2023-2024學(xué)年四川省綿陽(yáng)市高三上冊(cè)第一次診斷性考試數(shù)學(xué)（理）模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年四川省綿陽(yáng)市高三上冊(cè)第一次診斷性考試數(shù)學(xué)（理）模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．集合，集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．52．已知平面向量與的夾角為，且，則（

）A． B．-2 C．2 D．3．已知，則下列關(guān)系式正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若且，則 D．若，則4．已知，則（

）A． B．2 C． D．5．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋盀榕己瘮?shù)”是“為偶函數(shù)”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件6．已知為第三象限角，若，則（

）A． B． C． D．7．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．3 B．5 C．30 D．458．已知函數(shù)（且），則其大致圖象為（

）A． B．C． D．9．若函數(shù)與函數(shù)的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．10．命題：“若與滿足：，則”．已知命題是真命題，則的值不可以是（

）A．1 B．2 C． D．11．從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某企業(yè)追加投入資金進(jìn)行新興產(chǎn)業(yè)進(jìn)一步優(yōu)化建設(shè)．根據(jù)規(guī)劃，本年度追加投入4000萬元，以后每年追加投入將比上年減少，本年度企業(yè)在新興產(chǎn)業(yè)上的收入估計(jì)為2000萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)新興產(chǎn)業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的新興產(chǎn)業(yè)收入每年會(huì)比上一年增加1000萬元，則至少經(jīng)過（

）年新興產(chǎn)業(yè)的總收入才會(huì)超過追加的總投入．A．3 B．4 C．5 D．612．已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值恰為，則所有滿足條件的的積屬于區(qū)間（

