第5章《二次函數(shù)》知識(shí)講練（教師版）

2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)章節(jié)知識(shí)講練知識(shí)點(diǎn)01：二次函數(shù)的定義一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).

要點(diǎn)詮釋：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．這里，當(dāng)a=0時(shí)就不是二次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同時(shí)都為零．a(chǎn)的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小.知識(shí)點(diǎn)02：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①；②；③；④，

其中；⑤.（以上式子a≠0）

幾種特殊的二次函數(shù)的圖象特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)

開口向上

當(dāng)時(shí)

開口向下(軸)(0，0)(軸)(0，)(，0)(，)()2.拋物線的三要素：

開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).

(1)的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng)時(shí)，開口向上；當(dāng)時(shí)，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

(2)平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.

3.拋物線中，的作用：

(1)決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.

(2)和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱軸是直線，

故：①時(shí)，對(duì)稱軸為軸；②(即、同號(hào))時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè)；③(即、異號(hào))時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè).

(3)的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置.

當(dāng)時(shí)，，∴拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0，)：

①，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；②，與軸交于正半軸；③，與軸交于負(fù)半軸.

以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，則.

4.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：

(1)一般式：（a≠0）.已知圖象上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式.

(2)頂點(diǎn)式：（a≠0）.已知圖象的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

(可以看成的圖象平移后所對(duì)應(yīng)的函數(shù).)

(3)“交點(diǎn)式”：已知圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：

（a≠0）.(由此得根與系數(shù)的關(guān)系：).要點(diǎn)詮釋：求拋物線（a≠0）的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際靈活選擇和運(yùn)用．知識(shí)點(diǎn)03：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

函數(shù)，當(dāng)時(shí)，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況.

(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)，則方程有兩個(gè)不相等實(shí)根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)，則方程有兩個(gè)相等實(shí)根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，這時(shí)，則方程沒(méi)有實(shí)根.

通過(guò)下面表格可以直觀地觀察到二次函數(shù)圖象和一元二次方程的關(guān)系：

的圖象

的解方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)解

方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解要點(diǎn)詮釋：二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)由的值來(lái)確定.(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)，則方程有兩個(gè)不相等實(shí)根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)，則方程有兩個(gè)相等實(shí)根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，這時(shí)，則方程沒(méi)有實(shí)根.

知識(shí)點(diǎn)04：利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問(wèn)題.在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實(shí)際意義.

利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是：

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；

(2)把實(shí)際問(wèn)題中的一些數(shù)據(jù)與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)；

(3)用待定系數(shù)法求出拋物線的關(guān)系式；

(4)利用二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.要點(diǎn)詮釋：常見的問(wèn)題：求最大(小)值(如求最大利潤(rùn)、最大面積、最小周長(zhǎng)等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問(wèn)題等.解決這些實(shí)際問(wèn)題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.

