北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊 專題3.15 直線和圓的位置關(guān)系（知識講解）

專題3.15直線和圓的位置關(guān)系（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解直線與圓的三種位置關(guān)系,會用點(diǎn)到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系；

【要點(diǎn)梳理】1．直線和圓的三種位置關(guān)系：

(1)相交：直線與圓有兩個公共點(diǎn)時，叫做直線和圓相交．這時直線叫做圓的割線．

(2)相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時，叫做直線和圓相切．這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．

(3)相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)時，叫做直線和圓相離．

2．直線與圓的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)．

直線與圓的位置關(guān)系能否像點(diǎn)與圓的位置關(guān)系一樣通過一些條件來進(jìn)行分析判斷呢？

由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(diǎn)(圓心)的位置關(guān)系．下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑．

如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么

特別說明：

這三個命題從左邊到右邊反映了直線與圓的位置關(guān)系所具有的性質(zhì)；從右邊到左邊則是直線與圓的位置關(guān)系的判定．【典型例題】類型一、判定直線和圓的位置關(guān)系1．在平面直角坐標(biāo)系中，圓心O的坐標(biāo)為（-3，4），以半徑r在坐標(biāo)平面內(nèi)作圓，（1）當(dāng)r時，圓O與坐標(biāo)軸有1個交點(diǎn)；（2）當(dāng)r時，圓O與坐標(biāo)軸有2個交點(diǎn)；（3）當(dāng)r時，圓O與坐標(biāo)軸有3個交點(diǎn)；（4）當(dāng)r時，圓O與坐標(biāo)軸有4個交點(diǎn)；【答案】（1）；（2）；（3）或5；（6）且【分析】分別根據(jù)直線與圓相切、相交的關(guān)系進(jìn)行逐一解答即可．解：（1）圓心的坐標(biāo)為，當(dāng)時，圓與坐標(biāo)軸有1個交點(diǎn)；（2）圓心的坐標(biāo)為，當(dāng)時，圓與坐標(biāo)軸有2個交點(diǎn)；（3）圓心的坐標(biāo)為，當(dāng)或5時，圓與坐標(biāo)軸有3個交點(diǎn)；（4）圓心的坐標(biāo)為，當(dāng)且時，圓與坐標(biāo)軸有4個交點(diǎn)．故答案為：（1）；（2）；（3）或5；（6）且．【點(diǎn)撥】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，解答此題時要考慮到圓過原點(diǎn)的情況，這是此題易遺漏的地方．舉一反三：【變式1】如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線．（1）請尺規(guī)作圖：作⊙O，使圓心O在AB上，且AD為⊙O的一條弦．（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）判斷直線BC與所作⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）直線BC與所作⊙O相切，理由見解析【分析】（1）作AD的垂直平分線交AB于點(diǎn)O，以O(shè)A為半徑畫圓即可；（2）連接OD，通過等邊對等角和角平分線的定義可得出∠CAD＝∠ODA，從而有OD∥AC，∠ODB＝∠C＝90°所以BC為⊙O的切線解：（1）如圖，⊙O為所作；（2）直線BC與所作⊙O相切．理由如下：連接OD，如圖，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，∴OD⊥BC，∴BC為⊙O的切線．【點(diǎn)撥】本題主要考查垂直平分線和圓的作法以及直線與圓的位置關(guān)系，掌握切線的判定方法是解題的關(guān)鍵.【變式2】如圖，，點(diǎn)在上，且，以為圓心，為半徑作圓．（1）討論射線與公共點(diǎn)個數(shù)，并寫出對應(yīng)的取值范圍；（2）若是上一點(diǎn)，，當(dāng)時，求線段與的公共點(diǎn)個數(shù)．【答案】（1）見解析（2）0個【分析】(1)作于點(diǎn),由，可得點(diǎn)到射線的距離,根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的定義即可判斷射線OA與圓M的公共點(diǎn)個數(shù)；(2)連接．可得,由可得,得到,故當(dāng)時，可判斷線段與的公共點(diǎn)個數(shù)．解：（1）如圖，作于點(diǎn)．，∴點(diǎn)到射線的距離．∴當(dāng)時，與射線只有一個公共點(diǎn)；當(dāng)時，與射線沒有公共點(diǎn)；當(dāng)時，與射線有兩個公共點(diǎn)；當(dāng)時，與射線只有一個公共點(diǎn)．（2）如圖，連接．．,.∴當(dāng)時，線段與的公共點(diǎn)個數(shù)為0．

