2023-2024學(xué)年福建省廈門(mén)海滄區(qū)高三上冊(cè)9月月考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年福建省廈門(mén)海滄區(qū)高三上冊(cè)9月月考數(shù)學(xué)模擬試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．3．從長(zhǎng)度為的5條線段中任取3條，則這3條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率是（

）A． B． C． D．4．已知關(guān)于的不等式的解集為，其中，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．35．已知把物體放在空氣中冷卻時(shí)，若物體原來(lái)的溫度是，空氣的溫度是，則后物體的溫度滿足公式（其中k是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù)）.某天小明同學(xué)將溫度是的牛奶放在空氣中，冷卻后牛奶的溫度是，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．牛奶的溫度降至還需D．牛奶的溫度降至還需6．已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在處有極值”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件7．已知，分別是橢圓（）的左，右焦點(diǎn)，M，N是橢圓C上兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．8．記，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知一組樣本數(shù)據(jù)、、、均為正數(shù)，且，若由生成一組新的數(shù)據(jù)、、、，則這組新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的（

）可能相等A．極差 B．平均數(shù) C．中位數(shù) D．標(biāo)準(zhǔn)差10．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，則（

）A．在上是減函數(shù) B．C．是奇函數(shù) D．在上有4個(gè)零點(diǎn)11．已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不間斷的，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，在區(qū)間上單調(diào)遞增.若對(duì)任意恒成立，則下列選項(xiàng)中的可能取值有（

）A． B． C． D．12．已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，下列說(shuō)法正確的是（

）A．正四面體的外接球表面積為B．正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值C．正四面體的相鄰兩個(gè)面所成二面角的正弦值為D．正四面體在正四面體的內(nèi)部，且可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正四面體的體積最大值為三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．的展開(kāi)式中的系數(shù)為．14．已知函數(shù)，則使不等式成立的的取值范圍是.15．若定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，且，則．16．已知，，過(guò)x軸上一點(diǎn)P分別作兩圓的切線，切點(diǎn)分別是M，N，當(dāng)取到最小值時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17．西梅以“梅”為名，實(shí)際上不是梅子，而是李子，中文正規(guī)名叫“歐洲李”，素有“奇跡水果”的美譽(yù).因此，每批西梅進(jìn)入市場(chǎng)之前，會(huì)對(duì)其進(jìn)行檢測(cè)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了10箱西梅，其中有4箱測(cè)定為一等品.(1)現(xiàn)從這10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；(2)以這10箱的檢測(cè)結(jié)果來(lái)估計(jì)這一批西梅的情況，若從這一批西梅中隨機(jī)抽取3箱，記表示抽到一等品的箱數(shù)，求的分布列和期望.18．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求A；(2)若點(diǎn)D在邊BC上，，，，求的面積.19．在平行四邊形ABCD中，，，，過(guò)D點(diǎn)作于E，以DE為軸，將向上翻折使平面平面BCDE，連接CE，F(xiàn)點(diǎn)為線段CE的中點(diǎn)，Q為線段AC上一點(diǎn)．

(1)證明：；(2)若二面角的余弦值為，求的值．20．已知數(shù)列滿足，.(1)判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列？若是，給出證明；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若數(shù)列的前10項(xiàng)和為361，記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證.21．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）若極大值大于1，求的取值范圍.22．已知雙曲線與直線有唯一的公共點(diǎn)M.(1)若點(diǎn)在直線l上，求直線l的方程；(2)過(guò)點(diǎn)M且與直線l垂直的直線分別交x軸于，y軸于兩點(diǎn).是否存在定點(diǎn)G，H，使得M在雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)使得為定值.1．A【分析】求出集合、，利用并集的定義可求得集合.【詳解】由，，故.故選：A.2．B【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】由，則.故選：B.3．A【分析】利用列舉法，列出5條線段中任取3條線段的所有情況，然后找出能構(gòu)成三角形的情況，再利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】從5條線段中任取3條，可能的情況有：，，，，，，，，，共有10種可能，其中，能構(gòu)成三角形的只有，，共3種可能，所以能構(gòu)成三角形的概率為.故選：A.4．D【分析】由題意，得，且，是方程的兩根，由韋達(dá)定理，解得；，由基本不等式得，從而可得，利用對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可求解.【詳解】因?yàn)榈慕饧癁椋?，且，是方程的兩根，，得；，即，?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，令，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，的最小值為3.故選：D．5．D【分析】運(yùn)用代入法，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算逐一判斷即可.【詳解】由，得，故，AB錯(cuò)誤；又由，，得，故牛奶的溫度從降至需，從降至還需.故選：D6．B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可得到方程組，解得、再檢驗(yàn)，最后根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，解得或；?dāng)時(shí)，，即函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，故舍去；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿足函數(shù)在處取得極值，所以，所以由推不出函數(shù)在處有極值，即充分性不成立；由函數(shù)在處有極值推得出，即必要性成立；故“”是“函數(shù)在處有極值”的必要不充分條件；故選：B7．C【分析】設(shè)，結(jié)合橢圓的定義，在中利用勾股定理求得，中利用勾股定理求得，可求橢圓C的離心率.【詳解】連接，設(shè)，則，，，

