人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊)同步講義第31講 拓展二：函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用（含解析）

第09講拓展二：函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用題型01根據(jù)零點求參數(shù)【典例1】（2023春·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)SKIPIF1<0有且只有一個零點，則實數(shù)m的值為（

）A．9 B．12 C．0或9 D．0或12【答案】C【詳解】因為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，滿足題意，當SKIPIF1<0時，因為函數(shù)SKIPIF1<0有且只有一個零點，故SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選：C.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)SKIPIF1<0恰有SKIPIF1<0個零點，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因為SKIPIF1<0時至多有一個零點，單調(diào)函數(shù)SKIPIF1<0至多一個零點，而函數(shù)SKIPIF1<0恰有SKIPIF1<0個零點，所以需滿足SKIPIF1<0有1個零點，SKIPIF1<0有1個零點，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：D【典例3】（2023秋·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0若SKIPIF1<0恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0恰有2個零點，所以若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的零點，則SKIPIF1<0不是函數(shù)SKIPIF1<0的零點，則SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的零點，則SKIPIF1<0不是函數(shù)SKIPIF1<0的零點，則SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的零點，SKIPIF1<0不是函數(shù)SKIPIF1<0的零點，則不存在這樣的SKIPIF1<0.綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0有零點，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0有零點，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有交點，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故選：C【變式2】（2023春·新疆昌吉·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】SKIPIF1<0【詳解】函數(shù)SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0有3個零點，當SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，符合題意；當SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，要使得函數(shù)SKIPIF1<0有3個零點，在方程SKIPIF1<0有兩個小于SKIPIF1<0的實根，設(shè)SKIPIF1<0，即函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上與SKIPIF1<0軸有兩個交點，則滿足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式3】（2023·高一課時練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若1是此函數(shù)的零點，則實數(shù)SKIPIF1<0的值是．【答案】0【詳解】因為1是此函數(shù)的零點，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0題型02求函數(shù)的零點（方程的根）的個數(shù)【典例1】（2023·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0有且只有一個零點的充分條件是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】因為函數(shù)SKIPIF1<0恒過點SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0有且只有一個零點SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0沒有零點SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0的圖像與直線SKIPIF1<0無交點，數(shù)形結(jié)合可得，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0即函數(shù)SKIPIF1<0有且只有一個零點的充要條件是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,只有選項SKIPIF1<0是函數(shù)有且只有一個零點的充分條件,

故選：A【典例2】（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)SKIPIF1<0，則方程SKIPIF1<0的實根個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【詳解】由SKIPIF1<0，則可作出函數(shù)SKIPIF1<0的圖象如下：由方程SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以方程SKIPIF1<0的實根個數(shù)為3．故選：A．【典例3】（2023秋·上海浦東新·高一校考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)當SKIPIF1<0時，判斷SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的單調(diào)性并證明；(2)討論函數(shù)SKIPIF1<0的零點個數(shù)．【答案】(1)單調(diào)遞減，證明見解析(2)答案見解析【詳解】（1）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0該函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，證明如下：在區(qū)間SKIPIF1<0上任取SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0故當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0則函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減.即證.（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，等價于SKIPIF1<0即等價于SKIPIF1<0的根的個數(shù)，令SKIPIF1<0，則其函數(shù)圖像如下所示：由圖可知：當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有兩個交點；當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0只有一個交點；當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有三個交點.故：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有1個零點；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有2個零點；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有3個零點.【典例4】（2023春·高一平湖市當湖高級中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）.(1)若SKIPIF1<0且方程SKIPIF1<0有解，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；(2)若SKIPIF1<0是偶函數(shù)，討論函數(shù)SKIPIF1<0的零點情況.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)當SKIPIF1<0時函數(shù)無零點，當SKIPIF1<0時函數(shù)有一個零點.【詳解】（1）因為方程SKIPIF1<0有解，所以方程SKIPIF1<0有解，即SKIPIF1<0的值域與方程SKIPIF1<0的值域相同.SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；（2）因為SKIPIF1<0是偶函數(shù)，所以SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗SKIPIF1<0滿足題意.函數(shù)SKIPIF1<0的零點情況等價于SKIPIF1<0的解的情況，即SKIPIF1<0，討論SKIPIF1<0的解的情況，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時方程SKIPIF1<0無解，當SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0開口向上，且恒過定點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0只有一解，此時方程SKIPIF1<0只有1解，當SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0開口向下，且恒過定點SKIPIF1<0，且函數(shù)的對稱軸SKIPIF1<0，則方程（*）無解，綜上所述：當SKIPIF1<0時函數(shù)無零點，當SKIPIF1<0時函數(shù)有一個零點.【變式1】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的零點個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【詳解】求函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的零點個數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的根的個數(shù).由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的零點個數(shù)為3.故選：A.【變式2】（2023秋·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高一?？计谀┖瘮?shù)SKIPIF1<0的零點個數(shù)是（

