專題08雙曲線及其方程（重難點(diǎn)突破）原卷版

專題08雙曲線及其方程考點(diǎn)一雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．集合P＝{Meq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))))＝2a}，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，其中a，c為常數(shù)，且a>0，c>0.(1)當(dāng)a＜c時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線；(2)當(dāng)a＝c時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是兩條射線；(3)當(dāng)a＞c時(shí)，點(diǎn)P不存在．考點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A1A2))＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(B1B2))＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)考點(diǎn)三、常用結(jié)論1、過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長(zhǎng)為eq\f(2b2,a)，也叫通徑．2、與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．3、雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.4、若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.重難點(diǎn)題型突破1雙曲線的定義及其應(yīng)用例1、(1)、（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若動(dòng)圓與圓和圓都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為（

）A．雙曲線的一支 B．圓C．拋物線 D．雙曲線(2)、（2023秋·貴州貴陽·高三清華中學(xué)校考階段練習(xí)）若方程所表示的曲線為，則下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．若曲線為雙曲線，則或B．若曲線為橢圓，則C．曲線可能是圓D．若曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則(3)、設(shè)雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點(diǎn)，則|BF2|＋|AF2|的最小值為__________．【變式訓(xùn)練11】、（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓C1：（x＋3）2＋y2＝1和圓C2：（x－3）2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為______.【變式訓(xùn)練12】、（2023秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）“”是“方程表示的曲線是雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式訓(xùn)練13】、（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)訄AM與圓C1：(x＋5)2＋y2＝16外切，與圓C2：(x－5)2＋y2＝16內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為___________．重難點(diǎn)題型突破2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2、（2023秋·寧夏銀川·高二?？计谥校┣筮m合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)，焦點(diǎn)在軸上，且過點(diǎn)；(2)經(jīng)過兩點(diǎn)，.【變式訓(xùn)練21】、（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高二?？茧A段練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)經(jīng)過、兩點(diǎn)．(2)過點(diǎn)，且與橢圓有相同焦點(diǎn)雙曲線方程.重難點(diǎn)題型突破3雙曲線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用例3、（1）、（2023秋·湖北襄陽·高二襄陽市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）是雙曲線上一點(diǎn)，點(diǎn)分別是雙曲線左右焦點(diǎn)，若，則（

）A．9或1 B．1 C．9 D．9或2（2）．（2021·全國(guó)高二單元測(cè)試）已知雙曲線，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為___________（3）．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）與雙曲線具有相同漸近線，且兩頂點(diǎn)間的距離為2的雙曲線方程為______．（4）．（2023秋·河北保定·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選題）已知雙曲線的焦點(diǎn)分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．漸近線方程為B．雙曲線與橢圓的離心率互為倒數(shù)C．若雙曲線上一點(diǎn)滿足，則的周長(zhǎng)為28D．若從雙曲線的左?右支上任取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的最短距離為6【變式訓(xùn)練31】、（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）等軸雙曲線過點(diǎn)，則它的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【變式訓(xùn)練32】、（2023·陜西渭南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的離心率為2，則．【變式訓(xùn)練33】、（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的離心率，且該雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【變式訓(xùn)練34】、（2023秋·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選題）已知雙曲線，若圓與雙曲線的漸近線相切，則（

）A．雙曲線C的漸近線方程為B．雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為6C．雙曲線C的離心率D．過雙曲線C的右焦點(diǎn)的直線與圓M交于A，B兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)重難點(diǎn)題型突破4直線與雙曲線的位置關(guān)系例4、（2024秋·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在一張紙上有一個(gè)圓：，圓心為點(diǎn)，定點(diǎn)，折疊紙片使圓上某一點(diǎn)好與點(diǎn)重合，這樣每次折疊都會(huì)留下一條直線折痕，設(shè)折痕與直線的交點(diǎn)為.(1)求出點(diǎn)的軌跡的方程；(2)若過點(diǎn)且斜率為（或）的直線交曲線于，兩點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，滿足，試問是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由【變式訓(xùn)練41】、（2023秋·上海寶山·高三上海交大附中校考階段練習(xí)）：，雙曲線是橢圓的“姊妹”圓錐曲線，，分別為，的離心率，且，點(diǎn)M，N分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線l交雙曲線右支A，B兩點(diǎn)，若直線AM，BN的斜率分別為，.(1)求雙曲線的方程；(2)試探究與的是否定值.若是定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由；(3)求的取值范圍.重難點(diǎn)題型突破5最值與范圍問題例5、（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線()左、右焦點(diǎn)為，其中焦距為，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)過右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于M，N兩點(diǎn)(M，N均在雙曲線的右支上)，過原點(diǎn)O作射線，其中，垂足為為射線與雙曲線右支的交點(diǎn)，求的最大值．【變式訓(xùn)練51】、（2023秋·浙江金華·高三階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，是雙曲線的兩條漸近線上的動(dòng)點(diǎn)，滿足點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)在第四象限，且直線與的右支有交點(diǎn).(1)求的最小值；(2)設(shè)是直線與的一個(gè)交點(diǎn)且.記上的點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離的取值集合為S，若，求面積的取值范圍.重難點(diǎn)題型突破6定點(diǎn)與定值問題例6、（2023秋·河北保定·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線過點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求雙曲線的離心率；(2)過的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，過雙曲線的右焦點(diǎn)且與平行的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，試問是否為定值？若是定值，求該定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由．【變式訓(xùn)練61】、（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.過的直線l交C的右支于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，M，N到C的一條漸近線的距離之和為.(1)求C的方程；(2)證明：為定值.1．（2023秋·安徽蕪湖·高一?？茧A段練習(xí)）已知曲線表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）雙曲線的兩條漸近線的夾角為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·江蘇宿遷·高二泗陽縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）（多選題）已知雙曲線C：，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2B．若雙曲線C的兩條漸近線相互垂直，則C．若是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，則D．若，則雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離最小值為24．（2023秋·江蘇無錫·高二輔仁高中校考階段練習(xí)）（多選題）已知方程表示的曲線為C，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線C是橢圓B．當(dāng)或時(shí)，曲線C是雙曲線C．若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則D．若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則5．（2021秋·安徽安慶·高二安慶市第七中學(xué)校考階段練習(xí)）若方程表示雙曲線，則的取值范圍是．6．（2023春·新疆和田·高二?？计谥校┡c雙曲線的焦點(diǎn)相同，且離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.7．（2023秋·四川成都·高三石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線與雙曲線的另外一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)在軸上，，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率.8．（2023春·