hx環(huán)代數(shù)結(jié)構(gòu)的提升冪線性空間的刻畫

hx環(huán)代數(shù)結(jié)構(gòu)的提升冪線性空間的刻畫

1物理性空間的定義近年來，隨著序言結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的改進(jìn)，代際結(jié)構(gòu)的改進(jìn)引起了人們的廣泛關(guān)注。1985年，李洪興教授首次提出了滿語系統(tǒng)的概念，隨后，關(guān)于群象結(jié)構(gòu)變化的研究非?；钴S。1988年，李洪興教授引入了hx環(huán)的概念，并開始了環(huán)世代結(jié)構(gòu)的改進(jìn)。從那時起，人們也取得了許多重要的結(jié)果。線性空間是剛剛提出的，這是線性空間升級的問題。線性空間的類比空間研究。設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間,令P(V)={A|A?V},P°(V)=P(V)-{Φ},對于?A,B∈P°(V),?λ∈F定義運(yùn)算如下:A+B={a+b|a∈A,b∈B}(1)λB={λb|b∈B}(2)定義1設(shè)P*(V)是P°(V)的非空子集,如果P*(V)關(guān)于運(yùn)算(1)與(2)作成線性空間,則稱P*(V)為V上的冪線性空間,簡稱冪空間.其零元記為Q,P*(V)中的元素A的負(fù)元記為-A.定義2數(shù)域F上的冪線性空間P*(V)的一個非空子集合W*,稱為P*(V)上的一個冪線性子空間(或簡稱冪子空間),如果W*對于P*(V)上的2種運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域F上的線性空間.2線性空間p#v產(chǎn)p型設(shè)P*(V)是數(shù)域F上的冪線性空間,W*是P*(V)的一個冪子空間,利用W*,我們規(guī)定P*(V)的冪向量間的關(guān)系～A～A′,當(dāng)且僅當(dāng)A-A′∈W*.則～是P*(v)的一個等價關(guān)系.從而令ˉA={X∈Ρ*(V)|X~A}表示冪向量A所在的等價類,對于?X∈ˉA,有X～A,即X-A∈W*,所以存在B∈W*,使得X-A=B,即X=A+B,所以ˉA=A+W*={A+B|B∈W*},而A為這個等價類的一個代表.則性質(zhì)1若A′∈ˉA,則ˉA′=ˉA,即ˉA中每一個元素都可以作為代表;性質(zhì)2若ˉA≠ˉB,則ˉA∩ˉB=?.因此P*(V)中每一個冪向量A必然屬于某一個等價類,而不同的等價類彼此不相交.于是冪線性空間可分為一些彼此不相交的等價類,這些等價類我們稱之為冪子空間的陪集,由于冪線性空間中的冪向量關(guān)于加法滿足交換律,故不必區(qū)分左右陪集.定義3數(shù)域F上冪線性空間P*(V)的所有等價類的全體組成的集合記為Ρ*(V)/W*={ˉA|A∈Ρ*(V)},稱為P*(V)的商集.下面考慮商集Ρ*(V)/W*={ˉA|A∈Ρ*(V)},在P*(V)/W*中定義2個運(yùn)算,?Ρ*(V)/W*,k∈F,ˉA+ˉB=ˉA+B,kˉA=ˉkA.,ˉB∈定理1數(shù)域F上冪線性空間P*(V)的商集P*(V)/W*對于如上定義的加法和數(shù)量乘法構(gòu)成F上的一個線性空間,稱為P*(V)的商空間.證明?ˉA,ˉB,ˉC∈Ρ*(V)/W*,k,l∈F,1)ˉA+ˉB=ˉA+B=ˉB+A=ˉB+ˉA;2)(ˉA+ˉB)+ˉC=ˉA+B+ˉC=ˉ(A+B)+C=ˉA+(B+C)=ˉA+ˉB+C=ˉA+(ˉB+ˉC);3)存在零元ˉQ,ˉA+ˉQ=ˉA+Q=ˉQ;4)每個元素都有負(fù)元ˉA+ˉ-A=ˉA-A=ˉQ,即ˉ-A為ˉA的負(fù)元;5)1ˉA=ˉ1A=ˉA;6)(k+l)ˉA=ˉ(k+l)A=ˉkA+lA=ˉkA+ˉlA=kˉA+lˉA;7)(kl)ˉA=ˉ(kl)A=ˉk(lA)=kˉlA=k(lˉA);8)k(ˉA+ˉB)=kˉA+B=ˉk(A+B)=ˉkA+kB=ˉkA+ˉkB=kˉA+kˉB;故P*(V)/W*為數(shù)域F上的一個線性空間,所以P*(V)/W*為冪線性空間P*(V)的商空間.證畢.定義4設(shè)數(shù)域F上P*(V)為線性空間V上的一個冪線性空間,且A,A1,A2,…,As∈P*(V),若存在k1,k2,…,ks∈F,使得k1A1+k2A2+…+ksAs=A,則稱A可由冪向量組A1,A2,…,As冪線性表示.定義5設(shè)數(shù)域F上P*(V)為線性空間V的一個冪線性空間,且A1,A2,…,As∈P*(V),若存在不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks∈F,使得k1A1+k2A2+…+ksAs=Q,則稱冪向量組A1,A2,…,As是冪線性相關(guān)的,否則稱為冪線性無關(guān).