一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?高港區(qū)二模）已知點(diǎn)P（﹣1，y1），Q（3，y2），M（m，y3）均在拋物線y＝ax2+bx+c上，其中2am+b＝0．若y3＜y1＜y2，則m的取值范圍是（）A．﹣1＜m＜3 B．m＞1 C．m＜1且m≠﹣1 D．1＜m＜4解：由2am+b＝0得，直線x＝m是拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸，且此時(shí)y＝y(tǒng)3，且y3＜y1＜y2，∴M（m，y3）為拋物線的頂點(diǎn)，且拋物線開口向上，當(dāng)m＞1時(shí)，P（﹣1，y1）到對(duì)稱軸的距離大于Q（3，y2）到對(duì)稱軸的距離，y3＜y2＜y1，不符合題意，當(dāng)時(shí)，P（﹣1，y1），Q（3，y2）關(guān)于直線x＝m對(duì)稱，此時(shí)y1＝y(tǒng)2，不符合題意，故m≠1；當(dāng)m＝﹣1時(shí)，點(diǎn)P（﹣1，y1），M（m，y3）重合，不符合題意，故m≠﹣1；當(dāng)﹣1＜m＜1時(shí)，P（﹣1，y1）到對(duì)稱軸的距離小于Q（3，y2）到對(duì)稱軸的距離，y3＜y1＜y2，符合題意，當(dāng)m＜﹣1時(shí)，P（﹣1，y1）到對(duì)稱軸的距離小于Q（3，y2）到對(duì)稱軸的距離，y3＜y1＜y2，符合題意，綜上所述：m＜1且m≠﹣1．故選：C．2．（2分）（2023?泗陽(yáng)縣一模）設(shè)A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y＝﹣x2﹣2x+2上的三點(diǎn)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2解：∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y＝﹣x2﹣2x+2上的三點(diǎn)，∴y1＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+2＝2，y2＝﹣1﹣2+2＝﹣1，y3＝﹣22﹣2×2+2＝﹣6，∴y1＞y2＞y3，故選：A．3．（2分）（2022秋?如皋市期末）如表給出了二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的一些對(duì)應(yīng)值，則可以估計(jì)一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個(gè)近似解x1的范圍為（）x…1.21.31.41.51.6…y…﹣1.16﹣0.71﹣0.240.250.76…A．1.2＜x1＜1.3 B．1.3＜x1＜1.4 C．1.4＜x1＜1.5 D．1.5＜x1＜1.6解：當(dāng)x＝1.4時(shí)，y＝﹣0.24；當(dāng)x＝1.5時(shí)，y＝0.25．∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個(gè)近似解x1的范圍為1.4＜x1＜1.5．故選：C．4．（2分）（2023?邗江區(qū)校級(jí)四模）如圖，⊙A半徑為1，圓心A（0，3），點(diǎn)B是⊙A上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在二次函數(shù)y＝x2﹣1圖象上運(yùn)動(dòng)，則線段BC的最小值為（）?A． B．1 C． D．解：設(shè)點(diǎn)C（m，m2﹣1），∵A（0，3），∴AC2＝（m﹣0）2+（m2﹣1﹣3）2＝m4﹣7m2+16＝（m2﹣）2+，∵a＝1＞0，∴AC2有最小值為，∴AC最小值為，∵⊙A半徑為1，∴BC的最小值為﹣1．故選：A．5．（2分）（2023?高郵市模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的對(duì)稱軸是直線x＝t，點(diǎn)P（2，m）、Q（4，n）在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，若m＜c＜n，則t的取值范圍是（）A．t＜2 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．1＜t＜3解：∵點(diǎn)P（2，m）、Q（4，n）在二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象上，∴m＝4a+2b+c，n＝16a+4b+c，∵m＜c＜n，∴，整理得：，由①得，，由②得，，∴，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝t＝，∴1＜t＜2．故選：C．6．（2分）（2023?武進(jìn)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x＝﹣2，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（﹣3，0）和（﹣4，0）之間，其部分圖象如圖所示．有下列結(jié)論：①4a﹣b＝0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b≥at2+bt（t為實(shí)數(shù)）；⑤若，是該拋物線上的三點(diǎn)，則y1＜y2＜y3．