在中，即，，，，，，在中，，即，，，又，.故選：C.8．D【分析】由函數(shù)在R上單調(diào)遞增，可判斷，再對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，由函數(shù)在單調(diào)遞減，可得，從而得解.【詳解】設(shè)，則在R上單調(diào)遞增，故，即；由于，設(shè)，，則，，則在單調(diào)遞減，故，即，則；綜上得，，D正確.故選：D9．BC【分析】利用極差的定義可判斷A選項(xiàng)；利用平均數(shù)公式可判斷B選項(xiàng)；利用中位數(shù)的定義可判斷C選項(xiàng)；利用方差公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，樣本數(shù)據(jù)、、、的極差為，樣本數(shù)據(jù)、、、的極差為，因?yàn)?，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，即，所以，樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，由可知，當(dāng)時(shí)，兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故B正確；當(dāng)時(shí)，樣本數(shù)據(jù)、、、的中位數(shù)為，樣本數(shù)據(jù)、、、的中位數(shù)為，同理可知當(dāng)時(shí)，中位數(shù)相等，當(dāng)時(shí)，樣本數(shù)據(jù)、、、的中位數(shù)為，樣本數(shù)據(jù)、、、的中位數(shù)為同理可知當(dāng)時(shí)，兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)樣本數(shù)據(jù)、、、的標(biāo)準(zhǔn)差為，樣本數(shù)據(jù)、、、的標(biāo)準(zhǔn)差為，則，，因?yàn)?，則，故，故兩組樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差不可能相等，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10．ACD【分析】A選項(xiàng)，代入檢驗(yàn)，得到在上單調(diào)遞減，A正確；B選項(xiàng)，計(jì)算出，，兩者不一定相等，C選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)平移變換求出，故C正確；D選項(xiàng)，令，得到，求出上，或或或，共4個(gè)零點(diǎn)，D正確.【詳解】時(shí)，，由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，A正確；，，因?yàn)?，由于與不一定相等，故與不一定相等，B錯(cuò)誤；，故是奇函數(shù)，C正確；令，解得：，，則，則或或或，解得：或或或，共4個(gè)零點(diǎn)，D正確.故選：ACD11．BC【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性得到函數(shù)為上單調(diào)遞增，進(jìn)而得到，利用參變分離和的取值范圍求出的取值范圍，進(jìn)而求解.【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)且在區(qū)間上單調(diào)遞增可得，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，函數(shù)為上單調(diào)遞增，由可得，，也即，則有恒成立，即因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，得到恒成立；當(dāng)時(shí)，則有，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，則，所以BC適合題意，AD不合題意.故選：BC.12．ABD【分析】根據(jù)正四面體的外接球、內(nèi)切球、體積以及二面角等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A.棱長(zhǎng)為2的正四面體的外接球與棱長(zhǎng)為的正方體的外接球半徑相同，設(shè)為R，則：，所以，所以A對(duì).

B.設(shè)正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離分別為，，，，設(shè)正四面體的高為d，由等體積法可得：，所以為定值，所以B對(duì).C.設(shè)中點(diǎn)為D，連接，，則，則為所求二面角的平面角，，所以，所以正弦值為，所以C錯(cuò).