【點(diǎn)撥】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)圓心到直線的距離判斷位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【變式3】如圖，∠O=30°，C為OB上一點(diǎn)，且OC=6，以點(diǎn)C為圓心，試判斷半徑為3的圓與OA的位置關(guān)系.【答案】相切【解析】利用直線l和⊙O相切?d=r，進(jìn)而判斷得出即可試題解析：相切，理由如下：過點(diǎn)C作CD⊥AO于點(diǎn)D，∵∠O=30°，OC=6，∴DC=3，∴以點(diǎn)C為圓心，半徑為3的圓與OA的位置關(guān)系是：相切．類型二、由直線和圓的位置關(guān)系求半徑的取值范圍2．如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點(diǎn)A，OA＝5，OA與⊙O相交于點(diǎn)P，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，BP的延長線交直線l于點(diǎn)C．(1)試判斷線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若在⊙O上存在點(diǎn)Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，求⊙O的半徑r的取值范圍．【答案】（1）AB＝AC（2）≤r<5【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)和垂直得出，推出，求出，根據(jù)等腰三角形的判定推出即可；（2）根據(jù)已知得出在的垂直平分線上，作出線段的垂直平分線，作，求出，求出范圍，再根據(jù)相離得出，即可得出答案.解：(1)AB＝AC，理由如下：如圖1，連結(jié)OB.∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA＝∠OAC＝90°，∴∠OBP＋∠ABP＝90°，∠ACP＋∠APC＝90°，∵OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB，∵∠OPB＝∠APC，∴∠ACP＝∠ABC，∴AB＝AC；(2)如圖2，作出線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，則可以推出；又∵圓O與直線MN有交點(diǎn)，∴，，，r2≥5，∴，又∵圓O與直線l相離，∴r<5，即.圖1圖2【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、直線與圓的位置關(guān)系等知識點(diǎn)的應(yīng)用，主要培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算的能力.本題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度.【變式1】如圖，已知⊙O的半徑為5cm，點(diǎn)O到直線l的距離OP為7cm．（1）怎樣平移直線l，才能使l與⊙O相切？（2）要使直線l與⊙O相交，設(shè)把直線l向上平移xcm，求x的取值范圍【答案】（1）將直線l向上平移2cm或12cm；（2）2cm＜x＜12cm．【分析】（1）由切線的判定與性質(zhì)和平移的性質(zhì)即可得出結(jié)果；（2）由（1）的結(jié)果即可得出答案．解：（1）∵⊙O的半徑為5cm，點(diǎn)O到直線l的距離OP為7cm，∴將直線l向上平移7-5=2（cm）或7+5=12（cm），才能使l與⊙O相切；（2）由（1）知，要使直線l與⊙O相交，直線l向上平移的距離大于2cm且小于12cm，∴2cm＜x＜12cm，x的取值范圍為：2cm＜x＜12cm．【點(diǎn)撥】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等知識；熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】．在中，D是邊BC上一點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑作弧，如果與邊BC有交點(diǎn)E（不與點(diǎn)D重合），那么稱為的A-外截弧.例如，圖中是的一條A-外截弧.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知存在A-外截弧，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合.（1）在點(diǎn)，，，中，滿足條件的點(diǎn)C是_______.（2）若點(diǎn)C在直線上.①求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍.②直接寫出的A-外截弧所在圓的半徑r的取值范圍.【答案】（1）C2、C3；（2）-2<y<或y>2；（3）<r<5或<r<5.【分析】（1）如圖，根據(jù)BC1⊥AB可得△ABC1沒有A-外截弧，作AF⊥BC2于F，由AC2<AB可得當(dāng)AF<AD2<AC2時，△ABC2有A-外截??