2023學(xué)年完整公開課版思維A冊5年級

五年級A冊第七講第1節(jié)有夢想就會有奇跡黃岡奧數(shù)頭腦思維容斥原理1腦筋急轉(zhuǎn)彎：老師家的院子里有2個爸爸和2個兒子，請問老師要端多少杯茶過去才夠他們每人一杯？

最多2＋2=4人最少2＋2－1=3人2＋2=4包含4－1=3排除

在日常生活中，人們常常需要統(tǒng)計一些數(shù)量，在統(tǒng)計的過程中，會出現(xiàn)兩種情況：幫助我們解決包含與排除問題的手段有圖示法（韋恩圖）。

總體＝各部分之和BABAA+B—AB=總體容斥原理（包含與排除）BAA+B=總體ABA=總體總體＝總的部分之和-重復(fù)的部分第一種情況：統(tǒng)計的兩部分互相獨立不重疊，統(tǒng)計的總體包含所統(tǒng)計的兩部分，等于這兩部分的和；第二種情況：統(tǒng)計的兩部分有重疊，統(tǒng)計的總體等于所統(tǒng)計的兩部分之和，然后再排除它們重疊的部分；通過兩種方法可以使計算的結(jié)果即無遺漏有無重復(fù)。這種計數(shù)方法稱為包含排除法，也叫做容斥原理或重疊問題。例題1：某班學(xué)生每人至少訂一種報紙，訂《少年報》的有17人，訂《科技報》的有23人，兩種報紙都訂的有5人，全班共有多少人？1、畫出韋恩圖。

2、找出圖中各個部分的意義

3、全班的總?cè)藬?shù)=17＋23=40，對嗎？

17人23人5人兩種報都訂的人數(shù)訂《少年報》人數(shù)訂《科技報》的人數(shù)完全解題：17+23-5

＝40-5

＝35（人）

答：全班共有35人。小結(jié)：解決容斥問題通常用韋恩圖來幫助分析數(shù)量關(guān)系。重復(fù)計算的部分應(yīng)用減法將其排除。例題2：有若干名旅客，其中有10人不懂英語又不懂俄語，有75人懂英語，83人懂俄語，既懂英語又懂俄語的有68人，問一共有多少名旅客。

①這些旅客里共有四類，第一類是英語和俄語都不懂的第二類是只懂英語的，第三類是只懂俄語的，第四類是英語和俄語都懂的。

②畫韋恩圖表示為：分析注意：懂英語的75人中包含了兩種語言都懂的68人，懂俄語的83人里也包含了兩種語言都懂的68人

完全解題

懂英語的75人中包含了兩種語言都懂的68人，懂俄語的83人里也包含了兩種語言都懂的68人。所以，旅客總?cè)藬?shù)＝懂英語的人數(shù)+懂俄語的人數(shù)-兩種語言都懂的人數(shù)+兩種語言都不懂的人數(shù)。

解：75+83-68+10＝100（人）

答：一共有100名旅客。

小結(jié)：容斥原理：兩個集合A、B相交合并成一個集合C，C的元素個數(shù)等于A、B的個數(shù)和減去A、B的公共元素的個數(shù)。即：C＝A+B-AB或AB＝A＝B-C。例題3：王老師出了兩道題，全班40人中，第1題有30人對，第2題有12人未做對，兩題都做對的有20人。第2題對而第1題不對的有幾個人？兩題都不對的有幾人？①第2題對而第1題不對的有幾個人？②兩題都不對的有幾人？分析DACB③畫韋恩圖④A、B、C、D各個部分的數(shù)學(xué)意義。

完全解題

30-20=10（人）（第1題對但第2題不對的人數(shù)）

12-10=2（人）（兩題都不對的人數(shù)）

40-2-30=8（人）

答：第2題對而第1題不對的有8人，兩題都不對的有2人。

小結(jié)：理解韋恩圖各個部分的數(shù)學(xué)意義是解題的前提。課