重難專題02 全等三角形的全等模型（原卷版）

重難專題02全等三角形的全等模型已知：，，．(1)如圖1當(dāng)點在上，______．(2)如圖2猜想與的面積有何關(guān)系？請說明理由．（溫馨提示：兩三角形可以看成是等底的）【分析】（1）由全等可知，所以當(dāng)點在上時，為等腰三角形，依據(jù)已知計算即可．（2）因為兩個三角形中有一邊相等，只要找到這兩個底對應(yīng)高之間的關(guān)系即可．【詳解】（1）解：，，又，，，在中，，故答案為：．（2）解：如下圖所示：過點作的邊上的高，過點作的邊上的高，由作圖及知：，，，（同角的余角相等），

在與中有：（），，，，，，，故答案為：．【點撥】本題考查了全等三角形性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是使用分析法找到:兩個三角形面積相等時，底相等則高相等，從而構(gòu)造全等證明對應(yīng)高相等．問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知為線段上一點，分別以線段，為直角邊作等腰直角三角形，，，，連接，，線段，之間的數(shù)量關(guān)系為______；位置關(guān)系為_______．拓展探究：如圖2，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，線段，交于點，則與之間的關(guān)系是否仍然成立？請說明理由．【分析】問題發(fā)現(xiàn)：根據(jù)題目條件證△ACE≌△DCB，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案；拓展探究：用SAS證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得．【詳解】解：問題發(fā)現(xiàn)：延長BD，交AE于點F，如圖所示：∵，∴，又∵,∴（SAS），，∵，∴，∴，∴，，故答案為：，；拓展探究：成立．理由如下：設(shè)與相交于點，如圖1所示：∵，∴，又∵，，∴（SAS），∴，，∵，∴，∴，∴，即，依然成立．【點撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，手拉手模型，熟練掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解決本題的關(guān)鍵．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經(jīng)過點A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當(dāng)直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，度；(2)求證：DE=CD+BE；(3)當(dāng)直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到90°；（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根據(jù)AAS可證△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=EA+AD=DC+BE．（3）同（2）易證△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由圖可知AE=AD+DE，所以CD=BE+DE．【詳解】（1）∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案為：90°．（2）證明：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵

∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且EA=DC由圖可知：DE=EA+AD=DC+BE．（3）∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且AE=CD由圖可知：AE=AD+DE∴CD=BE+DE．【點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角，也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．【問題提出】（1）如圖①，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點，且.求證：；【問題探究】（2）如圖②，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請說明理由；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.【分析】（1）延長到點，使，連接，由全等三角形的判定和性質(zhì)得出，，，繼續(xù)利用全等三角形的判定得出，結(jié)合圖形及題意即可證明；（2）在上截取，使，連接，結(jié)合圖形利用全等三角形的判定得出，再次使用全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性質(zhì)即可證明．【詳解】（1）證明：如圖①，延長到點，使，連接.又∵，，∴，∴，，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：結(jié)論不成立，應(yīng)當(dāng)是，理由：如圖②，在上截取，使，連接，∵，，∴，又∵，，∴，∴，，又∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴．【點撥】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵．（1）如圖①，在正方形中，、分別是、上的點，且，連接，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，在四邊形中，，，、分別是、上的點，且，此時（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．【分析】（1）典型的“夾半角模型”，延長到使得，先證，再證，最后根據(jù)邊的關(guān)系即可證明；（2）圖形變式題可以參考第一問的思路，延長到使得，先證，再證，最后根據(jù)邊的關(guān)系即可證明；【詳解】解：（1）證明：延長到，使得