；作AG⊥BC3于G，根據(jù)點(diǎn)C3坐標(biāo)，可求出AC3的長，可得AC3<AB，即可得出AG<AD1<AC3時，△ABC3有A-外截??；根據(jù)A、B、C4坐標(biāo)可求出BC4、AC4的長，根據(jù)勾股定理逆定理可得△ABC4是直角三角形，且AC4⊥BC4，可得△ABC4沒有A-外截弧，綜上即可得答案；（2）①根據(jù)△ABC有A-外截弧可得∠ABC<90°，可得x>0，設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（m，m-2），利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可求出∠ACB=90°時點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)∠ACB<90°時，△ABC有A-外截弧可得m的取值范圍，代入y=x-2，即可得點(diǎn)C縱坐標(biāo)的取值范圍；②求出∠ACB=90°時AC的長，進(jìn)而可得答案.解：（1）如圖，∵BC1⊥AB，∴△ABC1沒有A-外截弧，作AF⊥BC2于F，∵A（5，0），B（0，0），C2（5，-3），∴∠BAC2=90°，AC2=3，AB=5，∴AC2<AB，∴AF<AD2<AC2時，△ABC2有A-外截弧，滿足條件，作AG⊥BC3于G，∵C3（6，4），∴AC3=<AB，∴AG<AD1<時，△ABC3有A-外截弧，滿足條件，∵C4（4，2），∴BC4=，AC4=，AB=5，∵()2+()2=52，∴△ABC4是直角三角形，∠AC4B=90°，∴△ABC4沒有A-外截弧，綜上所述：滿足條件的點(diǎn)C是C2、C3.故答案為：C2、C3（2）①∵點(diǎn)C在直線y=x-2上，∴設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，m-2），∵△ABC有A-外截弧，∴∠ABC<90°，∴m>0，當(dāng)∠ACB=90°時，∵A（5，0），B（0，0），∴斜邊AB的中點(diǎn)H的坐標(biāo)為（2.5，0），∴(m-2.5)2+(m-2)2=(2.5)2，解得：m1=，m2=4，∴∠ACB=90°時，點(diǎn)C坐標(biāo)為（，）或（4，2），∵直線解析式為y=x-2，∴x=0時，y=-2，∴與y軸交點(diǎn)為（0，-2），∵△ABC有A-外截弧時，∠ACB<90°，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍為-2<y<或y>2.②由①得x=或x=4時，∠ACB=90°，∴C1（，），C2（4，2），∴AC1=，AC2=，∴的A-外截弧所在圓的半徑r的取值范圍為：<r<5或<r<5.【點(diǎn)撥】本題考查直線和圓的位置關(guān)系、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.【變式3】已知：如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，，AB＝14，（1）求：△ABC的面積；（2）若以C為圓心的圓C與直線AB相切，以A為圓心的圓A與圓C相切，試求圓A的半徑．【答案】(1)42;(2)4或16【分析】（1）過C作CD⊥AB于D解直角三角形得到CD，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)圓C與直線AB相切，得到○C的半徑，根據(jù)勾股定理得到AC，設(shè)○A的半徑為r，當(dāng)圓A與圓C內(nèi)切時，當(dāng)圓A與圓C外切時即可得到結(jié)論解：（1）過C作CD⊥AB于D，∵，∴，∵∠ABC＝45°，∴BD＝CD，∵AB＝14，∴，∴CD＝6，∴△ABC的面積；（2）∵以C為圓心的圓C與直線AB相切，∴⊙C的半徑＝6，∵AD＝8，∴，設(shè)⊙A的半徑為r，當(dāng)圓A與圓C內(nèi)切時，r﹣6＝10，∴r＝16，當(dāng)圓A與圓C外切時，r+6＝10，∴r＝4，綜上所述：以A為圓心的圓A與圓C相切，圓A的半徑為：4或16．【點(diǎn)撥】本題的關(guān)鍵是做輔助線，考慮圓A與圓C內(nèi)切或外切兩種情況類型三、由直線和圓的位置關(guān)系求圓心到直線的距離3．如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，一段圓弧經(jīng)過網(wǎng)格的交點(diǎn)A、B、C．（1）請完成如下操作：①以點(diǎn)O為原點(diǎn)、豎直和水平方向?yàn)檩S、網(wǎng)格邊長為單位長，建立平面直角坐標(biāo)系；②根據(jù)圖形提供的信息，在圖中標(biāo)出該圓弧所在圓的圓心D．（2）請?jiān)冢?）的基礎(chǔ)上，完成下列填空：①寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：D（）；②⊙D的半徑=（結(jié)果保留根號）；③利用網(wǎng)格試在圖中找出格點(diǎn)E，使得直線EC與⊙D相切（寫出所有可能的結(jié)果）．【答案】（1）見解析；（2）①（2，0）；②2；③（7，0）．【分析】（1）根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，然后作出弦AB的垂直平分線，以及BC的垂直平分線，兩直線的交點(diǎn)即為圓心D，連接AD，CD；

