn)榘鬃酉嗤?只有一種排法.然后在每相鄰兩白子間和首末等6個(gè)位置中任取幾個(gè)插入黑子,由于插法不同可得不同的圖案.情況有三:(1)三個(gè)黑子排在一起的,可從6個(gè)位置中任選一個(gè)插入,有法;(2)二個(gè)黑子排在一起,但與另一黑子不相鄰的,可從6個(gè)位置中任選2個(gè)插入,有法;(3)三個(gè)黑子兩兩不相鄰的,可從6個(gè)位置中任選3個(gè)插入,有法.因此可得個(gè)不同圖案.分析:第二種情況所選兩個(gè)位置插入黑子的個(gè)數(shù)并不相等,交換插入的個(gè)數(shù),結(jié)果就發(fā)生變化,這是誤排列為組合,應(yīng)有法.正確答案為:可得個(gè)不同圖案.二、每一個(gè)個(gè)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)當(dāng)問(wèn)題涉及某方面知識(shí)時(shí),若忽略了該知識(shí)的有關(guān)性質(zhì),就可能出錯(cuò).例3從1,2,3,4,7,9等6個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)作為一個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù),可得多少個(gè)不同的對(duì)數(shù)值?錯(cuò)解:1不能作為一個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù),且1的對(duì)數(shù)恒為0.所以當(dāng)真數(shù)為1時(shí),不論以何數(shù)為底數(shù),只能得到一個(gè)對(duì)數(shù)值;若真數(shù)不是1,可從其余的5個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)作為底數(shù)和真數(shù),有種不同的排法.因此可得個(gè)不同的對(duì)數(shù)值.分析:這里忽略了性質(zhì):和(a≠b).從而導(dǎo)致了下列四次重復(fù)計(jì)算:正確答案應(yīng)為:可得個(gè)不同對(duì)數(shù)值.三甲、乙被選前是否為甲種?對(duì)題目中的關(guān)鍵字眼要徹底搞清其含意,防止片面理解.例4從7人中選出3人分別負(fù)責(zé)學(xué)習(xí),宣傳,文體.若甲、乙不都入選,有多少種不同的選法?錯(cuò)解:若甲被選乙不被選,有種選法;若乙被選甲不被選,也有種選法.因此有種不同選法.分析:“不都入選”是都入選的反面,除上面兩種情況外,還應(yīng)包括甲、乙都不入選的種選法.正確答案為:有。種不同選法.例5從參加決賽的6名運(yùn)動(dòng)員中決出前4名,甲名列乙前的有多少種可能結(jié)果?錯(cuò)解:甲在乙前的有甲名列第一,乙名列第二;甲名列第二,乙名列第三;甲名列第三,乙名列第四.它們都各有種排名法,因此可有種可能的結(jié)果.分析:“甲名列乙前”并不一定要甲、乙相鄰,它還應(yīng)包括:甲名列第一,乙名列第三;甲名列第一,乙名列第四;甲名列第二,乙名列第四.正確答案為:可得種可能的結(jié)果.四、角形頂置上的正三角形在一般情況下能成立的事件,在特殊情況下可能不成立,這往往是解題中的漏洞.例6把正三角形的各邊n等分,過(guò)各分點(diǎn)和三角形的頂點(diǎn)作此三角形各邊的平行線,這些平行線和三角形的邊可以構(gòu)成幾個(gè)正三角形?錯(cuò)解:依題意可得三組平行線,每組有n+1條,從三組中各任取一條可以構(gòu)成一個(gè)正三角形,因此可以構(gòu)成個(gè)正三角形.分析:三組平行線各組取一條所得的3條直線在特殊情況下可交于一點(diǎn)(如三角形頂點(diǎn)),這樣的點(diǎn)共有1+2+3+…+n個(gè).正確答案為:可構(gòu)成個(gè)正三角形.五、共有種排法.分類必須詳盡無(wú)遺,否則就會(huì)漏算;分出的各類不應(yīng)有交叉,否則就會(huì)重復(fù)計(jì)算.例7五人排成一排,甲在排首或乙在排尾的共有多少種排法?(1)甲在排首的,有種排法;(2)乙在排尾的,有種排法.分析:以上分出的兩類有交叉,它們都包括甲在排首同時(shí)乙在排尾的排法而造成重復(fù).