廣東省深圳市寶安區(qū)2024屆高三上學(xué)期10月調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省深圳市寶安區(qū)2024屆高三上學(xué)期10月調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單選題1.若集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，即，故，故選：D.2.設(shè)，是的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則，由可得，即，所以，可得，所以．故選：A.3.平面向量，滿足，，，則在上投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，其中，所以，解得，則在上投影向量為.故選：C.4.已知圓錐曲線的離心率為，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由圓錐曲線的離心率大于1，可知該圓錐曲線為雙曲線，且，即，又，所以.故選：D.5.已知函數(shù)若在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令函數(shù)，.要滿足條件，必須在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，且.易知在上單調(diào)遞減.，令,即,解得,令,即,解得,可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.，令,即,解得,令,即,解得,則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，要使，則.所以的取值范圍是.故選:C.6.已知過點(diǎn)P與圓相切的兩條直線的夾角為，設(shè)過點(diǎn)P與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，則圓心，半徑，由，得，則圓心，半徑，設(shè)過點(diǎn)的直線與圓切于點(diǎn)，與圓切于點(diǎn)，連接，則，因?yàn)檫^點(diǎn)P與圓相切的兩條直線的夾角為，所以，則，所以，在中，，，所以，所以，，因?yàn)?，所以，即，故選：C7.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.記命題：“數(shù)列為等比數(shù)列”，命題：“，，成等比數(shù)列”，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗D〖解析〗若數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為，則當(dāng)時(shí)，所以，，顯然，所以，，成等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，所以，，所以，但是當(dāng)且當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，此時(shí)，，則，，不成等比數(shù)列，故充分性不成立，若，，成等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，成等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，成等比數(shù)列，不妨令，，，，，，顯然滿足，，成等比數(shù)列，但是，，，，，不成等比數(shù)列，故必要性不成立，所以是既不充分也不必要條件.故選：D.8.我國(guó)人臉識(shí)別技術(shù)處于世界領(lǐng)先地位.所謂人臉識(shí)別，就是利用計(jì)算機(jī)檢測(cè)樣本之間的相似度，余弦距離是檢測(cè)相似度的常用方法.假設(shè)二維空間中有兩個(gè)點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，余弦相似度為向量，夾角的余弦值，記作，余弦距離為.已知，，，若P，Q的余弦距離為，，則Q，R的余弦距離為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得則，又，∴，∴，，，故選：二、多選題9.下列說法正確的有（）A.從40個(gè)個(gè)體中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為10的樣本，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是0.25B.已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是5C.數(shù)據(jù)26，11，14，31，15，17，19，23的50%分位數(shù)是18D.若樣本數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為4，則數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為16〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A：從40個(gè)個(gè)體中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為10的樣本，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是，故A正確；對(duì)于B：已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則，這組數(shù)據(jù)的方差為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：11，14，15，17，19，23，26，31，共8個(gè)，故其50%分位數(shù)為第4個(gè)數(shù)17和第5個(gè)數(shù)19的平均數(shù)，為18，故C正確；對(duì)于D：若樣本數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為4，則方差為16，故數(shù)據(jù)，，…，的方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為8.