D.要使正四面體在四面體的內(nèi)部，且可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正四面體的外接球在四面體內(nèi)切球內(nèi)部，當(dāng)正四面體的外接球恰好為四面體內(nèi)切球時(shí)，正四面體的體積最大值，由于正四面體的外接球與內(nèi)切球半徑之比為，所以正四面體的外接球半徑為，設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為a，則，所以，故體積，所以D對(duì).故選：ABD13．【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，直接計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，則，所以的系數(shù)為．故答案為:14．【分析】分析給定函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)镽，顯然有，即函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，令，，，，因，則，即，，有，在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，因此，在上單調(diào)遞增，于是得，解得或，所以不等式成立的x的取值范圍是.故答案為.15．2【分析】利用賦值法及奇函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)的周期性即可求解.【詳解】由，得，所以，即，于是有，所以，即.所以函數(shù)的周期為.因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，即.令，則，解得，所以.故答案為.16．【分析】，則，可看成點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離和，而兩點(diǎn)在軸的兩側(cè)，所以連線與軸的交點(diǎn)就是所求點(diǎn).【詳解】的圓心為，半徑，的圓心為，半徑，設(shè)，則，所以，取，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線：令，則，，故

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查距離公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離和的最小值，結(jié)合圖形求解，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.17．(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式以及組合數(shù)的計(jì)算求得所求概率.（2）利用二項(xiàng)分布的知識(shí)求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）設(shè)抽取的3箱西梅恰有1箱是一等品為事件，則；因此，從這10箱中任取3箱，恰好有1箱是一等品的概率為.（2）由題意可知，從這10箱中隨機(jī)抽取1箱恰好是一等品的概率，由題可知的所有可能取值為0，1，2，3，則，，，，所以的分布列為0123P.18．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理邊化角可得，，然后化簡(jiǎn)即可得出.根據(jù)的范圍即可得出答案；（2）設(shè)，則，然后在和中，根據(jù)余弦定理推得.在中，由余弦定理可得.聯(lián)立可解得，，然后根據(jù)面積公式即可得出答案.【詳解】（1）由正弦定理邊化角可得，，整理可得，.因?yàn)?，，所以有，所?因?yàn)?，所?（2）設(shè)，則，在中，有.在中，有.又，所以，所以有.又，所以.在中，由余弦定理可得.又，，，所以有.聯(lián)立，解得，所以，所以，.19．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由平面與平面垂直的性質(zhì)以及直線與平面垂直的判定定理即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可求出答案.【詳解】（1）證明：∵面面BCDE，面面，且，∴面BCDE，又面BCDE，∴，又在中，，則，又F為CE中點(diǎn)，故，且面AEC，，則面AEC，又面AEC，所以．（2）由（1）知，ED，EB，EA互相垂直，分別以ED，EB，EA為x，y，z軸非負(fù)半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

其中，，，，則，，，不妨設(shè)，則，再設(shè)，分別是面ADQ、面EDQ的法向量，則分別滿足與令，，得到，．由題意知，，解得，即．20．(1)數(shù)列成等比數(shù)列，證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）推導(dǎo)出，得到結(jié)論；（2）先得到，，從而得到，令，得到函數(shù)單調(diào)遞增，且由特殊點(diǎn)函數(shù)值得到，，求出，當(dāng)時(shí)，利用裂項(xiàng)相消法求和，得到.【詳解】（1）數(shù)列成等比數(shù)列，證明如下：根據(jù)得，；，，，即數(shù)列成等比數(shù)列.（2）由（1）得，，，故，由，得.令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，故，，，，，當(dāng)時(shí)，，綜上，知21．（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（2）【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論明確函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）由（1），和時(shí)，無(wú)極大值，不成立；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)分別利用極大值大于1，建立不等關(guān)系即可.【詳解】（1）時(shí)，在單減，單增，極小值點(diǎn)為；時(shí)，在單增，單減，單增，極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為；時(shí)，在單增，無(wú)極值點(diǎn)；時(shí)，在單增，單減，單增，極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為.（2）由（1），和時(shí)，無(wú)極大值，不成立當(dāng)時(shí)，極大值，解得，由于，所以.當(dāng)時(shí)，極大值，得，令，則，在取得極大值，且.而，,而在單增，所以解為，則.綜上.本小題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)法則、函數(shù)的極值點(diǎn)與極值的概念等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力與創(chuàng)新意識(shí)，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)與整合思想，考查數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性與創(chuàng)新性．22．(1)(2)存在定點(diǎn)，，使得當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，為定值13【分析】（1）雙曲線與直線聯(lián)立方程組，由判別式為0和點(diǎn)在直線l上，解得，可求直線l的方程；（2）雙曲線與直線聯(lián)立方程組，求出點(diǎn)M坐標(biāo)，表示出過(guò)點(diǎn)M且與直線l垂直的直線，解得，兩點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，由方程確定滿足條件的定點(diǎn)G，H.【詳解】（1）點(diǎn)在直線上，則有，