下面是一種正確的分類法:(1)甲在排首但乙不在排尾的,有種排法;(2)甲不在排首但乙在排尾的,有種排法;(3)甲在排首同時(shí)乙在排尾的,有種排法.正確答案為:共有種排法.例8∠AOB的兩邊上除頂點(diǎn)O外,OA上還有5點(diǎn),OB上還有4點(diǎn).這10個(gè)點(diǎn)可以連成多少個(gè)三角形?(1)OA上的5點(diǎn)取2點(diǎn),OB上的4點(diǎn)取1點(diǎn),可連成個(gè)三角形;(2)OA上的5點(diǎn)取1點(diǎn),OB上的4點(diǎn)取2點(diǎn),可連成個(gè)三角形.因此可以連成個(gè)三角形分析:這里遺漏了OA上的5點(diǎn)和OB上的4點(diǎn)各取1點(diǎn)這一類,這兩點(diǎn)連同頂點(diǎn)O可以連成三角形,有個(gè).正確答案為:可連成個(gè)三角形.錯(cuò)解二:把頂點(diǎn)O看作OA上的點(diǎn),那么OA上有6點(diǎn),OB上有4點(diǎn).三角形的構(gòu)成分為下列兩類:(1)OA上的6點(diǎn)取2點(diǎn),OB上的4點(diǎn)取1點(diǎn),可連成個(gè)三角形;(2)OA上的6點(diǎn)取1點(diǎn),OB上的4點(diǎn)取2點(diǎn),可連成個(gè)三角形.因此可連成個(gè)三角形.分析:這里滲入了一些三角形不存在的情況而造成誤算,因?yàn)樵贠A上只取1點(diǎn)的前提下,若所取為O點(diǎn),連同OB上所取2點(diǎn)不能連成三角形.這種情況有種取法.應(yīng)予剔除.正確答案為:可連成個(gè)三角形.六、從五個(gè)級(jí)數(shù)中任取3位數(shù)的限制丟掉必要的步驟會(huì)導(dǎo)致漏算,添加莫須有的步驟會(huì)造成重復(fù).例9從1,3,5,7,9中任取3個(gè)數(shù)字,從2,4,6,8中任取2個(gè)數(shù)字,組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),共可以組成多少個(gè)數(shù)?錯(cuò)解一:從1,3,5,7,9中任取3個(gè)數(shù)字排在三個(gè)數(shù)位上,有法;從2,4,6,8中任取2個(gè)數(shù)字排在二個(gè)數(shù)位上有法.因此可以組成個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).分析:以上解法無(wú)異于把1,3,5,7,9中取出的三個(gè)數(shù)字排在指令好的3個(gè)數(shù)位上好比個(gè)位、百位、萬(wàn)位)然而題目并沒有這樣的限制,它允許這三個(gè)數(shù)字排在五個(gè)數(shù)位中的任何三個(gè)數(shù)位上,而從五個(gè)數(shù)位中任取3位有法,為此必須增加這個(gè)必不可少的步驟.正確答案為:可以組成個(gè)五位數(shù).錯(cuò)解二:由于從1,3,5,7,9中取出的3個(gè)數(shù)可以排在5個(gè)數(shù)位中的任何三個(gè)數(shù)位上;從2,4,6,8中取出的2個(gè)數(shù)字可以排在五個(gè)數(shù)位中的任何2個(gè)數(shù)位上.因此可以組成個(gè)五位數(shù).分析:從1,3,5,7,9中取出的3個(gè)數(shù)字可以排在五個(gè)數(shù)位中的任意三個(gè)數(shù)位上,但這三個(gè)數(shù)位一經(jīng)確定后,從2,4,6,8中取出的2個(gè)數(shù)字就只能排在空下來(lái)的兩個(gè)數(shù)位上而沒有選擇的余地了.添加了“從五個(gè)數(shù)位中任取兩位”的一步就要造成大量重復(fù).例10從4個(gè)教師6個(gè)學(xué)生中選出5人組成一個(gè)科研小組,若至少要有兩位教師參加,有多少種選法?錯(cuò)解:先從4個(gè)教師中任選2人有種選法,然后從余下的2個(gè)教師和6個(gè)學(xué)生中任選3人有種選法,因此共有種選法.分析:上面的解法,盡管第一步從4個(gè)教師中任選2個(gè)的種選法中沒有相同的情況,但經(jīng)過(guò)這二步后所選出的5人卻可能是相同的.好比第一步選出教師A、B,第二步選出教師C和學(xué)生a,b;以及第一步選出教師B、C,第二步選出教師A和學(xué)生a、b,所得的結(jié)果完全相同.事實(shí)上,除了第二步選出的3人全是學(xué)生外