其中，正確結(jié)論的序號(hào)有（）?A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②④解：①∵拋物線的對(duì)稱軸為x＝﹣2，∴，∴4a﹣b＝0，故結(jié)論①正確；②∵拋物線的開口向下，頂點(diǎn)在第二象限，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（﹣3，0）和（﹣4，0）之間，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（﹣1，0）和（0，0）之間，∴拋物線與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸上，∴c＜0，故結(jié)論②正確；③對(duì)于y＝ax2+bx+c，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c，∵拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（﹣1，0）和（0，0）之間，頂點(diǎn)在第三象限，開口向下，∴點(diǎn)（1，a﹣b+c）在第二象限，∴a﹣b+c＞0，由①4a﹣b＝0，∴b＝4a，∴a﹣4a+c＞0，即：﹣3a+c＞0，故結(jié)論③正確；④對(duì)于y＝ax2+bx+c，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝4a﹣2b+c，當(dāng)x＝t（t為實(shí)數(shù)）時(shí)，y＝at2+bt+c，∵拋物線的對(duì)稱軸為x＝﹣2，∴點(diǎn)（﹣2，4a﹣2b+c）為拋物線的頂點(diǎn)，又∵拋物線的開口向下，∴y＝4a﹣2b+c為拋物線的最大值，∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，即：4a﹣2b≥at2+bt，故結(jié)論④正確；⑤∵拋物線的開口向下，且對(duì)稱軸為直線x＝﹣2，觀察函數(shù)的圖象可知：在拋物線上離對(duì)稱軸水平距離越小，函數(shù)的值就越大，∴y1＞y2＞y3，故結(jié)論⑤不正確．綜上所述：正確的結(jié)論是①②③④．故選：A．7．（2分）（2023?錫山區(qū)校級(jí)四模）拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常數(shù)且a≠0，c＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0）．下列四個(gè)結(jié)論：①該拋物線一定經(jīng)過(guò)B（﹣1，0）；②2a+c＞0；③點(diǎn)P1（t+2022，y1），P2（t+2023，y2），在拋物線上，且y1＞y2，則t＞﹣2021；④若m，n（m＜n）是方程ax2+2ax+c＝p的兩個(gè)根，其中p＞0，則﹣3＜m＜n＜1．其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解：①∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），∴9a﹣6a+c＝0，∴3a+c＝0，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，a+2a+c＝0，∴3a+c＝0，∴該拋物線一定經(jīng)過(guò)B（﹣1，0），故此項(xiàng)正確；②由①得：c＝﹣3a，∵c＞0，∴﹣3a＞0，∴a＜0，∵3a+c＝0，∴2a+c＝﹣a，∴2a+c＞0，故此項(xiàng)正確；③拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝1，當(dāng)t＝﹣2021時(shí)，P1（1，y1），P2（2，y2），∵a＜0，∴y1＞y2，∴t＝﹣2021也符合題意與t＞﹣2021矛盾，故此項(xiàng)錯(cuò)誤．④∵拋物線y＝ax2﹣2ax+c，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，拋物線y＝ax2+2ax+c對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，∴拋物線y＝ax2﹣2ax+c圖象向左平移2個(gè)單位得到拋物線y＝ax2+2ax+c的圖象，∵拋物線y＝ax2﹣2ax+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），（3，0），∴拋物線y＝ax2+2ax+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣3，0），（1，0），∵m，n（m＜n）是方程ax2+2ax+c＝p的兩個(gè)根，∴m，n是拋物線y＝ax2+2ax+c與直線y＝p交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∵p＞0，∴﹣3＜m＜n＜1，故此項(xiàng)正確，故選：C．8．（2分）（2023?海州區(qū)校級(jí)三模）函數(shù)y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的圖象是由函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的圖象x軸上方部分不變，下方部分沿x軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）?①2a+b＝0；②c＝3；③abc＞0；④將圖象向上平移2個(gè)單位后與直線y＝5有3個(gè)交點(diǎn)．A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④解：∵圖象經(jīng)過(guò)（﹣1，0），（3，0），∴拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，①正確．由圖象可得拋物線y＝ax2+bx+c與y軸交點(diǎn)在x軸下方，∴c＜0，②錯(cuò)誤．由拋物線y＝ax2+bx+c的開口向上可得a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，③正確．設(shè)拋物線y＝ax2+bx+c的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），代入（0，3）得：3＝﹣3a，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），∵點(diǎn)（1，4）向上平移2個(gè)單位后的坐標(biāo)為（1，6），∴將圖象向上平移2個(gè)單位后與直線y＝5有3個(gè)交點(diǎn)，故④正確；故選：D．9．（2分）（2023?