（2）①根據(jù)第一問畫出的圖形即可得出D的坐標(biāo)；

②在直角三角形AOD中，由OA及OD的長，利用勾股定理求出AD的長，即為圓D的半徑；

③根據(jù)半徑相等得出CD=AD=2，設(shè)EF=x，在Rt△CDE和Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理列出兩個式子即可求出x的值，從而求出E點(diǎn)坐標(biāo)解：(1)根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：(2)①根據(jù)圖形得：D(2,0)；②在Rt△AOD中，OA=4，OD=2，根據(jù)勾股定理得：AD==2則D的半徑為2③∵EC與⊙D相切∴CE⊥DC∴△CDE為直角三角形即∠DCE=90°∵AD和CD都是圓D的半徑，∴由②知，CD=AD=2設(shè)EF=x在Rt△CDE中，（2）2+CE2=(4+x)2在Rt△CEF中，22+x2=CE2∴（2）2+（22+x2）=(4+x)2解得，x=1，即EF=1∴OE=2+4+1=7∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（7,0）【點(diǎn)撥】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系,涉及的知識有:坐標(biāo)與圖形性質(zhì),垂徑定理,勾股定理及逆定理,切線的判定,利用了數(shù)形結(jié)合的思想,根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形是解本題的關(guān)鍵.【變式1】如圖，第一象限內(nèi)半徑為2的⊙C與y軸相切于點(diǎn)A，作直徑AD，過點(diǎn)D作⊙C的切線l交x軸于點(diǎn)B，P為直線l上一動點(diǎn)，已知直線PA的解析式為：y＝kx+3．（1）設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為p，寫出p隨k變化的函數(shù)關(guān)系式．（2）設(shè)⊙C與PA交于點(diǎn)M，與AB交于點(diǎn)N，則不論動點(diǎn)P處于直線l上（除點(diǎn)B以外）的什么位置時，都有△AMN∽△ABP．請你對于點(diǎn)P處于圖中位置時的兩三角形相似給予證明；（3）是否存在使△AMN的面積等于的k值？若存在，請求出符合的k值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)p＝4k+3；(2)見解析;(3)存在，k＝2±或k＝﹣2時，△AMN的面積等于,理由見解析【分析】（1）由切線的性質(zhì)知∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，所以可以判定四邊形OADB是矩形；根據(jù)⊙O的半徑是2求得直徑AD＝4，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，將其代入直線方程y＝kx＋3即可知p變化的函數(shù)關(guān)系式；（2）連接DN．∵直徑所對的圓周角是直角，∴∠AND＝90°，根據(jù)圖示易證∠AND＝∠ABD；然后根據(jù)同弧所對的圓周角相等推知∠ADN＝∠AMN，再由等量代換可知∠ABD＝∠AMN；最后利用相似三角形的判定定理AA證明△AMN∽△ABP；（3）存在．把x＝0代入y＝kx＋3得y＝3，即OA＝BD＝3，然后由勾股定理求得AB＝5；又由相似三角形的相似比推知相似三角形的面積比．分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)上方時，由相似三角形的面積比得到k2?4k?2＝0，解關(guān)于k的一元二次方程；②當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)下方時，由相似三角形的面積比得到k2＋1＝?（4k＋3），解關(guān)于k的一元二次方程．解：（1）∵y軸和直線l都是⊙C的切線，∴OA⊥AD，BD⊥AD；又∵OA⊥OB，∴∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，∴四邊形OADB是矩形；∵⊙C的半徑為2，∴AD＝OB＝4；∵點(diǎn)P在直線l上，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，p）；又∵點(diǎn)P也在直線AP上，∴p＝4k+3；（2）連接DN．