工程電磁場(chǎng)課件 緒論

第0章矢量分析下頁(yè)返回（VectorAnalysis）本章內(nèi)容0.1

矢量代數(shù)0.2

三種常用的正交曲線坐標(biāo)系0.3

標(biāo)量場(chǎng)的梯度0.4

矢量場(chǎng)的通量與散度0.5

矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度0.6

亥姆霍茲定理0.7電磁場(chǎng)的特殊形式1.標(biāo)量和矢量矢量的大小或模：矢量的單位矢量：標(biāo)量：一個(gè)只用大小描述的物理量。矢量的代數(shù)表示：0.1矢量代數(shù)矢量：一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字母或帶箭頭的字母表示。

矢量的幾何表示：一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來(lái)表示

注意：?jiǎn)挝皇噶坎灰欢ㄊ浅Ｊ噶俊?/p>

矢量的幾何表示常矢量：大小和方向均不變的矢量。

矢量用坐標(biāo)分量表示zxy（1）矢量的加減法

兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線,如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2.矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的加法矢量的減法兩矢量的加法和減法運(yùn)算：對(duì)應(yīng)方向上的分量相加減結(jié)合律：交換律：（2）標(biāo)量乘矢量（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）——矢量的標(biāo)積符合交換律q矢量與的夾角若，則（4）矢量的矢積（叉積）用坐標(biāo)分量表示為寫成行列式形式為若，則矢量與的叉積q（5）矢量的混合運(yùn)算——

分配律——

分配律——

標(biāo)量三重積——

矢量三重積“BACK_CAB”法則（背靠背）三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過(guò)三條相互正交曲線的交點(diǎn)來(lái)確定。0.2

三種常用的正交曲線坐標(biāo)系在電磁場(chǎng)與波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。1.直角坐標(biāo)系

位置矢量：面元矢量：線元矢量：體積元:坐標(biāo)變量：坐標(biāo)單位矢量：

點(diǎn)P(x0,y0,z0)0y=（平面）

x

y

z0x=（平面）0zz=（平面）

直角坐標(biāo)系

xyz直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元

odydxdzxy2.圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系（半平面）（圓柱面）（平面）3.球坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系（半平面）（圓錐面）（球面）4.坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系

直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系ofxy單位圓

直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系foqrz單位圓

柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系qq0.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)：如果物理量是標(biāo)量，稱該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)。

例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。矢量場(chǎng)：如果物理量是矢量，稱該場(chǎng)為矢量場(chǎng)。

例如：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。靜態(tài)場(chǎng)：與時(shí)間無(wú)關(guān)的場(chǎng)。動(dòng)態(tài)場(chǎng)（時(shí)變場(chǎng)）：與時(shí)間有關(guān)的場(chǎng)。場(chǎng)的概念：物理量的空間分布稱為場(chǎng)。

如果對(duì)于確定空間上的每一點(diǎn)都有確定的物理量與之對(duì)應(yīng)，則稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)場(chǎng)。1、標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)標(biāo)量場(chǎng)可表示為：、矢量場(chǎng)可表示為：、在直角坐標(biāo)系下，矢量場(chǎng)可表示為：（靜態(tài)矢量場(chǎng)）（動(dòng)態(tài)矢量場(chǎng)）靜態(tài)矢量場(chǎng)：動(dòng)態(tài)矢量場(chǎng)：三維場(chǎng)：二維場(chǎng)：矢量線矢量場(chǎng)---矢量線其方程為：在直角坐標(biāo)下：下頁(yè)上頁(yè)返回形象描繪場(chǎng)分布的工具——場(chǎng)線標(biāo)量場(chǎng)---等值面 等值面方程：

等值面2、標(biāo)量場(chǎng)的等值面 等值面:

標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空間形成的曲面。意義:

形象直觀地描述了物理量（標(biāo)量）

在空間的分布狀態(tài)。等值面方程：等值面的特點(diǎn)：常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。

3.方向?qū)?shù)意義：方向?qū)?shù)表示標(biāo)量場(chǎng)沿某方向?qū)τ诰嚯x的空間變化率。概念：

——

u(M)沿方向增加；

——

u(M)沿方向減小；

——

u(M)沿方向無(wú)變化。

M0M方向?qū)?shù)的概念

特點(diǎn)：方向?qū)?shù)既與點(diǎn)M0有關(guān)，也與的方向有關(guān)。故在定點(diǎn)M0處，沿不同的方向?qū)?shù)不同。——