靖江市二模）已知拋物線y＝﹣x2﹣4mx+m2﹣1，A（﹣2m﹣4，y1），B（m+3，y2）為該拋物線上的兩點(diǎn)，若y1＜y2，則m的取值范圍（）A．m＜ B．m＞ C．m＜或m＞ D．＜m＜解：∵拋物線y＝﹣x2﹣4mx+m2﹣1，∴拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝﹣2m，∴B（m+3，y2）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為（﹣5m﹣3，y2），∵y1＜y2，∴﹣2m﹣4＜m+3或﹣5m﹣3＞﹣2m﹣4，解得：﹣＜m＜，故選：D．10．（2分）（2023?洪澤區(qū)二模）關(guān)于x的方程x2+bx﹣c＝0的兩根分別是x1＝﹣1，x2＝3，若點(diǎn)A是二次函數(shù)y＝x2+bx﹣c的圖象與y軸的交點(diǎn)，過(guò)A作AB⊥y軸交拋物線于另一交點(diǎn)B，則AB的長(zhǎng)為（）A． B． C．2 D．3解：∵x1＝﹣1，x2＝3，∴x1+x2＝﹣b＝2，x1x2＝﹣c＝﹣3，∴y＝x2+2x﹣3，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3，∴A（0，﹣3），∵AB⊥y軸，∴B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣3，將y＝﹣3代入y＝x2+2x﹣3得：﹣3＝x2+2x﹣3，解得：x1＝0，x2＝﹣2，∴B（﹣2，﹣3），∴AB＝2．故選：C．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?建鄴區(qū)二模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c是常數(shù)）的圖象如圖所示，則不等式ax2+（b﹣2）x+c＞0的解集是x＜1或x＞3．?解：ax2+（b﹣2）x+c＞0，ax2+bx+c﹣2x＞0，∴ax2+bx+c＞2x，即二次函數(shù)大于一次函數(shù)時(shí)x的取值范圍，如圖，由圖象可知，x＜1或x＞3，故答案為：x＜1或x＞3．12．（2分）（2022秋?江都區(qū)期末）2022年9月29日，C919大型客機(jī)取得中國(guó)民用航空局型號(hào)合格證，這標(biāo)志著我國(guó)具備按照國(guó)際通行適航標(biāo)準(zhǔn)研制大型客機(jī)的能力，是我國(guó)大飛機(jī)事業(yè)征程上的重要里程碑．如果某型號(hào)飛機(jī)降落后滑行的距離s（單位：米）關(guān)于滑行的時(shí)間t（單位：秒）的函數(shù)解析式是，則該飛機(jī)著陸后滑行最長(zhǎng)時(shí)間為18秒．解：，∵，∴拋物線開口向下，∴當(dāng)t＝18時(shí)，s有最大值，∵飛機(jī)滑行到最大距離停下來(lái)，此時(shí)滑行的時(shí)間最長(zhǎng)，∴該飛機(jī)著陸后滑行最長(zhǎng)時(shí)間為18秒．故答案為：18．13．（2分）（2023?宿遷模擬）小淇利用繪圖軟件畫出函數(shù)y＝﹣x（x﹣1）（x+1）（﹣2≤x≤2）的圖象，下列關(guān)于該函數(shù)性質(zhì)的四種說(shuō)法：①圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；②圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；③最大值是3，最小值是﹣3；④當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減?。渲?，所有正確說(shuō)法的序號(hào)是②③④．解：①圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；②圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，故②正確；③當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝3，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣3，∴函數(shù)的最大值是3，最小值是﹣3，故③正確；④當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小，故④正確．故答案為：②③④．14．（2分）（2023?南通二模）若拋物線y＝﹣x2+4x﹣n的頂點(diǎn)在x軸的下方，則實(shí)數(shù)n的取值范圍是n＞4．解：∵拋物線y＝﹣x2+4x﹣n的開口向下，頂點(diǎn)在x軸的下方，而與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，方程﹣x2+4x﹣n＝0無(wú)實(shí)數(shù)根，即b2﹣4ac＝16﹣4n＜0，∴n＞4．故答案為：n＞4．15．（2分）（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)二模）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象，且關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，有下列結(jié)論：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＜0；④3a+b＞0．其中正確結(jié)論的序號(hào)有①④．解：∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，①正確；∵拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線x＝1，與y軸交于負(fù)半軸，∴a＞0，﹣＝1，c＜0，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，②錯(cuò)誤；∵方程ax2+bx+c﹣m＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，∴m＜﹣3，③錯(cuò)誤；∵a＞0，b＝﹣2a，∴3a+b＝a＞0，④正確．