）．A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【答案】C【詳解】分別做出函數(shù)SKIPIF1<0和函數(shù)SKIPIF1<0的圖像，如上圖所示，由圖像可知，兩個函數(shù)的交點個數(shù)是SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0的零點個數(shù)是SKIPIF1<0.故選:C【變式3】（2023春·安徽·高一安徽省舒城中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)SKIPIF1<0是偶函數(shù).(1)求實數(shù)SKIPIF1<0的值；(2)求方程SKIPIF1<0的實根的個數(shù)；(3)若函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)1(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）因為函數(shù)SKIPIF1<0是偶函數(shù)，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，也即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因為對定義域內(nèi)的任意SKIPIF1<0上式恒成立，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）可知SKIPIF1<0的解析式為SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.因為函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，又SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域為SKIPIF1<0.所以方程SKIPIF1<0的實根的個數(shù)為1.（3）由題可知SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0.令函數(shù)SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，舍去.當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的圖象開口向上，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0一定存在唯一的正根，符合題意.當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的圖象開口向下，因為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以對稱軸SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.綜上，實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.【變式4】（2023秋·貴州黔東南·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù)．(1)求實數(shù)SKIPIF1<0的值；(2)判斷函數(shù)SKIPIF1<0零點的個數(shù)．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)一個零點【詳解】（1）因為函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0為偶函數(shù)，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的零點的個數(shù)等價于方程SKIPIF1<0根的個數(shù)，即方程SKIPIF1<0根的個數(shù)，令SKIPIF1<0，則轉(zhuǎn)化為方程SKIPIF1<0根的個數(shù)，而方程SKIPIF1<0的根為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0有一個零點．【點睛】利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，關(guān)鍵點在于利用好函數(shù)的奇偶性，即函數(shù)SKIPIF1<0是奇函數(shù)時，有SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0是偶函數(shù)時，有SKIPIF1<0.題型03函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用【典例1】（2023秋·湖北·高一湖北省黃梅縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知SKIPIF1<0為偶函數(shù)．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)解不等式SKIPIF1<0；(3)若關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有4個不相等的實根，求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0．【詳解】（1）函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為偶函數(shù)，SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞增且SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞增且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞增且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，值域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為偶函數(shù)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0．（3）令SKIPIF1<0，則原方程可化為SKIPIF1<0，由（2）知SKIPIF1<0且方程SKIPIF1<0僅有一根，當SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0有兩個不相等的實根，SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有4個不相等的實根，SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有2個不相等的實根，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0．【典例2】（2023春·江蘇南京·高二南京市中華中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值域；(2)令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，已知函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0有零點，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0為增函數(shù)，所以函數(shù)的最大值為SKIPIF1<0，函數(shù)的最小值為SKIPIF1<0，則函數(shù)的值域為SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則問題等價為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有零點，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．【典例3】（2023秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）設(shè)SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0定義域內(nèi)的一個子集，若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，則稱SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一個“不動點”，也稱SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上存在不動點，例如SKIPIF1<0的“不動點”滿足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的“不動點”是SKIPIF1<0.設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0的不動點；(2)若函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上不存在不動點，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）根據(jù)題目給出的“不動點”的定義，可知：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的不動點為SKIPIF1<0.（2）根據(jù)已知，得SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上無解，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上無解，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上無解，所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上無解，設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，故SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上恒成立，所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上恒成立，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0綜上，實數(shù)a的取值范圍是SKIPIF1<0.【變式1】（2023春·江蘇泰州·高二泰州中學(xué)?？茧A段練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0是偶函數(shù).(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若方程SKIPIF1<0有解，求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由已知可得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0為R上的偶函數(shù)，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.（2）由（1）知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時等號成立，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為方程SKIPIF1<0有解，即SKIPIF1<0有解，所以SKIPIF1<0.【變式2】（2023春·湖南株洲·高一株洲二中?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)SKIPIF1<0是偶函數(shù).(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若方程SKIPIF1<0有兩個不等的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0是偶函數(shù)，所以SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，因為SKIP