河南省開封市通許縣等3地2023屆高三信息押題卷數(shù)學(xué)試題理（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省開封市通許縣等3地2023屆高三信息押題卷數(shù)學(xué)試題（理）一、選擇題1.已知在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗將整理化簡(jiǎn)可得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，由點(diǎn)位于第四象限可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.2.已知集合，，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（）A.30 B.28 C.26 D.24〖答案〗B〖解析〗，，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，為偶數(shù)，共有個(gè)元素.當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)，此時(shí)，共有個(gè)元素.當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)，此時(shí)，有重復(fù)數(shù)字，去掉，共有個(gè)元素.綜上中元素的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：B3.為了樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，市某高中全體教師于2023年3月12日開展植樹活動(dòng)，購(gòu)買柳樹、銀杏、梧桐、樟樹四種樹苗共計(jì)600棵，比例如圖所示.青年教師、中年教師、老年教師報(bào)名參加植樹活動(dòng)的人數(shù)之比為，若每種樹苗均按各年齡段報(bào)名人數(shù)的比例進(jìn)行分配，則中年教師應(yīng)分得梧桐的數(shù)量為（）A.30棵 B.50棵 C.72棵 D.80棵〖答案〗C〖解析〗由題意，中年教師應(yīng)分得樹苗的數(shù)量為棵.所以中年教師應(yīng)分得梧桐的數(shù)量為棵.故選：C.4.《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，其一為鱉臑”.意思是一個(gè)長(zhǎng)方體沿對(duì)角面斜解（圖1），得到一模一樣的兩個(gè)塹堵（圖2），再沿一個(gè)塹堵的一個(gè)頂點(diǎn)和相對(duì)的棱斜解（圖2），得一個(gè)四棱錐稱為陽(yáng)馬（圖3），一個(gè)三棱錐稱為鱉臑（圖4）.若長(zhǎng)方體的體積為，由該長(zhǎng)方體斜解所得到的塹堵、陽(yáng)馬和鱉臑的體積分別為，，，則下列等式錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題設(shè)，，，則，A對(duì)；如下圖，連接，將陽(yáng)馬一分為二，又，所以，，則，故，所以B錯(cuò)，C、D對(duì).故選：B5.黃金分割最早見于古希臘和古埃及.黃金分割又稱黃金率、中外比，即把一條線段分成長(zhǎng)短不等，兩段，使得長(zhǎng)線段與原線段的比等于短線段與長(zhǎng)線段的比，即，其比值約為0.618339….小王酷愛數(shù)學(xué)，他選了其中的6，1，8，3，3，9這六個(gè)數(shù)字組成了手機(jī)開機(jī)密碼，如果兩個(gè)3不相鄰，則小王可以設(shè)置的不同密碼個(gè)數(shù)為（）A.180 B.210 C.240 D.360〖答案〗C〖解析〗先把排列，然后選兩個(gè)空檔插入3，總方法為．故選：C．6.已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，然后向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則（）A.B.在上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D.在上的值域?yàn)椤即鸢浮紻〖解析〗由題意，平移后函數(shù)為：，故A不正確;B中，，可知，∴先增后減，即在上單調(diào)遞增不正確，故B不正確；C中，∵，∴函數(shù)不關(guān)于對(duì)稱，故C不正確；D中，，則，∴，∴，故D正確.故選：D.7.已知函數(shù)，則的圖象大致是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，而恒成立，對(duì)于，則，即在定義域上遞增，所以時(shí)，恒成立，綜上，上，排除A、B、D.故選：C.8.在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組(r為常數(shù))表示的平面區(qū)域的面積為π，若x，y滿足上述約束條件，則z＝的最小值為（）A.－1 B.－C. D.－〖答案〗D〖解析〗作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，由題意，知，解得．因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)表示區(qū)域內(nèi)上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率加上1，由圖知當(dāng)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)的連線與圓相切時(shí)斜率最小．