故答案為：①④．16．（2分）（2023?秦淮區(qū)二模）如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣3（x+m）2+k（m，k為常數(shù)，且k＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的長(zhǎng)為4，則k的值是12．解：設(shè)拋物線頂點(diǎn)C，將拋物線向左平移，令頂點(diǎn)C落在y軸點(diǎn)C′處，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′、B′，設(shè)平移后的二次函數(shù)關(guān)系式：y＝﹣3x2+k，∵AB＝4，∴A′B′＝4，∴OB′＝2，即點(diǎn)B′坐標(biāo)（2，0），把x＝2代入關(guān)系式得，0＝﹣3×22+k，∴k＝12，故答案為：12．17．（2分）（2023?啟東市二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)P為完美點(diǎn)．已知二次函數(shù)的圖象上有且只有一個(gè)完美點(diǎn)（2，2），且當(dāng)0≤x≤m時(shí)，函數(shù)y＝ax2+5x+c﹣（a≠0）的最小值為﹣，最大值為1，則m的取值范圍是≤m≤5．解：ax2+5x+c＝x，即ax2+4x+c＝0，由題意可得，圖象上有且只有一個(gè)完美點(diǎn)，∴Δ＝16﹣4ac＝0，則4ac＝16，∴方程根為x＝﹣＝﹣＝﹣＝2，∴a＝﹣1，c＝﹣4．∴函數(shù)y＝ax2+5x+c﹣＝﹣x2+5x﹣，該二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，1），與y軸交點(diǎn)為（0，﹣），根據(jù)對(duì)稱規(guī)律，點(diǎn)（5，﹣）也是該二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)．在x＝左側(cè)，y隨x的增大而增大；在x＝右側(cè)，y隨x的增大而減??；且當(dāng)0≤x≤m時(shí)，函數(shù)y＝﹣x2+5x﹣的最小值為﹣，最大值為1，則≤m≤5．故答案為：≤m≤5．18．（2分）（2022秋?海安市期末）已知y1＝﹣x2﹣3x+4，y2＝x+4，當(dāng)y1＜y2時(shí)，函數(shù)y＝y(tǒng)2；當(dāng)y1≥y2時(shí)，函數(shù)y＝y(tǒng)1．點(diǎn)（m，n）在函數(shù)y的圖象上，當(dāng)n取一實(shí)數(shù)時(shí)，存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)m，則n的取值范圍是4＜n＜6.25．解：函數(shù)的圖象如下：由圖象得：當(dāng)y位于y4和y＝6.25之間時(shí)，n取一實(shí)數(shù)時(shí)，存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)m，∴4＜n＜6.25．19．（2分）（2023?邗江區(qū)二模）如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+4與y軸交于點(diǎn)A，交x軸正半軸于B，直線l過(guò)AB，M是拋物線第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥x軸交直線l于點(diǎn)N，則MN的最大值為4．解：當(dāng)y＝0時(shí)，x＝4或﹣1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），∴直線AB的解析式為：y＝﹣x+4，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，﹣a2+3a+4），∵M(jìn)N∥x軸，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（a2﹣3a，﹣a2+3a+4），∵點(diǎn)M在第一象限，∴線段MN＝a﹣（a2﹣3a）＝﹣a2+4a，當(dāng)a＝時(shí)，MN有最大值為4．故答案為：4．20．（2分）（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)k取最小整數(shù)時(shí)的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分不變，得到一個(gè)新圖象，則新圖象與直線y＝x+m有三個(gè)不同公共點(diǎn)時(shí)m的值是1或．解：∵函數(shù)y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴△＝[﹣2（k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2k﹣3）＞0，解得k＞﹣1，當(dāng)k取最小整數(shù)時(shí)，k＝0，∴拋物線為y＝x2﹣2x﹣3，將該二次函數(shù)圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分不變，得到一個(gè)新圖象，所以新圖象的解析式為y1＝（x﹣1）2﹣4（x≤﹣1或x≥3）y1＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）．①因?yàn)閥2＝x+m的k＞0，所以它的圖象從左到右是上升的，當(dāng)它與新圖象有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)它一定過(guò)（﹣1，0）把（﹣1，0）代入y2＝x+m得﹣1+m＝0所以m＝1，②y1＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）與y＝x+m相切時(shí)，圖象有三個(gè)交點(diǎn)，﹣（x﹣1）2+4＝x+m，△＝1﹣4（m﹣3）＝0，解得m＝．故答案為：1或．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?