故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.星等是衡量天體光度的量.為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個(gè)概念，例如，1等星的星等值為1，等星的星等值為.已知兩個(gè)天體的星等值，和它們對(duì)應(yīng)的亮度，滿足關(guān)系式，關(guān)于星等下列結(jié)論正確的是（）A.星等值越小，星星就越亮B.1等星的亮度恰好是6等星的100倍C.若星體甲與星體乙的星等值的差小于2.5，則星體甲與星體乙的亮度的比值小于D.若星體甲與星體乙的星等值的差大于10，則星體甲與星體乙的亮度的比值小于〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)選項(xiàng)A，若，則，即，，，，所以星等值越小，星星就越亮，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，當(dāng)，時(shí)，，則，B正確；對(duì)選項(xiàng)C，若，則，即，C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，若，則，即，D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，為偶函?shù)，則（）A.為偶函數(shù) B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令，則，故，則，令，則，又不恒為0，故，所以為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，令，則，故，令，則，故，又為奇函數(shù)，故，所以，即，故C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C可知，所以，故的一個(gè)周期為6，因?yàn)?，所以，?duì)于，令，得，則，令，得，則，令，得，令，得，令，得，所以，又，所以由的周期性可得：，故D正確.故選：BCD.12.如圖，圓錐內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，球與母線分別切于點(diǎn).若是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為圓錐底面圓的中心，為圓的一條直徑（與不重合），則下列說法正確的是（）A.球的表面積與圓錐的側(cè)面積之比為B.平面截得圓錐側(cè)面的交線形狀為拋物線C.四面體的體積的取值范圍是D.若為球面和圓錐側(cè)面的交線上一點(diǎn)，則最大值為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)選項(xiàng)A，設(shè)圓錐的底面半徑為，球的半徑為，圓錐的母線長(zhǎng)為，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，則，，連接，，，由條件可知，，，且，則，所以，則，即，所以球的表面積，圓錐的側(cè)面積，所以球的表面積與圓錐的側(cè)面積之比為，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)槠矫媾c母線VB平行，所以截得圓錐側(cè)面的交線形狀為拋物線，故選項(xiàng)B正確；對(duì)選項(xiàng)C，由題意是的中點(diǎn)，所以四面體的體積等于，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，當(dāng)，處于，時(shí)，，當(dāng)，處于弧中點(diǎn)時(shí)，最大，為1，所以，如圖作交于，由對(duì)選項(xiàng)A可知，，則，，所以，從而，所以的面積，所以，因?yàn)椋?，故，所以四面體的體積的取值范圍是，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)選項(xiàng)D，由題意得球面和圓錐側(cè)面的交線為以為直徑的圓，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，，所以，所以即，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.二、填空題13.將一些小于10的正整數(shù)填入如下的方格中，使得每行和每列中的數(shù)的乘積都等于10，共有__________種不同的填法．〖答案〗〖解析〗問題等價(jià)于填入數(shù)字1，1，2，5，滿足每行每列都有一個(gè)2和一個(gè)5，先填入2，共有種填法，對(duì)于其中任一給定的2的填法，5僅有種填法，故共有種填法．故〖答案〗為：14.中國(guó)客家博物館坐落于有“世界客都”之稱的廣東省梅州市城區(qū)，是一間收藏、研究、展示客家歷史文化的綜合性博物館，其主館是一座圓臺(tái)形建筑，如圖.現(xiàn)有一圓臺(tái)，其上、下底面圓的半徑分別為3米和6米，母線長(zhǎng)為5米，則該圓臺(tái)的體積約為______立方米.（結(jié)果保留整數(shù)）〖答案〗264〖解析〗圓臺(tái)的上、下底面圓的半徑分別為3米和6米，母線長(zhǎng)為5米，由題意可得該圓臺(tái)的高為米，則該圓臺(tái)的體積為立方米.故〖答案〗為：264.15.先將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，所得圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，若函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵谇∮?個(gè)零點(diǎn)，且，，所以，解得，令，，得，，令，得在上單調(diào)遞增，所以，所以，又，解得．綜上所述，，故的取值范圍是．故〖答案〗為：16.