的方向余弦。

式中：

思考：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)4.標(biāo)量場(chǎng)的梯度(gradient)（或）意義：描述標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向概念：，其中

取得最大值的方向。推導(dǎo)：顯然，du可以表示為與某矢量的標(biāo)量積，即：位移矢量：圓柱坐標(biāo)系：

球坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系：

梯度的表達(dá)式：上式括號(hào)內(nèi)的矢量可以用哈密頓算子表示為：標(biāo)量場(chǎng)u的梯度可以認(rèn)為是哈密頓算子對(duì)標(biāo)量函數(shù)u一種運(yùn)算。兼有矢量和微分的雙重性質(zhì)哈密頓算符：標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)的變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場(chǎng)的空間變化率。標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，等于梯度在該方向上的投影。即：梯度的性質(zhì)：梯度運(yùn)算的基本公式：標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過(guò)該點(diǎn)的等值面（或切平面），且指向標(biāo)量場(chǎng)的數(shù)值增加的方向。例0.3.1

三維高度場(chǎng)的梯度

三維高度場(chǎng)的梯度高度場(chǎng)的梯度與過(guò)該點(diǎn)的等高線垂直；數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變化率；指向地勢(shì)升高的方向。下頁(yè)上頁(yè)返回例0.3.2

電位場(chǎng)的梯度圖0.2.2電位場(chǎng)的梯度電位場(chǎng)的梯度與過(guò)該點(diǎn)的等位線垂直；數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；指向電位增加的方向。下頁(yè)上頁(yè)返回

解

(1)由梯度計(jì)算公式，可得P點(diǎn)的梯度為：

例0.3.4

設(shè)一標(biāo)量函數(shù)

(x,y,z)=x2＋y2－z

描述了空間標(biāo)量場(chǎng)。試求：

(1)該函數(shù)

在點(diǎn)P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。

(2)求該函數(shù)

沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。例0.3.3（見謝處方編《電磁場(chǎng)與電磁波》

P13~P14）

24表征其方向的單位矢量

(2)由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式，則沿el方向的方向?qū)?shù)為：上述方向?qū)?shù)在P點(diǎn)處的取值為：顯然，梯度描述了P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù)

的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故恒成立。25P點(diǎn)處的梯度值（大小）為：0.4矢量場(chǎng)的通量與散度

1.矢量線

意義：形象直觀地描述了矢量場(chǎng)在空間的

分布狀態(tài)。矢量線方程：概念：對(duì)于矢量場(chǎng)，可用一些有向曲線來(lái)描述其在空間的分布狀態(tài)，這些有向曲線稱為矢量線。矢量線上任一點(diǎn)的切線方向都與該點(diǎn)處矢量場(chǎng)的方向相同。例:電場(chǎng)線，磁場(chǎng)線等。矢量線OM假設(shè)，且M點(diǎn)的位置矢量為：所以面積元矢量2.矢量場(chǎng)的通量和散度（FluxandDivergenceofVector）

問(wèn)題：如何定量描述矢量場(chǎng)的大??？通量的概念：閉合曲面時(shí)：矢量場(chǎng)穿過(guò)曲面的通量為：其中：——面積元矢量；——面積元的法向單位矢量；——穿過(guò)面積元的通量。面元方向的選?。喝绻鍿

不閉合（開曲面），則面元方向與圍繞曲面的閉合曲線成右手螺旋關(guān)系；如果曲面S閉合，則面元方向由閉合曲面內(nèi)指向外(即曲面的外法線方向)。有凈的矢量線穿出有源有凈的矢量線進(jìn)入有溝進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等無(wú)源無(wú)溝矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面通量的三種可能結(jié)果閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源之間的關(guān)系。通量的物理意義293.矢量場(chǎng)的散度

為了定量研究場(chǎng)與源之間的關(guān)系，需建立場(chǎng)空間內(nèi)的任意點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場(chǎng)（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場(chǎng)的散度。

散度是矢量通過(guò)包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。----(通量元密度)

它表示某點(diǎn)處單位體積上的通量。散度的意義

在矢量場(chǎng)中，若

?

