人教B版數(shù)學(xué)必修二講義第1章1.21.2.2第2課時(shí)平面與平面平行Word版含答案

第2課時(shí)平面與平面平行學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.掌握空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系，并會(huì)判斷．(重點(diǎn))2.掌握空間平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并能應(yīng)用這兩個(gè)定理解決問(wèn)題．(重點(diǎn))3.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用．(難點(diǎn))1.通過(guò)學(xué)習(xí)空間兩平面的位置關(guān)系，培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).2.借助兩平面平行的判定與性質(zhì)的學(xué)習(xí)，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).1．兩個(gè)平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示表示法公共點(diǎn)個(gè)數(shù)兩平面平行α∥β0個(gè)兩平面相交α∩β＝l無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)(共線)思考：如何從有無(wú)公共點(diǎn)的角度理解兩平面位置關(guān)系？[提示]如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么由基本性質(zhì)3可知：這兩個(gè)平面相交于過(guò)這個(gè)點(diǎn)的一條直線；如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)平面相互平行．2．平面與平面平行的判定與性質(zhì)(1)平面與平面平行的判定①文字語(yǔ)言：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．②符號(hào)語(yǔ)言：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α.③圖形語(yǔ)言：如圖所示．推論：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行．(2)平面與平面平行的性質(zhì)定理①文字語(yǔ)言：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行．②符號(hào)語(yǔ)言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.③圖形語(yǔ)言：如圖所示．④作用：證明兩直線平行．(3)三個(gè)平面平行的性質(zhì)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．1．已知平面α∥平面β，過(guò)平面α內(nèi)的一條直線a的平面γ，與平面β相交，交線為直線b，則a，b的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．異面 D．不確定A[由面面平行的性質(zhì)定理可知選項(xiàng)A正確．]2．底面為平行四邊形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，與平面BB1C1C平行的平面是()A．平面AA1D1D B．平面AA1B1BC．平面DD1C1C D．平面ABCDA[根據(jù)圖形及平面平行的判定定理知，平面BB1C1C∥平面AA1D1D.]3．過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A1，C1，B的平面與底面ABCD所在的平面的交線為l，則l與A1C1的位置關(guān)系是________．平行[由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，所以l∥A1C1.]4．下列命題：①兩個(gè)平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合；②若l，m是異面直線，l∥α，m∥β，則α∥β.其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)為_(kāi)_______．①②[對(duì)于①，兩個(gè)平面相交，則有一條交線，也有無(wú)數(shù)多個(gè)公共點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，借助于正方體ABCD-A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB與B1C1異面，而平面DCC1D1與平面AA1D1D相交，故②錯(cuò)誤．]平面與平面間的位置關(guān)系【例1】已知下列說(shuō)法：①若兩個(gè)平面α∥β，a?α，b?β，則a∥b；②若兩個(gè)平面α∥β，a?α，b?β，則a與b是異面直線；③若兩個(gè)平面α∥β，a?α，b?β，則a與b一定不相交；④若兩個(gè)平面α∥β，a?α，b?β，則a與b平行或異面；⑤若兩個(gè)平面α∩β＝b，a?α，則a與β一定相交．其中正確的是________(將你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上)．③④[①錯(cuò)．a(chǎn)與b也可能異面；②錯(cuò)．a(chǎn)與b也可能平行；③對(duì)．∵α∥β，∴α與β無(wú)公共點(diǎn)．又∵a?α，b?β，∴a與b無(wú)公共點(diǎn)；④對(duì)．由已知及③知：a與b無(wú)公共點(diǎn)，那么a∥b或a與b異面；⑤錯(cuò)．a(chǎn)與β也可能平行．]兩個(gè)平面的位置關(guān)系有兩種：平行和相交，沒(méi)有公共點(diǎn)則平行，有公共點(diǎn)則相交．熟練掌握這兩種位置關(guān)系，并借助圖形來(lái)說(shuō)明，是解決本題的關(guān)鍵．1．如果在兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個(gè)平面的位置關(guān)系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．不能確定C[如圖所示，由圖可知C正確．]平面與平面平行的判定【例2】如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[解](1)因?yàn)镚，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，所以GH是△A1B1C1的中位線，所以GH∥B1C1.又因?yàn)锽1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點(diǎn)共面．