）A． B． C． D．二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”，執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為21，14，則輸出的a=.14．已知點(diǎn)，若向量與的方向相反，則．15．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有2個(gè)不等實(shí)根，則整數(shù)的最小值是．16．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若為奇函?shù)，，則．三?解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．已知等差數(shù)列的公差為2，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)若數(shù)列的首項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．18．已知函數(shù)的最小正周期為，且．(1)求函數(shù)的解析式；(2)函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，若，求的最小值．19．函數(shù)．(1)若為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)已知僅有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)．20．在斜三角形中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若的面積，求的最小值．21．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)性；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22?23題中任選一題做答．如果多做，則按所做的第一題記分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．已知曲線的參數(shù)方程分別為（為參數(shù)），（為參數(shù)）．(1)將的參數(shù)方程化為普通方程；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．若射線與曲線分別交于兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)），點(diǎn)，求的面積．[選修4-5：不等式選講]23．已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)若是的最小值，且正數(shù)滿足，證明：．1．B【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的意義求出即得.【詳解】集合，，則，所以集合中元素的個(gè)數(shù)為3.故選：B2．C【分析】首先根據(jù)已知條件結(jié)合數(shù)量積的定義運(yùn)算求出，然后再根據(jù)向量的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.【詳解】，解得.因此可得.故選：C3．A【分析】A選項(xiàng)，由的單調(diào)性得到；BD選項(xiàng)，由不等式的性質(zhì)得到B錯(cuò)誤，D正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性得到C錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，故在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，若，則在R上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，則，故，D錯(cuò)誤.故選：A4．D【分析】根據(jù)條件，然后化簡(jiǎn)可得【詳解】，，，.故選：D.5．C【分析】令，求出的表達(dá)式，根據(jù)偶函數(shù)的定義，以及必要條件、充分條件的判定，即可得出答案.【詳解】令顯然不是偶函數(shù)，但是偶函數(shù)，所以，“為偶函數(shù)”不是“為偶函數(shù)”的充分條件；若為偶函數(shù)，則有，令，則，所以，為偶函數(shù)，即為偶函數(shù)，所以，“為偶函數(shù)”是“為偶函數(shù)”的必要條件.綜上所述，“為偶函數(shù)”是“為偶函數(shù)”的必要不充分條件.故選：C.6．A【分析】先根據(jù)同角三角函數(shù)以及的范圍得出的值，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦，即可得出答案.【詳解】由已知可得，所以.又，所以，解得.又為第三象限角，所以，，.所以，.故選：A.7．D【分析】首先確定，再利用等比數(shù)列的前和公式代入即可求出答案.【詳解】若公比，則，，右邊，等式不成立，故，則，顯然，所以，解得，又因?yàn)?，代入得，所以，故選：D.8．C【分析】計(jì)算出時(shí)，，排除A；時(shí)，，排除D；，C正確.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，故，排除A；當(dāng)時(shí)，，，故，排除D，，，則，故，C正確，B錯(cuò)誤.故選：C9．B【分析】設(shè)出兩個(gè)函數(shù)圖象的公共點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立關(guān)系求解即得.【詳解】設(shè)函數(shù)與函數(shù)的圖象公共點(diǎn)坐標(biāo)為，求導(dǎo)得，依題意，，于是，令函數(shù)，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則當(dāng)時(shí)，，因此在中，，此時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以.故選：B10．D【分析】根據(jù)已知可知三角形有唯一解，根據(jù)已知結(jié)合正弦定理，以及與2的大小關(guān)系、正弦函數(shù)的取值范圍，求解即可得出答案.【詳解】在中，由已知可得，.又，所以為銳角.由正弦定理可得，，所以，.要使命題是真命題，則有唯一滿足條件的解.若，則，顯然有唯一滿足條件的解；若，則，滿足；若，且，即，即，此時(shí)有兩解滿足條件，此時(shí)命題是假命題；當(dāng)時(shí)，此時(shí)有，有唯一解，滿足；當(dāng)時(shí)，此時(shí)有，顯然無解，不滿足.綜上所述，當(dāng)或時(shí)，命題是真命題.故選：D.11．B【分析】根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識(shí)列不等式，由此求得正確答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比；設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，依題意，整理得，當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊.當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊.當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊.當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊.當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.而右邊，所以當(dāng)時(shí)，左邊右邊，所以經(jīng)過年新興產(chǎn)業(yè)的總收入超過追加的總投入．故選：B12．C【分析】根據(jù)函數(shù)能否取到最小值進(jìn)行分類討論即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇藭r(shí)的最小值為，所以，即.若，此時(shí)能取到最小值，即，代入可得，滿足要求；若取不到最小值，則需滿足，即，所以或者，所以所有滿足條件的的積屬于區(qū)間，故選：C13．7【分析】由已知中的程序語(yǔ)句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量a的值，模擬程序的運(yùn)行過程，可得答案.【詳解】解：執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為21，14，第一次執(zhí)行循環(huán)體后，a=7，不滿足退出循環(huán)的條件；第二次執(zhí)行循環(huán)體后，b=7，滿足退出循環(huán)的條件，輸出a值為7.故7.14．【分析】利用向量共線的條件、向量的模運(yùn)算即可得解.【詳解】解：由題意，點(diǎn)，則，∵向量與的方向相反，即與共線，∴，解得：或，當(dāng)時(shí)，，，與的方向相同，故舍去；當(dāng)時(shí)，，，與的方向相反，所以，∴，，∴.故答案為.15．9【分析】令，根據(jù)已知得出的對(duì)稱性以及最小值，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合圖象以及余弦函數(shù)的值域，即可得出答案.【詳解】令，由已知可知關(guān)于直線對(duì)稱，且在處取得最小值9.關(guān)于的方程恰有2個(gè)不等實(shí)根，等價(jià)于恰有2個(gè)不等實(shí)根.又因?yàn)椋?顯然應(yīng)有，即.又為整數(shù)，若，則，顯然滿足題意.故9.16．【分析】由的對(duì)稱性及得，再由為奇函數(shù)得，從而得，即是周期為8的周期函數(shù)，再利用周期可得答案.【詳解】由為奇函數(shù)，得，即，由，得，又，于是，即，從而，即，因此，函數(shù)的周期為8的周期函數(shù)，顯然，又，所以.故結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則有；函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，則有；函數(shù)的周期為，則有.17．(1)(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，即可進(jìn)行基本量的計(jì)算求解；（2）對(duì)數(shù)列進(jìn)行迭代相減，再累加計(jì)算，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，又等差數(shù)列的公差為，所以可解得，所以數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）①，當(dāng)時(shí)，，可得，可得②，由②式減①式，得，所以，且符合上式，所以.18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正切型函數(shù)的周期和定點(diǎn)求，即可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖像變換可得，結(jié)合，分析可得，運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，解得，又因?yàn)?，則，解得，且，可得，所以.（2）由題意可知：，因?yàn)?，由，即，可知，解得，且，所以的最小值為?9．(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義計(jì)算的值即可；（2）利用僅有兩個(gè)零點(diǎn)確定的值，之后研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）解：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以可知的定義域?yàn)?，且，即，即，所以，解?（2）證明：①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)不合題意；②當(dāng)時(shí)，令，解得：或，又因，則要使得f（x）僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即，此方程無解，此時(shí)不合題意；③當(dāng)時(shí)，即，令，解得或，符合題意，所以.令，則，令，解得：或，令解得：，故在，上遞增，在上遞減，又，故函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)．20．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用差角的余弦公式，結(jié)合正切函數(shù)單調(diào)性推理即得.（2）利用三角形面積公式，把表示為的函數(shù)，換元并結(jié)合二次函數(shù)最值求解即得.【詳解】（1）由，得，整理得，又為斜三角形，即，于是，即，而，顯然A，B都為銳角，所以.（2）由的面積，得，則，由，則，由（1）知，即，因此，令，函數(shù)，于是當(dāng)時(shí)，取得最小值，且，所以的最小值為．21．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)直接求單調(diào)區(qū)間即可；（2）先將不等式由分式化整式，再用指對(duì)互化構(gòu)造同構(gòu)，換元后再分參處理恒成立問題即可解決.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，令得：；令得：或，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為：，；單調(diào)遞增區(qū)間為：．（2）因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以?）在上恒成立，令，則，則在上遞減，在上遞增．所以的最小值為，即，則（*）式化為：，當(dāng)時(shí)，顯然成立．當(dāng)時(shí)，恒成立，令，則，，當(dāng)時(shí)，在上遞增．所以即，可得，所以即可得，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為：．方法點(diǎn)睛：指對(duì)同式時(shí)的不等式問題，可用指對(duì)同構(gòu)法來處理，即用指對(duì)互化來實(shí)現(xiàn)同構(gòu).22．(1)；(2)【分析】（1）利用消參法與完全平方公式求得的普通方程，利用得到的普通方程；（2）分別求得的極坐標(biāo)方程，聯(lián)立射線，從而得到，，進(jìn)而利用三角形面積公式即可得解.【詳解】（1）因?yàn)榍€的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），則，，兩式相減，得的普通方程為：；曲線