∵AD是⊙C的直徑，∴∠AND＝90°，∵∠ADN＝90°﹣∠DAN，∠ABD＝90°﹣∠DAN，∴∠ADN＝∠ABD，又∵∠ADN＝∠AMN，∴∠ABD＝∠AMN，∵∠MAN＝∠BAP，∴△AMN∽△ABP（3）存在．理由：把x＝0代入y＝kx+3得：y＝3，即OA＝BD＝3，AB＝，∵S△ABD＝AB?DN＝AD?DB∴DN＝＝，∴AN2＝AD2﹣DN2＝，∵△AMN∽△ABP，∴，即當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)上方時，∵AP2＝AD2+PD2＝AD2+（PB﹣BD）2＝42+（4k+3﹣3）2＝16（k2+1），或AP2＝AD2+PD2＝AD2+（BD﹣PB）2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1），S△ABP＝PB?AD＝（4k+3）×4＝2（4k+3），∴，整理得：k2﹣4k﹣2＝0，解得k1＝2+，k2＝2﹣當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)下方時，∵AP2＝AD2+PD2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1），S△ABP＝PB?AD＝[﹣（4k+3）]×4＝﹣2（4k+3）∴化簡得：k2+1＝﹣（4k+3），解得：k＝﹣2，綜合以上所得，當(dāng)k＝2±或k＝﹣2時，△AMN的面積等于【點(diǎn)撥】本題主要考查了梯形的性質(zhì)，矩形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意的是（3）中，要根據(jù)P點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類求解．【變式2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10cm，P為BC的中點(diǎn)，動點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā)，沿射線PC方向以cm/s的速度運(yùn)動，以P為圓心，PQ長為半徑作圓．設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動的時間為t秒．（1）當(dāng)t=2.5s時，判斷直線AB與⊙P的位置關(guān)系，并說明理由．（2）已知⊙O為Rt△ABC的外接圓，若⊙P與⊙O相切，求t的值．【答案】（1）相切，證明見解析；（2）t為s或s【分析】（1）直線AB與⊙P關(guān)系，要考慮圓心到直線AB的距離與⊙P的半徑的大小關(guān)系，作PH⊥AB于H點(diǎn)，PH為圓心P到AB的距離，在Rt△PHB中，由勾股定理PH，當(dāng)t=2.5s時，求出PQ的長，比較PH、PQ大小即可，（2）OP為兩圓的連心線，圓P與圓O內(nèi)切rO-rP=OP,圓O與圓P內(nèi)切，rP-rO=OP即可．解：（1）直線AB與⊙P相切．理由：作PH⊥AB于H點(diǎn)，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10，∴AB=2AC=20，BC=，∵P為BC的中點(diǎn)∴BP=∴PH=BP=，當(dāng)t=2.5s時，PQ=，∴PH=PQ=∴直線AB與⊙P相切，（2）連結(jié)OP，∵O為AB的中點(diǎn)，P為BC的中點(diǎn)，∴OP=AC=5，∵⊙O為Rt△ABC的外接圓，∴AB為⊙O的直徑，∴⊙O的半徑OB=10，∵⊙P與⊙O相切，∴PQ-OB=OP或OB-PQ=OP即t-10=5或10-t=5，∴t=或t=，故當(dāng)t為s或s時，⊙P與⊙O相切．【點(diǎn)撥】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓相切時求運(yùn)動時間t問題，關(guān)鍵點(diǎn)到直線的距離與半徑是否相等，會求點(diǎn)到直線的距離，會用t表示半徑與點(diǎn)到直線的距離，抓住兩圓相切分清情況，由圓心在圓O內(nèi)，沒有外切，只有內(nèi)切，要會分類討論，掌握圓P與圓O內(nèi)切rO-rP=OP,圓O與圓P內(nèi)切，rP-rO=OP．【變式3】如圖，P是⊙O直徑BA延長線上一點(diǎn)，過P作PC切⊙O于C，連接AC、BC，若PA＝AO＝2，（1）求PC的長，求AC的長；（2）求tan∠PCA的值及△PAC的面積．【答案】（1）PC＝2；AC＝2，（2）tan∠PCA＝；△PAC的面積為：．