A=0，稱之為有源場(chǎng)，

稱為(通量)源密度；若矢量場(chǎng)中處處

?A=0

，稱之為無(wú)源場(chǎng)。矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)；散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性。(無(wú)源）

(正源)

(負(fù)源)下頁(yè)上頁(yè)返回圓柱坐標(biāo)系：球坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系：散度的表達(dá)式：散度的有關(guān)公式：直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)（自學(xué)）

由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為

不失一般性，令包圍P點(diǎn)的微體積

V為一直平行六面體，如圖所示。則根據(jù)泰勒定理展開：oxy在直角坐標(biāo)系中計(jì)算zzDxDyDP根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度表達(dá)式為

同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P穿出該六面體的凈通量為4.散度定理（高斯定理）體積的剖分VS1S2en2en1S由散度的定義：

散度定理反映了閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，

它在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的通量等于其散度在該閉合曲面

所包含體積上的體積分。例如：已知真空中靜電場(chǎng)的高斯定理（積分形式）：根據(jù)散度定理：則有：上式即為高斯定理的微分形式，表明空間任意一點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的散度與該處的電荷密度有關(guān)，靜電荷是靜電場(chǎng)的通量源0.5矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度

（CirculationandRotationofVectorField）

不是所有的矢量場(chǎng)都是由通量源所激發(fā)。還存在另一類矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零，但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑上的積分卻不為零。水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng)

（無(wú)渦旋運(yùn)動(dòng)）流體做渦旋運(yùn)動(dòng)

（有產(chǎn)生渦旋的源）例：流速場(chǎng)

=0

0環(huán)量的大小與閉合路徑有關(guān)，它表示繞環(huán)線旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大小。下頁(yè)上頁(yè)返回環(huán)量的計(jì)算1、矢量場(chǎng)的環(huán)流（環(huán)量）（Circulation）定義：該矢量場(chǎng)對(duì)有向閉合曲線C的線積分，

稱為矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線C的環(huán)流：如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)，又稱為保守場(chǎng)。如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場(chǎng)為有旋矢量場(chǎng)，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為旋渦源。例如：電流是產(chǎn)生磁場(chǎng)的旋渦源。矢量場(chǎng)的環(huán)流（環(huán)量）描述的是矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源之間的宏觀聯(lián)系。為了描述空間任意點(diǎn)處矢量場(chǎng)與其旋渦源間的關(guān)系，引入矢量場(chǎng)的環(huán)流面密度和旋度的概念。

2.矢量場(chǎng)的旋度(Rotation)

（1）環(huán)流面密度稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處沿方向的環(huán)流面密度。它表示某點(diǎn)處沿某方向單位面積上的環(huán)量。特點(diǎn)：其值與點(diǎn)M處的方向

有關(guān)。

過(guò)點(diǎn)M作一小面元

S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)

S

0時(shí)取極限得思考：在什么方向環(huán)流面密度值最大？最大值為多少？概念：矢量場(chǎng)在M點(diǎn)處的旋度為一矢量，其大小為M點(diǎn)處的環(huán)流面密度的最大值，其方向?yàn)榄h(huán)量密度取得最大值時(shí)面積元的法線方向，即：旋度的物理意義：（2）矢量場(chǎng)的旋度旋渦源密度矢量。矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。某點(diǎn)旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值，其方向是最大環(huán)量密度的方向。矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處沿某方向的環(huán)流面密度等于旋度在該方向上的

投影。即：若矢量場(chǎng)處處，稱之為無(wú)旋場(chǎng)。在矢量場(chǎng)中，若稱之為旋度場(chǎng)（或渦旋場(chǎng))，稱為旋度源（或渦旋源）。下頁(yè)上頁(yè)返回矢量場(chǎng)的旋度是一個(gè)矢量，它在直角坐標(biāo)系中可以分解為三個(gè)分量：而

oyDz

DyCMzx1234計(jì)算的示意圖推導(dǎo)

的示意圖如下圖所示。于是：

同理可得：故得：旋度的計(jì)算公式:直角坐標(biāo)系：

圓柱坐標(biāo)系：

球坐標(biāo)系：44旋度的有關(guān)公式：兩個(gè)恒等式標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒為零（梯無(wú)旋）矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零（旋無(wú)散）