定義6如果冪線性空間P*(V)中有s個冪線性無關(guān)的冪向量,但沒有更多的冪線性無關(guān)的冪向量,那么P*(V)就稱為s維的;如果在P*(V)中可以找到任意多個冪線性無關(guān)的冪向量,那么P*(V)就是無限維的.定義7設(shè)數(shù)域F上P*(V)為線性空間V的一個冪線性空間,且A1,A2,…,As∈P*(V)滿足:1)A1,A2,…,As冪線性無關(guān);2)?A∈P*(V),都可由冪向量組A1,A2,…,As冪線性表出;則稱冪向量組A1,A2,…,As是冪線性空間P*(V)的一組冪基,簡稱為基.并稱冪線性空間P*(V)為s維的,記為dim(P*(V))=s.例1設(shè)V是數(shù)域F上的n維線性空間,則P*(V)={{a}|a∈V}是V上的冪線性空間,并稱為平凡冪線性空間或本原冪線性空間,其中冪零元素為:{0},{a}的負(fù)元為{-a},則P*(V)的維數(shù)等于線性空間V的維數(shù).證明設(shè)a1,a2,…,an為線性空間V的一組基,令k1{a1}+k2{a2}+…+kn{an}={0},則{k1a1+k2a2+…+knan}={0},于是k1a1+k2a2+…+knan=0,又a1,a2,…,an線性無關(guān),所以k1=k2=…=kn=0,即:{a1},{a2},…,{an}線性無關(guān).又對于?b∈V,?k1,k2,…,kn∈F,使得b=k1a1+k2a2+…+knan,于是={k1a1+k2a2+…+knan}=k1{a1}+k2{a2}+…+kn{an},所以,{a1},{a2},…,{an}為P*(V)的一組基,即:dim(V)=dim(P*(V))=n.證畢.設(shè)A1,A2,…,As是冪線性空間的一組冪向量,則這組冪向量的所有可能的線性組合為k1A1+k2A2+…+ksAs,因所成集合非空,而且對于冪線性空間上的2種運(yùn)算是封閉的,因而是P*(V)的一個冪子空間,這個冪子空間叫做由A1,A2,…,As生成的冪子空間,記為L(A1,A2,…,As).由冪子空間的定義可知,如果P*(V)的一個冪子空間包含冪向量A1,A2,…,As,那么就一定包含它們所有的線性組合.事實(shí)上,W*是P*(V)的一個冪子空間,A1,A2,…,As是W*的一組基,就有W=L(A1,A2,…,As).定理2設(shè)W*是數(shù)域F上冪線性空間P*(V)的m維子空間,A1,A2,…,Am是W*的一組基,那么這組基必可擴(kuò)充為整個冪線性空間的基,也就是說,在P*(V)中必可以找到n-m個冪向量Am+1,Am+2,…,An,使得A1,A2,…,An是P*(V)的一組基.證明對維數(shù)差n-m作歸納法.當(dāng)n-m=0時,定理顯然成立,因?yàn)锳1,A2,…,Am已是P*(V)的基.現(xiàn)假設(shè)n-m=k時定理成立,我們考慮n-m=k+1的情形.既然A1,A2,…,Am還不是P*(V)的基,它又是冪線性無關(guān)的,那么在P*(V)中必定有一冪向量Am+1不能被A1,A2,…,Am冪線性表出,把Am+1添加進(jìn)去,則A1,A2,…,Am,Am+1必是線性無關(guān)的,因此冪子空間W=L(A1,A2,…,Am+1)的維數(shù)為m+1,因?yàn)閚-(m+1)=(n-m)-1=k+1-1=k,由歸納假設(shè),L(A1,A2,…,Am+1)的基A1,A2,…,Am,Am+1可以擴(kuò)充為整個空間的基.證畢.定理3設(shè)W*是冪線性空間P*(V)的一個s維子空間,dim(P*(V))=n,則dim(P*(V)/W*)=n-s.證明設(shè)A1,A2,…,As是W*的基,將它擴(kuò)充為P*(V)的一組基A1,A2,…,As,As+1,…,An.下證ˉAs+1,ˉAs+2,?,ˉAn是P*(V)/W*的基.設(shè)ks+1ˉAs+1+ks+2ˉAs+2+?+knˉAn=ˉQ,則ˉks+1As+1+ks+2As+2+?+knAn=ˉQ,于是ks+1As+1+ks+2As+2+…+knAn∈W*,這樣可設(shè)ks+1As+1+ks+2As+2+…+knAn=k1A1+k2A2+…+ksAs,即k1A1+k2A2+…+ksAs-ks+1As+1-ks+2As+2-…-knAn=Q,由于A1,A2,…,An是冪線性無關(guān)的,可得k1=k2=…=kn=0,即ˉAs+1,ˉAs+2,?,ˉAn冪線性無關(guān).?ˉB∈Ρ*(V)/W*,設(shè)B=k1A1+k2A2+…+ksAs+ks+1As+1+…+knAn,則B-(ks+1As+1+ks+2As+2+…+knAn)=k1A1+k2A2+…+ksAs∈W*,于是ˉB=ˉks+1As+1+ks+2As+2+?+knAn=ks+1ˉAs+1+ks+2ˉAs+2+?+knˉAn,所以dim(P*(V)/W*)=n-s.證畢.數(shù)域F上2個冪線性空間P1(V),P2(V)稱為同態(tài)的,如果有P1(V)到P2(V)的一個滿射f具有如下性質(zhì):其中A,B是P1(V)中任意冪向量,k為F中任意數(shù)