梁溪區(qū)模擬）為加強(qiáng)勞動(dòng)教育，各校紛紛落實(shí)勞動(dòng)實(shí)踐基地．某校學(xué)生在種植某種高產(chǎn)番茄時(shí)，經(jīng)過(guò)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：①當(dāng)每平方米種植2株番茄時(shí)，平均單株產(chǎn)量為8.4千克；②在每平方米種植的株數(shù)不超過(guò)10的前提下，以同樣的栽培條件，株數(shù)每增加1株，平均單株產(chǎn)量減少0.8千克．（1）求平均單株產(chǎn)量y（千克）與每平方米種植的株數(shù)x（x為整數(shù)，且2≤x＜10）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知學(xué)校勞動(dòng)基地共有10平方米的空地用于種植這種番茄．問(wèn)：當(dāng)每平方米種植多少株時(shí)，該學(xué)校勞動(dòng)基地能獲得最大的產(chǎn)量？最大產(chǎn)量為多少千克？解：（1）∵每平方米種植的株數(shù)每增加1株，單株產(chǎn)量減少0.8千克，∴y＝8.4﹣0.8（x﹣2）＝﹣0.8x+10，∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣0.8x+10，（2≤x≤10，且x為整數(shù)）；（2）設(shè)每平方米番茄產(chǎn)量為W千克，根據(jù)題意得：W＝x（﹣0.8x+10）＝﹣0.8x2+10x＝﹣0.8（x﹣）2+，∵﹣0.8＜0，x為整數(shù)，∴當(dāng)x＝6時(shí)，W取最大值，最大值為，∴10×＝312（千克），答：每平方米種植6株時(shí)，該學(xué)校勞動(dòng)基地能獲得最大的產(chǎn)量，最大產(chǎn)量為312千克．22．（6分）（2023?淮安一模）某網(wǎng)店專門銷售某種品牌的漆器筆筒，成本為30元/件，每天銷售y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果規(guī)定每天漆器筆筒的銷售量不低于240件，當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲取的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？解：（1）設(shè)y＝kx+b，將（40，300）、（55，150）代入，得：，解得：，則y＝﹣10x+700；（2）設(shè)每天獲取的利潤(rùn)為W，則W＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，又∵﹣10x+700≥240，∴x≤46，∵x＜50時(shí)，W隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝46時(shí)，W取得最大值，最大值為﹣10×16+4000＝3840，答：當(dāng)銷售單價(jià)為46元時(shí)，每天獲取的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3840元．23．（8分）（2023?南通二模）某商品每件進(jìn)價(jià)20元，在試銷階段該商品的日銷售量y（件）與每件商品的日銷售價(jià)x（元）之間的關(guān)系如圖中的折線ABC所示（物價(jià)局規(guī)定，該商品每件的銷售價(jià)不得低于進(jìn)價(jià)且不得高于45元）．（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若日銷售單價(jià)x（元）為整數(shù)，則當(dāng)日銷售單價(jià)x（元）為多少時(shí)，該商品每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（3）若該商品每天的銷售利潤(rùn)不低于1200元，求銷售單價(jià)x的取值范圍．解：（1）設(shè)y＝kx+b，當(dāng)20≤x≤30時(shí)，把（20，200），（30，100）代入得：，解得，∴y＝﹣10x+400；當(dāng)30＜x≤45時(shí)，把（30，100），（45，40）代入得：，解得，∴y＝﹣4x+220；綜上所述，y＝；（2）設(shè)銷售利潤(rùn)為w元，當(dāng)20≤x≤30時(shí)，w＝（x﹣20）（﹣10x+400）＝﹣10x2+600x﹣8000＝﹣10（x﹣30）2+1000，∴當(dāng)x＝30時(shí)，w最大為1000元；當(dāng)30＜x≤45時(shí)，w＝（x﹣20）（﹣4x+220）＝﹣4x2+300x﹣4400＝﹣4（x﹣37.5）2+1225，∵x為整數(shù)，∴x＝37或x＝38時(shí)，w取最大值﹣4×+1225＝1224（元）；綜上所述，當(dāng)日銷售單價(jià)為37元或38元時(shí)，該商品每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1224元；（3）由（2）知，當(dāng)20≤x≤30時(shí)，該商品每天的銷售利潤(rùn)最大為1000元；∴只有在30＜x≤45時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)才可能不低于1200元；∴﹣4（x﹣37.5）2+1225≥1200，解得35≤x≤40，∴銷售單價(jià)x的取值范圍是35≤x≤40．24．（8分）（2023?徐州二模）?如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)M在第一象限內(nèi)的拋物線上，連接AM，與線段BC交于點(diǎn)N．（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0），則a＝﹣2；（2）求直線BC的解析式；（3）若AN＝5MN，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．