任意矢量場(chǎng)旋度的散度等于零，“旋無(wú)散”。標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒等于零，“梯無(wú)旋”。曲面的剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消3.斯托克斯定理(Stockes’Theorem)由旋度的定義：則：斯托克斯定理是矢量函數(shù)在閉合曲線積分與曲面積分之間的相互轉(zhuǎn)換。它在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán)量等于其

旋度在該閉合曲線所圍曲面的面積分。4.散度和旋度的區(qū)別

1.矢量場(chǎng)的源散度源：是標(biāo)量，其產(chǎn)生的矢量場(chǎng)在包圍源的封閉曲面上

通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的

總和，源在一給定點(diǎn)處的（體）密度等于（或正

比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)處的散度。

旋度源：是矢量，其產(chǎn)生的矢量場(chǎng)具有渦旋性質(zhì)，穿過(guò)一曲

面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉

合回路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密

度等于（或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)處的旋度。0.6無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)2.矢量場(chǎng)按源的分類（1）無(wú)旋場(chǎng)性質(zhì)：線積分與路徑無(wú)關(guān)是保守場(chǎng)。僅有散度源而無(wú)旋度源的矢量場(chǎng)，即：無(wú)旋場(chǎng)可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示為例如：靜電場(chǎng)由斯托克斯定理得：（2）無(wú)散場(chǎng)僅有旋度源而無(wú)散度源的矢量場(chǎng)，即性質(zhì)：無(wú)散場(chǎng)可以表示為另一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度例如，恒定磁場(chǎng)（3）無(wú)旋、無(wú)散場(chǎng)（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場(chǎng)這樣的場(chǎng)可分解為兩部分：無(wú)旋場(chǎng)部分和無(wú)散場(chǎng)部分無(wú)旋場(chǎng)部分無(wú)散場(chǎng)部分例0.6.1

試判斷下列各圖中矢量場(chǎng)的性質(zhì)。000000下頁(yè)上頁(yè)返回

若矢量場(chǎng)在無(wú)限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域中，則當(dāng)矢量場(chǎng)的散度及旋度給定后，該矢量場(chǎng)可表示為：式中：0.7亥姆霍茲定理（HymherzeTheorem）

亥姆霍茲定理表明：

在無(wú)界空間區(qū)域，矢量場(chǎng)可由其散度及旋度確定。有界區(qū)域

在有界區(qū)域，矢量場(chǎng)不但與該區(qū)域中的散度和旋度有關(guān)，還與區(qū)域邊界上矢量場(chǎng)的切向分量和法向分量有關(guān)。亥姆霍茲定理：

矢量場(chǎng)的散度產(chǎn)生矢量場(chǎng)的一種源，而旋度是產(chǎn)生矢量場(chǎng)的另外一種源，當(dāng)著兩種源在空間的分布確定時(shí)，則矢量場(chǎng)本身也就唯一確定了。亥姆霍茲定理總結(jié)了矢量場(chǎng)的基本性質(zhì)，意義很重要。在無(wú)界空間中，散度和旋度都為零的矢量場(chǎng)是不存在的，因?yàn)槿魏我粋€(gè)物理量都必須有源，源是激發(fā)場(chǎng)的起因，場(chǎng)是同源一起出現(xiàn)的。所以，產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源要么為散度源，要么為旋度源，或者兩種源都有。所以，分析矢量場(chǎng)時(shí)，總是從研究它的散度和旋度著手，從而得到其散度方程和旋度方程，這兩個(gè)方程組成了矢量場(chǎng)的基本方程的微分形式。

但是，因?yàn)槭噶繄?chǎng)的散度和旋度都包含著對(duì)空間坐標(biāo)的微分運(yùn)算，而微分運(yùn)算必須在矢量場(chǎng)連續(xù)的區(qū)域內(nèi)才有意義，在矢量場(chǎng)不連續(xù)的區(qū)域內(nèi)（表面）則不存在其導(dǎo)數(shù)，因而就不能使用散度和旋度來(lái)分析表面附近的場(chǎng)的性質(zhì)了，此時(shí)就要從矢量場(chǎng)沿閉合曲面的通量和沿閉合曲線的環(huán)量著手，從而得到矢量場(chǎng)的基本方程的積分形式。亥姆霍茲定理說(shuō)明：

亥姆霍茲定理：在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場(chǎng)可以由它的散度、旋度及邊界條件惟一地確定。已知：矢量A的通量源密度矢量A的