設(shè)切線方程為，即，則有，解得或（舍），所以，故選D．9.已知中，，，，，，則的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，結(jié)合向量加法法則知：到的距離為2，又，則，所以，故為等腰直角三角形，由，則，所以共線，又，則，若為的兩個(gè)四等分點(diǎn)，為中點(diǎn)，如下圖示，所以線段上運(yùn)動(dòng)，且，，，由圖：若，則，又，此時(shí)，故上述情況，易知，由圖知：與重合時(shí)，，綜上，的取值范圍為.故選：D10.已知拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在上且滿足（均不與重合），則面積的最小值為（）A.4 B.8 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗在中，焦點(diǎn)為，焦點(diǎn)關(guān)于直線即的對(duì)稱點(diǎn)為，，解得，∴拋物線的方程為,顯然直線的斜率不為0,設(shè)直線的方程為,且,設(shè),聯(lián)立整理可得,,即,且,,又因?yàn)?即,∴,∴即直線的方程為，∴直線恒過(guò)點(diǎn)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.故選：C.11.若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，，則，原不等式化為，即，，設(shè)，原不等式即為，易知是上的增函數(shù)，所以，，設(shè)，則，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以，所以，，綜上，．故選：A．12.已知在中，，若（表示的面積）恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗記角所對(duì)的邊分別為.因?yàn)?，所以由正弦定理可?.，令，則，令，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，故，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.二、填空題13.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)______.〖答案〗2〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)?，又為偶函?shù)，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，,,符合題意．故〖答案〗為：2．14.已知，則______.〖答案〗〖解析〗，所以，則.故〖答案〗為：15.設(shè)雙曲線的離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為2，設(shè)直線與雙曲線在軸左、右兩側(cè)的交點(diǎn)分別是，若以線段為直徑的圓恰過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗由雙曲線離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為2可得，所以；即可得雙曲線方程為；依題意如下圖所示：由在軸左、右兩側(cè)，所以的斜率均存在，可設(shè)的斜率為，易知，所以可得的斜率為；直線的方程為，聯(lián)立直線和雙曲線方程，消去整理可得，易知；所以，因此；同理可得；易知，所以，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立；所以的最小值為.故〖答案〗為：16.在四面體中，，，，且，，異面直線，所成的角為，則該四面體外接球的表面積為______.〖答案〗或〖解析〗依題意，將四面體放到長(zhǎng)方體中，則在長(zhǎng)方體的后側(cè)面所在的平面內(nèi)，因?yàn)楫惷嬷本€，所成的角為，，所以可得或，所以應(yīng)為圖中或，如下圖所示：由對(duì)稱性可知，當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)方向時(shí)，解法與或位置相同；可設(shè)的中點(diǎn)為，四面體外接球的球心為，球的半徑為，由題意可知，球心在過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的垂線上，且滿足，建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，設(shè)，又，由，所以，或，解得或,所以或，即可知四面體外接球的表面積為或.故〖答案〗為：或三、解答題（一）必考題：共60分.17.手工刺繡是中國(guó)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，指以手工方式，用針和線把人的設(shè)計(jì)和制作添加在任何存在的織物上的一種藝術(shù)，大致分為繪制白描圖和手工著色、電腦著色，選線、配線和裁布三個(gè)環(huán)節(jié)，簡(jiǎn)記為工序A，工序，工序.經(jīng)過(guò)試驗(yàn)測(cè)得小李在這三道工序成功的概率依次為，，.現(xiàn)某單位推出一項(xiàng)手工刺繡體驗(yàn)活動(dòng)，報(bào)名費(fèi)30元，成功通過(guò)三道工序最終的獎(jiǎng)勵(lì)金額是200元，為了更好地激勵(lì)參與者的興趣，舉辦方推出了一項(xiàng)工序補(bǔ)救服務(wù)，可以在著手前付費(fèi)聘請(qǐng)技術(shù)員，若某一道工序沒有成功，可以由技術(shù)員完成本道工序.