【分析】（1）連接OC，根據(jù)PA＝AO＝2，可知PO＝2OC，所以∠P＝30°，所以∠POC＝60°，從而可知△AOC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知AC＝2，最后根據(jù)含30度角的直角三角形求出OP，即可得出結(jié)論；（2）由（1）易知∠PCA＝30°，從而可求出tan∠PCA，易知CA是△PCO的中線，所以△PAC的面積等于△PCO的面積的一半．解：（1）連接OC，∵PC是⊙O的切線，∴∠PCO＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵PA＝AO＝CO＝2，∴PO＝2+2＝4，∴PO＝2OC，∴∠P＝30°，∴∠POC＝60°，∴△AOC是等邊三角形，∴AC＝2，在Rt△OCP中，OP＝2OC＝4，根據(jù)勾股定理得，PC＝2（2）由（1）可知：∠ACO＝60°，∠PCO＝90°，∴∠PCA＝30°，∴tan∠PCA＝；∵A是PO的中點(diǎn)，∴CA是△PCO的中線，∵△PCO的面積為：×2×2＝2，∴△PAC的面積為：×2＝．【點(diǎn)撥】本題考查圓的綜合問題，涉及三角形面積公式，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識．類型四、圓平移到與直線相切時圓心移動的距離4．作一個圓，使它經(jīng)過已知點(diǎn)和，并且圓心在已知直線上．（1）當(dāng)直線和相交時，可作幾個？（2）當(dāng)直線和垂直但不經(jīng)過的中點(diǎn)時，可作出幾個？（3）你還能提出不同于（1），（2）的問題嗎？【答案】（1）可作個圓；可作個；可作無數(shù)個圓；（2）可作個；（3）可作個圓．【分析】（1）圓心在線段的中垂線上，分類討論：若不垂直可作個圓；若垂直但不經(jīng)過的中點(diǎn)，可作個；垂直且經(jīng)過的中點(diǎn)時，可作無數(shù)個圓．（2）在（1）中第二種情況已解答；（3）可以設(shè)與平行，則線段的中垂線與必有一個交點(diǎn)，則可作個圓．解：（1）當(dāng)直線和相交，若不垂直可作個圓；若垂直但不經(jīng)過的中點(diǎn)，可作個；垂直且經(jīng)過的中點(diǎn)時，可作無數(shù)個圓．（2）當(dāng)直線和垂直但不經(jīng)過的中點(diǎn)時，可作個；（3）當(dāng)直線和平行時，可作個圓．【點(diǎn)撥】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d＞r．【變式1】如圖1，在四邊形ABCD中，BC∥AD，∠B＝90°，AD邊落在平面直角坐標(biāo)系的x軸上，且點(diǎn)A（5，0）、C（0，3）、AD＝2．點(diǎn)P從點(diǎn)E（﹣5，0）出發(fā)，沿x軸向點(diǎn)A以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A時停止運(yùn)動．運(yùn)動時間為t秒．（1）∠BCD的度數(shù)為______°.（2）當(dāng)t＝_____時，△PCD為等腰三角形.（3）如圖2，以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑作⊙P．①求當(dāng)t為何值時，⊙P與四邊形ABCD的一邊（或邊所在的直線）相切.②當(dāng)t______時，⊙P與四邊形ABCD的交點(diǎn)有兩個；當(dāng)t_____時，⊙P與四邊形ABCD的交點(diǎn)有三個．【答案】（1）45；（2）5或2或8﹣3；（3）①當(dāng)t的值為2或5或時，⊙P與四邊形ABCD的一邊相切；②2＜t＜5或t＝；5＜t＜．【分析】（1）根據(jù)A、C坐標(biāo)可得OC=3，OA=5，由AD=2可得OD=3，可得OC=OD，由∠COD=90°，可得∠ODC=45°，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得∠BCD=45°；（2）分PC＝PD，CP＝CD，DC＝DP三種情況，分別求出t值即可；（3）分⊙P與CD、BC、AB邊相切三種情況，分別求出t值即可；②根據(jù)①中三個圖形及點(diǎn)P運(yùn)動到OA中點(diǎn)時有兩個交點(diǎn)即可得答案.解：（1）∵A（5，0）、C（0，3），∴OC＝3，OA＝5，又∵AD＝2，∴OD＝OA﹣AD＝3，∴OC＝OD，∵∠COD＝90°，∴∠OCD＝∠ODC＝45°，又∵BC∥AD，∴∠BCD＝∠ODC＝45°，故答案為：45；（2）若△PCD為等腰三角形，①當(dāng)PC＝PD時，點(diǎn)P在CD的垂直平分線上，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，∴P（0，0），∵E（﹣5，0），∴PE＝5，∴t＝5.