正方體的棱長(zhǎng)為2，底面內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離與到平面的距離相等，則三棱錐體積的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意可知，連接，在底面內(nèi)作于點(diǎn)，如下圖所示：由正方體性質(zhì)可知即為到直線的距離，為到平面的距離，所以；在底面內(nèi)，由拋物線定義可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線的一部分，截取底面，分別以向量為軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：又正方形邊長(zhǎng)為2，易知拋物線過點(diǎn)，，且對(duì)稱軸為軸，設(shè)拋物線方程為，代入兩點(diǎn)坐標(biāo)可得，解得所以的軌跡拋物線方程為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，所以，設(shè)，平面的一個(gè)法向量為，則，令，解得，即；，則點(diǎn)到平面的距離為，令，易得，所以，易知在三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，所以，所以三棱錐的體積；即三棱錐體積的取值范圍為.故〖答案〗為：四、解答題17.的角的對(duì)邊分別為的面積為.（1）若，求的周長(zhǎng)；（2）設(shè)為中點(diǎn)，求到距離的最大值.解：（1）因?yàn)椋芒?，又因?yàn)榈拿娣e為，所以有②，顯然，由①②得，所以，代入得，在中，因?yàn)?，所以，得，所以的周長(zhǎng)為.（2）因?yàn)闉檫吷系闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以.設(shè)點(diǎn)到直線距離為，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)到直線距離最大值為.18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，．（1）證明：平面PAD；（2）在棱PC上是否存在點(diǎn)F，使得二面角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．（1）證明：在PD上找中點(diǎn)G，連接AG，EG，如圖：∵G和E分別為PD和PC的中點(diǎn)，∴，且，又∵底面ABCD是直角梯形，，，∴且．即四邊形ABEG為平行四邊形，∴，∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD；（2）解：因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，以A為原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，，由F為棱PC上一點(diǎn)，設(shè)，，設(shè)平面FAD的法向量為，由可得，解得：，令，則，則，取平面ADC的法向量為，則二面角的平面角滿足：,解得：，解得：或（舍去），故存在滿足條件的點(diǎn)F，此時(shí)．19.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.（1）解：因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，.令得，令得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）證明：由（1）可得，當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，所以.設(shè)，則，令得，令得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以，即.因?yàn)椋?，所以，所以，所以命題得證.20.給定數(shù)列，若滿足且，且對(duì)于任意的，都有，則稱數(shù)列為“指數(shù)型數(shù)列”．1已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，證明：為“指數(shù)型數(shù)列”；2若數(shù)列滿足：，；①判斷數(shù)列是否為“指數(shù)型數(shù)列”，若是給出證明，若不是說明理由；②若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.（1）證明：對(duì)于數(shù)列，任意，，所以是指數(shù)型數(shù)列.（2）①解：數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”，證明如下：，，所以數(shù)列是等比數(shù)列，，，故數(shù)列“指數(shù)型數(shù)列”．②證明：由①可得，；故.21.人口老齡化加劇的背景下，我國(guó)先后頒布了一系列生育政策，根據(jù)不同政策要求，分為兩個(gè)時(shí)期Ⅰ和Ⅱ．根據(jù)部分調(diào)查數(shù)據(jù)總結(jié)出如下規(guī)律：對(duì)于同一個(gè)家庭，在Ⅰ時(shí)期內(nèi)生孩人，在Ⅱ時(shí)期生孩人，（不考慮多胞胎）生男生女的概率相等．服從0-1分布且．分布列如下圖：012現(xiàn)已知一個(gè)家庭在Ⅰ時(shí)期沒生孩子，則在Ⅱ時(shí)期生2個(gè)孩子概率為；若在Ⅰ時(shí)期生了1個(gè)女孩，則在時(shí)期生2個(gè)孩子概率為；若在Ⅰ時(shí)期生了1個(gè)男孩，則在Ⅱ時(shí)期生2個(gè)孩子概率為，樣本點(diǎn)中Ⅰ時(shí)期生孩人數(shù)與Ⅱ時(shí)期生孩人數(shù)之比為（針對(duì)普遍家庭）．（1）求的期望與方差；（2）由數(shù)據(jù)組成的樣本空間根據(jù)分層隨機(jī)抽樣分為兩層，樣本點(diǎn)之比為，分別為與，，總體樣本點(diǎn)與兩個(gè)分層樣本點(diǎn)均值分別為，，，方差分別為，，，證明：，并利用該公式估算題設(shè)樣本總體的方差．解：（1）由分布列知：，即，事件分別表示Ⅰ時(shí)期沒生孩子、生了1個(gè)女孩、生了1個(gè)男孩，事件表示Ⅱ時(shí)期生2個(gè)孩子，則，又，所以，即，則，綜上，分布列如下：012..（2）由題意，，則，，而，上式，又，且，上式.綜上，得證.由題設(shè)知：，，，，則總體均值，綜上，題設(shè)樣本總體的方差.22.已知橢圓C：的離心率為，兩焦點(diǎn)與短軸兩頂點(diǎn)圍成