人教A版高中數(shù)學必修第二冊同步講義第18講 復數(shù)的加、減運算及其幾何意義（ 原卷版）

第18課復數(shù)的加、減運算及其幾何意義目標導航目標導航課程標準課標解讀1.熟練掌握復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算法則.2.理解復數(shù)加減法的幾何意義，能夠利用“數(shù)形結合”的思想解題．1.在認真學習復數(shù)定義的基礎上，熟練掌握復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算法則.2.進一步加強理解復數(shù)加減法的幾何意義，能夠利用“數(shù)形結合”的思想解題，提升數(shù)學學科素養(yǎng).知識精講知識精講知識點一復數(shù)加法與減法的運算法則1．設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數(shù)，則(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)z1－z2＝.2．對任意z1，z2，z3∈C，有(1)z1＋z2＝；(2)(z1＋z2)＋z3＝．【即學即練1】設m∈R，復數(shù)z1＝eq\f(m2＋m,m＋2)＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虛數(shù)，求m的取值范圍．反思感悟復數(shù)加、減運算的解題思路兩個復數(shù)相加(減)，就是把兩個復數(shù)的實部相加(減)，虛部相加(減)．復數(shù)的減法是加法的逆運算．當多個復數(shù)相加(減)時，可將這些復數(shù)的所有實部相加(減)，所有虛部相加(減)．知識點02復數(shù)加、減法的幾何意義如圖，設復數(shù)z1，z2對應的向量分別為eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))，四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，則向量eq\o(OZ,\s\up6(→))與復數(shù)z1＋z2對應，向量eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))與復數(shù)對應．【即學即練2】若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，復數(shù)z2－z1所對應的點在第四象限內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是________．能力拓展能力拓展考法01復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算【典例1】復數(shù)(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)對應的點在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限考法02復數(shù)加、減法的幾何意義【典例2】如圖所示，平行四邊形OABC的頂點O，A，C對應的復數(shù)分別為0,3＋2i，－2＋4i.求：(1)eq\o(AO,\s\up6(→))對應的復數(shù)；(2)eq\o(CA,\s\up6(→))對應的復數(shù)；(3)eq\o(OB,\s\up6(→))對應的復數(shù)及eq\o(OB,\s\up6(→))的長度．反思感悟復數(shù)與向量的對應關系的兩個關注點(1)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)是與以原點為起點，Z(a，b)為終點的向量一一對應的．(2)一個向量可以平移，其對應的復數(shù)不變，但是其起點與終點所對應的復數(shù)發(fā)生改變．【變式訓練】已知復平面內(nèi)的向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))對應的復數(shù)分別是－2＋i,3＋2i，則|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝________.考法03復數(shù)模的綜合問題【典例3】如果復數(shù)z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是()A．1B.eq\f(1,2)C．2D.eq\r(5)反思感悟兩個復數(shù)差的模的幾何意義(1)|z－z0|表示復數(shù)z，z0對應的點之間的距離，在應用時，要把絕對值號內(nèi)變?yōu)閮蓮蛿?shù)差的形式．(2)|z－z0|＝r表示以z0對應的點為圓心，r為半徑的圓．(3)涉及復數(shù)模的最值問題以及點的集合所表示的圖形問題，均可從兩點間距離公式的復數(shù)表達形式入手進行分析判斷，然后通過幾何方法進行求解．【變式訓練】△ABC的三個頂點所對應的復數(shù)分別為z1，z2，z3，復數(shù)z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，則z對應的點P是△ABC的()A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心分層提分分層提分題組A基礎過關練一、單選題1．已知復數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．12．已知設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．63．復數(shù)SKIPIF1<0的模為1，其中SKIPIF1<0為虛數(shù)單位，SKIPIF1<0，則這樣的SKIPIF1<0一共有（

）個.A．9 B．10 C．11 D．無數(shù)4．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．4 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D6．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題7．在復平面中，已知點SKIPIF1<0，復數(shù)SKIPIF1<0對應的點分別為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為___________.8．若SKIPIF1<0為虛數(shù)單位，復數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為_______.9．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且z是復數(shù)，當SKIPIF1<0的最大值為3，則SKIPIF1<0_______.10．已知復數(shù)SKIPIF1<0為虛數(shù)單位，則SKIPIF1<0_________.三、解答題11．對于一組復數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，如果存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，那么稱SKIPIF1<0是該復數(shù)組的“SKIPIF1<0復數(shù)”.（1）設SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是復數(shù)組SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的“SKIPIF1<0復數(shù)”，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；（2）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，是否存在復數(shù)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均是復數(shù)組SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的“SKIPIF1<0復數(shù)”？若存在，求出所有的SKIPIF1<0，若不存在，說明理由；（3）若SKIPIF1<0，復數(shù)組SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0是否存在“SKIPIF1<0復數(shù)”？給出你的結論并說明理由．12．已知復數(shù)SKIPIF1<0，根據(jù)以下條件分別求實數(shù)SKIPIF1<0的值或范圍.（1）SKIPIF1<0是純虛數(shù)；（2）SKIPIF1<0對應的點在復平面的第二象限.題組B能力提升練一、單選題1．已知關于SKIPIF1<0的實系數(shù)一元二次方程SKIPIF1<0有兩個虛根SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．關于復數(shù)，下列說法正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．復數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0分別對應向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0對應的復數(shù)為SKIPIF1<0C．若點Z的坐標為SKIPIF1<0，則Z對應的點在第三象限D．若復數(shù)z滿足SKIPIF1<0，則復數(shù)z對應的點所構成的圖形面積為SKIPIF1<03．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為實數(shù)，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．3 C．SKIPIF1<0 D．54．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<05．若|z＋3i|＝|z＋4－i|，則|z|＋|z－2|的最小值為（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．歐拉公式被稱為世界上最完美的公式，歐拉公式又稱為歐拉定理，是用在復分析領域的公式，歐拉公式將三角函數(shù)與復數(shù)指數(shù)函數(shù)相關聯(lián)，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.根據(jù)歐拉公式，下列說法不正確的是（

）A．對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0在復平面內(nèi)對應的點在第二象限C．SKIPIF1<0的實部為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互為共軛復數(shù)二、多選題7．已知SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是虛數(shù)單位），SKIPIF1<0，定義：SKIPIF1<0，則下列結論正確的是（

）A．對任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0是z的共軛復數(shù)，則SKIPIF1<0恒成立C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．對任意SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0恒成立三、填空題8．若復數(shù)SKIPIF1<0和復數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_____．9．已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0____．10．已知復數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則復平面內(nèi)由點SKIPIF1<0形成的區(qū)域的面積為______．11．已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)SKIPIF1<0在復平面內(nèi)對應的點關于原點對稱，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_______．四、解答題12．復數(shù)SKIPIF1<0，求實數(shù)m的取值范圍使得：(1)z為純虛數(shù)；(2)z在復平面上對應的點在第四象限．13．已知復數(shù)SKIPIF1<0均為銳角，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.題組C培優(yōu)拔尖練一、單選題1．已知復數(shù)z滿足SKIPIF1<0，則z的虛部是（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．i2．設復數(shù)SKIPIF1<0在復平面上對應向量SKIPIF1<0，將向量SKIPIF1<0繞原點O按順時針方向旋轉SKIPIF1<0后得到向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0對應復數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題3．已知復數(shù)SKIPIF1<0(i為虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應的點為SKIPIF1<0