②當(dāng)CP＝CD時，∵CO⊥PD，∴CO垂直平分PD，∴PO＝OD＝3，∴P（﹣3，0），∵E（﹣5，0），∴PE＝2，∴t＝2.③當(dāng)DC＝DP時，在Rt△COD中，DC＝＝3，∴DP＝3，∴OP＝3﹣3，∴EP＝OE﹣OP＝5﹣（3﹣3）＝8﹣3，∴t＝8﹣3.故答案為：5或2或8﹣3（3）①如圖2﹣1，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動至與四邊形ABCD的CD邊相切時，PC⊥CD，∵∠CDO＝45°，∴△CPD為等腰直角三角形，∵CO⊥PD，∴PO＝DO＝3，∴EP＝2，即t＝2；如圖2﹣2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)O重合時，∵PC為⊙P半徑，且PC⊥BC，∴此時⊙P與四邊形ABCD的BC邊相切，∴t＝5.如圖2﹣3，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動至與四邊形ABCD的AB邊相切時，PA為⊙P半徑，設(shè)PC＝PA＝r，在Rt△PCD中，OP＝OA﹣PA＝5﹣r，∵PC2＝OC2+OP2，∴r2＝32+（5﹣r）2，解得，r＝，∴t＝EP＝10﹣＝.∴當(dāng)t的值為2或5或時，⊙P與四邊形ABCD的一邊相切.②如圖2﹣1，當(dāng)⊙P與四邊形ABCD的CD邊相切時，只有一個交點(diǎn)，此時t＝2，繼續(xù)向右運(yùn)動會有兩個交點(diǎn).如圖2﹣2，當(dāng)⊙P與四邊形ABCD的CB邊相切時，有C，D兩個交點(diǎn)，此時t＝5，繼續(xù)向右運(yùn)動會有三個交點(diǎn).如圖2﹣3，當(dāng)⊙P與四邊形ABCD的AB邊相切時，⊙P與四邊形ABCD有三個交點(diǎn)，此時t＝，繼續(xù)向右運(yùn)動有三個交點(diǎn).如圖2﹣4，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動至OA的中點(diǎn)時，⊙P與四邊形ABCD有C，B兩個交點(diǎn)，此時t＝，綜上所述，答案為：2＜t＜5或t＝；5＜t＜．【點(diǎn)撥】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)及直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵.【變式2】如圖，⊙P與y軸相切，圓心為P（－2，1），直線MN過點(diǎn)M（2，3），N（4，1）.（1）請你在圖中作出⊙P關(guān)于y軸對稱的⊙P′；（不要求寫作法）（2）求⊙P在x軸上截得的線段長度；（3）直接寫出圓心P′到直線MN的距離．【答案】（1）如下圖；（2）；（3）解答：（1）如圖所示：（2）⊙P在x軸上截得的線段長度為22（3）由圖可知，P′M=2，P′N=2，△P′MN為直角三角形∴MN==2，∴點(diǎn)P′到直線MN的距離=．考點(diǎn)：基本作圖，勾股定理點(diǎn)評：作圖題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要題型，在中考中比較常見，一般難度不大，需熟練掌握.【變式3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知C（6，8），以點(diǎn)C為圓心的圓與y軸相切．點(diǎn)A、B在x軸上，且OA＝OB．點(diǎn)P為⊙C上的動點(diǎn)，∠APB＝90°，則AB長度的最大值為_____．【答案】32【分析】連接OP，根據(jù)題意得：當(dāng)OP經(jīng)過點(diǎn)C時，OP最長；結(jié)合C（6，8），以點(diǎn)C為圓心的圓與y軸相切，根據(jù)勾股定理和圓的半徑性質(zhì)，計算得OP；在通過直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，即可得到AB的最大值．解：連接OP當(dāng)OP經(jīng)過點(diǎn)C時，OP最長∵C（6，8），以點(diǎn)C為圓心的圓與y軸相切∴，∴∵OA＝OB，∠APB＝90°∴OP是斜邊上的中線∴，即OP取最大值時，AB最大∴故答案為：32．【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形斜邊中線