(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以EF∥BC.因?yàn)镋F?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因?yàn)锳1G∥EB，A1G＝EB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1E∥GB.因?yàn)锳1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因?yàn)锳1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.判定面面平行的常用方法(1)定義法：兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)；(2)判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面；(3)轉(zhuǎn)化為線線平行：平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則α∥β；(4)利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ.2.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形．點(diǎn)M，N，Q分別在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求證：平面MNQ∥平面PBC.[證明]∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP.又∵BP?平面PBC，NQ?平面PBC，∴NQ∥平面PBC.∵四邊形ABCD為平行四邊形．∴BC∥AD，∴MQ∥BC.又∵BC?平面PBC，MQ?平面PBC，∴MQ∥平面PBC.又∵M(jìn)Q∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PBC.面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用[探究問(wèn)題]1．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC，SC的中點(diǎn)．你能證明直線EG∥平面BDD1B1嗎？[提示]如圖，連接SB，∵E，G分別是BC，SC的中點(diǎn)，∴EG∥SB.又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1.∴直線EG∥平面BDD1B1.2．上述問(wèn)題中，條件不變，請(qǐng)證明平面EFG∥平面BDD1B1.[提示]連接SD.∵F，G分別是DC，SC的中點(diǎn)，∴FG∥SD.又∵SD?平面BDD1B1，F(xiàn)G?平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1，且EG?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.【例3】如圖，已知平面α∥β，P?α，且P?β，過(guò)點(diǎn)P的直線m與α，β分別交于A，C，過(guò)點(diǎn)P的直線n與α，β分別交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，則BD＝________.[思路探究]面面平行?線線平行?分線段比例相等．eq\f(24,5)[因?yàn)锳C∩BD＝P，所以經(jīng)過(guò)直線AC與BD可確定平面PCD，因?yàn)棣痢桅?，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以eq\f(PA,AC)＝eq\f(PB,BD)，即eq\f(6,9)＝eq\f(8－BD,BD).所以BD＝eq\f(24,5).]1．將本例改為：若點(diǎn)P位于平面α，β之間(如圖)，其他條件不變，試求BD的長(zhǎng)．[解]與本例同理，可證AB∥CD.所以eq\f(PA,PC)＝eq\f(PB,PD)，即eq\f(6,3)＝eq\f(BD－8,8)，所以BD＝24.2．將本例改為：已知平面α∥β∥γ，兩條直線l，m分別與平面α，β，γ相交于點(diǎn)A，B，C與D，E，F(xiàn).已知AB＝6，eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，求AC.[解]由題圖可知eq\f(DE,DF)＝eq\f(AB,AC)?AC＝eq\f(DF,DE)·AB＝eq\f(5,2)×6＝15.應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟1．本節(jié)課的重點(diǎn)是空間兩平面位置關(guān)系的判斷和平面與平面平行的性質(zhì)定理與判定定理，難點(diǎn)是平面平行的判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用．2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)能夠判斷空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系．(2)平面與平面平行的判定定理．(3)平面與平面平行的性質(zhì)定理．3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是應(yīng)用平面與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行證明時(shí)條件應(yīng)用不全面致誤.1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩平面平行． ()(2)若兩個(gè)平面都平行于同一條直線，則這兩個(gè)平面平行． ()(3)若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行． ()[答案](1)√(2)×(3)×[提示](1)由平面與平面平行的定義知正確．(2)若兩個(gè)平面都平行于同一條直線，兩平面可能平行，也可能相交，故錯(cuò)誤．(3)兩平面可能相交．2．已知a，b表示直線，α，β，γ表示平面，下列推理正確的是()A．若α與β相交，a?α，b?β，則a與b一定相交B．若a?α，b?β，a∥b，則α∥βC．a(chǎn)∥β，b∥β，a?α，b?α?α∥βD．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥bD[A錯(cuò)誤，a與b，可能平行也可能是異面直線；由平面與平面平行的判定定理知B、C錯(cuò)誤；由平面與平面平行的性質(zhì)定理知，D正確．]3．梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，則直線CD與平面α的位置關(guān)系是________．CD∥α[因?yàn)锳B∥CD，AB?平面α，CD?平面α，由線面平行的判定定理可得CD∥α.]4．