連接

∵四邊形是正方形

∴，

又∵

∴

∴，

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

又∵

∴（2）證明：延長到，使得

連接

∵，

∴

又∵，

∴

∴，

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

又∵

∴【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的根據(jù)“夾半角模型”作出輔助線是解題的關(guān)鍵．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點D是直線AB上的一點，連接CD，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接EB．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖1，當(dāng)點D在線段AB上時，請你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為；線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系為；（2）猜想論證當(dāng)點D在直線AB上運(yùn)動時，如圖2，是點D在射線AB上，如圖3，是點D在射線BA上，請你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系，并對圖2的結(jié)論進(jìn)行證明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請你直接寫出△ADE的面積．【分析】（1）首先通過SAS證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質(zhì)和等量代換即可得出答案；（2）仿照（1）中證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）首先求出BE的長度，然后利用S△AED?AD?EB即可求解．【詳解】解：（1）如圖1中，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴ABE＝90°，∴AB⊥BE，∵AB＝AD+BD，AD＝BE，∴AB＝BD+BE，故答案為AB⊥BE，AB＝BD+BE．（2）①如圖2中，結(jié)論：BE＝AB+BD．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，AD＝BE，∴BE＝AB+BD．②如圖3中，結(jié)論：BD＝AB+BE．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∵BD＝AB+AD，AD＝BE，∴BD＝AB+BE．（3）如圖2中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝5+7＝12，∵BE⊥AD，∴S△AED?AD?EB12×12＝72．如圖3中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，∵BE⊥AD，∴S△AED?AD?EB2×2＝2．【點撥】本題主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)并分情況討論是關(guān)鍵．一、單選題1．如圖，在中，，，D、E是斜邊上兩點，且，若，，，則與的面積之和為（

）A．36 B．21 C．30 D．222．如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，點、、在同一條直線上．若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．3．如圖，在中，，、是斜邊上兩點，且，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到，連接．以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）A．②④ B．①④ C．②③ D．①③4．如圖，在△ABC中，，分別以AB、BC、CA邊向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，連接EF、GM、ND，設(shè)△AEF、△CGM、△BND的積分別為S1、S2、S3，則下列結(jié)論正確的(

)A． B．C． D．5．如圖，在等邊中，，點在上，且，點是上一動點，連結(jié)，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段．要使點恰好落在上，則的長是（

）A． B． C． D．6．如圖，是等邊三角形，點為邊上一點，以為邊作等邊，連接．若，，則（

）A． B． C． D．二、填空題7．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，將斜邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至AB′，連接B'C，則△AB′C的面積為_____．8．問題背景：如圖，點為線段外一動點，且，若，，連接，求的最大值．解決方法：以為邊作等邊，連接，推出，當(dāng)點在的延長線上時，線段取得最大值．問題解決：如圖，點為線段外一動點，且，若，，連接，當(dāng)取得最大值時，的度數(shù)為_________．9．如圖，在△ABC中，AB=BC，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)α度，得到△A1BC1，A1B交AC于點E，A1C1分別交AC、BC于點D、F，下列結(jié)論：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，④AD=CE，⑤A1F=CE，其中正確的是________(寫出正確結(jié)論的序號)三、解答題10．（1）【特例探究】如圖1，在四邊形中，，，，，猜想并寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，證明你的猜想；（2）【遷移推廣】如圖2，在四邊形中，，，．請寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在海上軍事演習(xí)時，艦艇在指揮中心（處）北偏東20°的處．艦艇乙在指揮中心南偏西50°的處，并且兩艦艇在指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正西方向以80海里/時的速度前進(jìn)，同時艦艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/時的速度前進(jìn)，半小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)，處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為75°．請直接寫出此時兩艦艇之間的距離．11．在中，，，是過A的一條直線，于點D，于E，（1）如圖（1）所示，若B，C在的異側(cè)，易得與，的關(guān)系是____________；（2）若直線繞點A旋轉(zhuǎn)到圖（2）位置時，（），其余條件不變，問與，的關(guān)系如何？請予以證明；（3）若直繞點A旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置，（），問與，的關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果，不需證明．12．如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°．MN是經(jīng)過點A的直線，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E．（1）求證：BD=AE．（2）若將MN繞點A旋轉(zhuǎn)，使MN與BC相交于點G（如圖2），其他條件不變，求證：BD=AE．（3）在（2）的情況下，若CE的延長線過AB的中點F（如圖3），連接GF，求證：∠1=∠2．13．如圖，，，．（1）求證：；（2）若，試判斷與的數(shù)量及位置關(guān)系并證明；（3）若，求的度數(shù)．14．在中，，．將一個含45°角的直角三角尺按圖所示放置，使直角三角尺的直角頂點D恰好落在邊的中點處．將直