解：（1）令y＝0，則，化簡(jiǎn)得：x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣2，∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0），∴a＝﹣2，故答案為：﹣2；（2）令x＝0，則y＝4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），由（1）知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∴，解得：，∴直線BC的解析式為；（3）過(guò)點(diǎn)N作ND⊥AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AB于點(diǎn)E，設(shè)直線AN的解析式為y＝mx+n，∵直線AN過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），∴﹣2m+n＝0，∴n＝2m，∴直線AN的解析式為y＝mx+2m，由題意得：，解得：，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)是，即，由題意得：，解得：，，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是，∴，∵ND⊥AB，ME⊥AB，∴ND∥ME，∴△AND∽△AME，∴，∵AN＝5MN，∴，∴，解得：或，當(dāng)時(shí)，，，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，4），綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或（1，4）．25．（8分）（2023?興化市一模）已知拋物線y＝ax2（a＞0）經(jīng)過(guò)第二象限的點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB∥x軸交拋物線于點(diǎn)B，第一象限的點(diǎn)C為直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，連接AC、BC．（1）如圖1，若點(diǎn)A（﹣1，1），CE＝1．①求a的值；②求證：△ACE∽△CBE．（2）如圖2，點(diǎn)D在線段AB下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線，分別交AB、AC于點(diǎn)F、G，連接AD、BD．若∠ADB＝90°，求DF的值（用含有a的代數(shù)式表示）．（3）在（2）的條件下，連接BG、DE，試判斷的值是否隨點(diǎn)D的變化而變化？如果不變，求出的值，如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）①∵A（﹣1，1）在拋物線上，∴a（﹣1）2＝1，解得：a＝1．②∵B在拋物線上，且AB∥x軸，∴B與A關(guān)于y＝x2的對(duì)稱軸y軸對(duì)稱．∴B（1，1）．∵CE＝1，∴C的縱坐標(biāo)2．令y＝2，即：x2＝2，解得：（舍），．∴C（，2），又∵CE⊥AB，∴E（，1），∴AE＝，BE＝，∴，又∵∠AEC＝∠CEB＝90°，∴△ACE∽△CBE．（2）設(shè)：A（﹣n，an2），B（n，an2），D（m，am2），則DF＝an2﹣am2．若∠ADB＝90°，則△ABD為Rt△，根據(jù)勾股定理可得：AD2+DB2＝AB2．即：（m+n）2+（an2﹣am2）2+（an2﹣am2）2+（n﹣m）2＝（2n）2．整理得：，即：DF＝．（3）依題意設(shè)：A（﹣n，an2），B（n，an2），C（p，ap2），D（m，am2），E（p，an2）．∵DG⊥AB，CE⊥AB，∴FG∥EC，∴△AFG∽△AEC，∴，∴．∴．．∴．即：的值不隨D的變化而變化，其值為1．26．（8分）（2023?宿遷）某商場(chǎng)銷售A、B兩種商品，每件進(jìn)價(jià)均為20元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果售出A種20件，B種10件，銷售總額為840元；如果售出A種10件，B種15件，銷售總額為660元．（1）求A、B兩種商品的銷售單價(jià)；（2）經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，A種商品按原售價(jià)銷售，可售出40件，原售價(jià)每降價(jià)1元，銷售量可增加10件；B種商品的售價(jià)不變，A種商品售價(jià)不低于B種商品售價(jià)．設(shè)A種商品降價(jià)m元，如果A、B兩種商品銷售量相同，求m取何值時(shí)，商場(chǎng)銷售A、B兩種商品可獲得總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解：（1）設(shè)A種商品的銷售單價(jià)為a元，B種商品的銷售單價(jià)為b元，由題意可得：，解得，答：（2）設(shè)利潤(rùn)為w元，由題意可得：w＝（30﹣m﹣20）（40+10m）+（24﹣20）（40+10m）＝﹣10（m﹣5）2+810，∵A種商品售價(jià)不低于B種商品售價(jià)，∴30﹣m≥24，解得m≤6，∴當(dāng)m＝5時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w＝810，答：m取5時(shí)，商場(chǎng)銷售A、B兩種商品可獲得總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是810元．27．（8分）（2023?新吳區(qū)二模）網(wǎng)絡(luò)直銷相對(duì)于傳統(tǒng)直銷而言，沒(méi)有地域限制且市場(chǎng)可期待值高，因而一些傳統(tǒng)商家開始向線上轉(zhuǎn)型．某商家通過(guò)“直播帶貨”，一季度實(shí)物商品網(wǎng)上零售額因此得以逆勢(shì)增長(zhǎng)．若該商家銷售一種進(jìn)價(jià)為每件10元的日用商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元