2023-2024學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市地區(qū)普高聯(lián)誼高三上冊(cè)9月月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市高三上冊(cè)9月月考數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4.本卷命題范圍：集合，邏輯，不等式，函數(shù)，導(dǎo)數(shù).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，則集合的子集的個(gè)數(shù)為（

）A．7 B．8 C．15 D．162．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．曲線在處的切線斜率為（

）A．0 B．1 C．2 D．4．設(shè)，，，為實(shí)數(shù)，且，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．5．函數(shù)的圖象為（

）A． B． C． D．6．若函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．7．已知三個(gè)函數(shù)，，的零點(diǎn)依次為，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若，則（

）A．2 B．0 C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列命題中是真命題的是（

）A．， B．，C．，使 D．，10．已知函數(shù)，若函數(shù)在上有極值，則實(shí)數(shù)可以為（

）A．0 B．1 C． D．211．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，.已知函數(shù)，，則下列敘述中錯(cuò)誤的是（

）A．在上是增函數(shù) B．是奇函數(shù)C．的值域是 D．的值域是12．已知函數(shù)，，則（

）A．時(shí)，有極小值 B．有極小值C．若，則 D．的零點(diǎn)最多有1個(gè)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.14．已知，，且，則的最小值為.15．已知函數(shù)，對(duì)，有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．16．已知函數(shù)，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．已知集合，．(1)若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，.(1)求的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．某商場(chǎng)為回饋客戶，開(kāi)展了為期10天的促銷活動(dòng)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在這10天中，第x天進(jìn)入該商場(chǎng)的人次（單位：百人）近似滿足，而人均消費(fèi)（單位：元）是關(guān)于時(shí)間x的一次函數(shù)，且第3天的人均消費(fèi)為560元，第6天的人均消費(fèi)為620元.(1)求該商場(chǎng)的日收入y（單位：元）與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求該商場(chǎng)第幾天的日收入最少及日收入的最小值.21．已知函數(shù)的定義域?yàn)?(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，函數(shù)在上的最大值與最小值的和為，求實(shí)數(shù)的值.22．已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在，使得，求的取值范圍.1．B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域，結(jié)合子集個(gè)數(shù)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題知，因?yàn)椋?，∴集合的子集個(gè)數(shù)為個(gè).故選：B2．C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、充分性和必要性的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】，故“”是“”的充要條件.故選：C3．B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)乘法運(yùn)算公式、常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】，，故選：B4．C【分析】對(duì)于A，B，D，利用特例進(jìn)行判斷；對(duì)于C，利用不等式的性質(zhì)得出結(jié)果進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A，令，，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，則，故C正確；對(duì)于D，令，則，故D錯(cuò)誤.故選：C.5．D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，正負(fù)性、單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，∵，∴該函?shù)為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；又當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，故B，C錯(cuò)誤；時(shí)，時(shí)，且時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：D6．C【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)小于零并結(jié)合定義域得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)，定義域?yàn)?，，令，解得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.7．D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋赗上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以由題知函數(shù)，，在各自定義域上都為增函數(shù)，又，，∴；，，∴；，，∴，∴.故選：D.8．A【分析】由函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)的周期性，根據(jù)特殊值求的值，再根據(jù)函數(shù)的解析式，代入求值.【詳解】為奇函數(shù)，，又為偶函數(shù)，，，即，所以函數(shù)的周期為4，由，令，易得，，解得，當(dāng)時(shí)，.故選：A9．ABC【分析】對(duì)于A，配方法即可判斷；對(duì)于B，取即可判斷；對(duì)于C，取即可判斷；對(duì)于D，取即可判斷.【詳解】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，B正確；對(duì)于C，當(dāng)，滿足，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：ABC10．BC【分析】利用函數(shù)極值的定義以及零點(diǎn)存在性定理得出結(jié)果.【詳解】由題意知，在上有變號(hào)零點(diǎn)，又易知在上單調(diào)遞減，故，可得解得.故選：BC.11．BC【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷A，再由特殊值判斷B，根據(jù)函數(shù)求值域判斷CD.【詳解】根據(jù)題意知，，在定義域上單調(diào)遞增，且，在上單調(diào)遞增，∴在上是增函數(shù)，故A正確；∵，，∴，，∴函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；∵，∴，，，∴，即，∴，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：BC12．AC【分析】利用導(dǎo)數(shù)有無(wú)變號(hào)零點(diǎn)可得AB的正誤，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)結(jié)合切線可得C的正誤，通過(guò)對(duì)a的討論分析可得D的正誤.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以有極小值，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以有極大值，無(wú)極小值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若，即，可得，設(shè)，則，設(shè)，可知，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，注意到，可知當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；則，所以只有當(dāng)時(shí)，才能成立，綜上所述：，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由C可知：，，則，所以為增函數(shù)；又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于，且，即此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)且，則此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，同理可得，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)1，所以有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)1，所以此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選：AC.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵有三個(gè)：一是極值問(wèn)題通過(guò)導(dǎo)數(shù)有無(wú)變號(hào)零點(diǎn)來(lái)判斷；二是對(duì)的轉(zhuǎn)化，通過(guò)換元化為簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)求解；三是零點(diǎn)個(gè)數(shù)通過(guò)拆分函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)判斷.13．【分析】根據(jù)得出指數(shù)型函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn).【詳解】令，得，則.所以函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn).故答案為.14．8【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】∵，，，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為8.故815．【分析】根據(jù)題意得到函數(shù)是上的單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合分段函數(shù)單調(diào)性的判定方法，列出不等式組，即可求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)，，有，可得函數(shù)是上的單調(diào)遞減函數(shù)，由，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.16．【分析】先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性，最后這兩個(gè)性質(zhì)把已知不等式變形，再通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)進(jìn)行求解即可.【詳解】依題意，，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，于是由，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有，于是，當(dāng)時(shí)，顯然成立，因此，即，令，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，，則，而，有，所以的最小值為.故關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)之一是先判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，關(guān)鍵點(diǎn)之二是把原不等式變形為，然后通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)進(jìn)行求解.17．(1)(2)或【分析】（1）解一元二次不等式求集合，由充分不必要關(guān)系知是的真子集，列不等式組求范圍；（2）根據(jù)交集的結(jié)果有或，即可確定范圍.【詳解】（1），，由“”是“”的充分不必要條件，即是的真子集，所以（等號(hào)不能同時(shí)成立），則.（2）由知：或，則或.18．(1)(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo)得出切線的方程；（2）根據(jù)，，得出在上單調(diào)遞增，并結(jié)合得出結(jié)果.【詳解】（1），，所以，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）因?yàn)?，，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由函數(shù)為冪函數(shù)得，解得或，又函數(shù)在上是減函數(shù)，則，即，所以，；（2）由（1）得，所以不等式為，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞減，所以解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.20．(1)(2)第天的日收入最少，最小值為元【分析】（1）根據(jù)人數(shù)和人均消費(fèi)求得日收入的函數(shù)關(guān)系式.（2）利用基本不等式求得最小值以及對(duì)應(yīng)的.【詳解】（1）設(shè)，依題意，解得，所以.所以.（2）由（1）得，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以第天日收入最少，且最小值為元.21．(1)；(2)或.【分析】（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)定義列出不等式，再利用恒成立的不等式求解即可.（2）利用函數(shù)單調(diào)性求出最大最小值，列式求解即可.【詳解】（1）由的定義域?yàn)椋脤?duì)任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，則；當(dāng)時(shí)，，解得，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，即.（2）令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是，而，則，依題意，，即，解得或，所以實(shí)數(shù)的值是或.22．(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)之間的大小關(guān)系分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）時(shí)，，