每位技術(shù)員只完成其中一道工序，每聘請(qǐng)一位技術(shù)員需另付費(fèi)100元，制作完成后沒有接受技術(shù)員補(bǔ)救服務(wù)的退還一半的聘請(qǐng)費(fèi)用.（1）若小李聘請(qǐng)一位技術(shù)員，求他成功完成三道工序的概率；（2）若小李聘請(qǐng)兩位技術(shù)員，求他最終獲得收益的期望值.解：（1）記事件M為“小李聘請(qǐng)一位技術(shù)員成功完成三道工序”，當(dāng)技術(shù)員完成工序A時(shí)，小李成功完成三道工序的概率為：,當(dāng)技術(shù)員完成工序B時(shí)，小李成功完成三道工序的概率為：,當(dāng)技術(shù)員完成工序C時(shí)，小李成功完成三道工序的概率為：,當(dāng)技術(shù)員沒參與補(bǔ)救時(shí)，小李成功完成三道工序的概率為：，故小李成功完成三道工序的概率為；（2）設(shè)小李最終收益為X，小李聘請(qǐng)兩位技術(shù)員參與比賽，有如下幾種情況：兩位技術(shù)員都參與補(bǔ)救但仍未成功完成三道工序，此時(shí)，；兩位技術(shù)員都參與補(bǔ)救并成功完成三道工序，此時(shí)，；只有一位技術(shù)員參與補(bǔ)救后成功完成三道工序，此時(shí)，;技術(shù)員最終未參與補(bǔ)救仍成功完成三道工序，此時(shí)，；故.18.已知數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為和，且對(duì)任意，恒成立.（1）若，，求；（2）若對(duì)任意，都有及恒成立，求正整數(shù)的最小值.解：（1）由題設(shè)，且，而，顯然也滿足上式，故，由，又，所以是首項(xiàng)、公差均為2的等差數(shù)列.綜上，.（2）由，，則，所以，而，故，即是公比為3的等比數(shù)列.所以，則，，而，所以，所以對(duì)都成立，所以，故，則正整數(shù)的最小值為3.19.已知正四棱臺(tái)的體積為，其中.（1）求側(cè)棱與底面所成的角；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)P，使得？若存在請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）依題意，在正四棱臺(tái)中，，所以上底面積，下底面積，設(shè)正四棱臺(tái)的高為，則.連接，則，所以，設(shè)側(cè)棱與底面所成的角為，則，由于線面角的取值范圍是，所以.（2）連接，設(shè)正四棱臺(tái)上下底面的中心分別為，以為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)線段上存在一點(diǎn)，滿足，，，則，，若，則，即，解得，舍去，所以在線段上不存在一點(diǎn)，使得.20.已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度為4，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)作兩條直線，，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為；若直線與直線的斜率之積為，判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)．若過(guò)定點(diǎn)，求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）由題意知，，所以，所以，由可得，所以橢圓的方程為．（2）由題意知的，斜率必存在，設(shè)的斜率為，的斜率為，，設(shè)的方程為，聯(lián)立消元可得，恒成立，由韋達(dá)定理；，所以，同理可得，，∴：，即∴過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為21.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．解：（1）定義域?yàn)?，由，得，?dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，令，則，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，時(shí)，在上遞減，在上遞增，（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，則至多有一個(gè)零點(diǎn)，所以，由（1）得在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，當(dāng)時(shí)，，所以只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，則，所以沒有零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)椋栽谏嫌幸粋€(gè)零點(diǎn)，取正整數(shù)，滿足，則，因?yàn)椋栽谏嫌幸粋€(gè)零點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，所以a的取值范圍為（二）選考題選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線，相交于，兩點(diǎn)，曲線經(jīng)過(guò)變換后得到曲線.（1）求曲線的普通方程和線段的長(zhǎng)度；（2）設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的面積的最大值.解：（1）由題設(shè)，為，消去參數(shù)t得：為，由圓心為，半徑為2