專題6.4 平面圖形的認(rèn)識(shí)（一）（章節(jié)復(fù)習(xí)+考點(diǎn)講練）學(xué)生版

2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)同步專題熱點(diǎn)難點(diǎn)專項(xiàng)練習(xí)專題6.4平面圖形的認(rèn)識(shí)（一）（章節(jié)復(fù)習(xí)+考點(diǎn)講練）知識(shí)點(diǎn)01：直線、射線、線段直線，射線與線段的區(qū)別與聯(lián)系2.基本性質(zhì)(1)直線的性質(zhì):兩點(diǎn)確定一條直線．(2)線段的性質(zhì):兩點(diǎn)之間線段最短．知識(shí)要點(diǎn)：①本知識(shí)點(diǎn)可用來解釋很多生活中的現(xiàn)象.如：要在墻上固定一個(gè)木條，只要兩個(gè)釘子就可以了，因?yàn)槿绻涯緱l看作一條直線，那么兩點(diǎn)可確定一條直線.②連接兩點(diǎn)間的線段的長度，叫做兩點(diǎn)的距離.3.畫一條線段等于已知線段（1）度量法：可用直尺先量出線段的長度,再畫一條等于這個(gè)長度的線段.（2）用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB＝ａ，如下圖：4．線段的比較與運(yùn)算（1）線段的比較：比較兩條線段的長短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.（2）線段的和與差：如下圖，有AB+BC＝AC，或AC＝a+b；AD＝AB-BD.（3）線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)．如下圖，有：.知識(shí)要點(diǎn)：①線段中點(diǎn)的等價(jià)表述：如上圖，點(diǎn)M在線段上，且有，則點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn).②除線段的中點(diǎn)（即二等分點(diǎn)）外，類似的還有線段的三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等.如下圖，點(diǎn)M,N,P均為線段AB的四等分點(diǎn)，則有.（4）線段的延長線：如下圖，圖①稱為延長線段AB，或稱為反向延長線段BA；圖②稱為延長線段BA，或稱為反向延長線段AB.圖中延長的部分叫做原線段的延長線.知識(shí)點(diǎn)02：角1．角的概念及其表示（1）角的定義：從一點(diǎn)引出的兩條射線所形成的圖形叫做角，這個(gè)點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.(2)角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個(gè)大寫英文字母表示，二是用角的頂點(diǎn)的一個(gè)大寫英文字母表示，三是用一個(gè)小寫希臘字母或一個(gè)數(shù)字表示.例如下圖：知識(shí)要點(diǎn)：①角的兩種定義是從不同角度對(duì)角進(jìn)行的定義.②當(dāng)一個(gè)角的頂點(diǎn)有多個(gè)角的時(shí)候，不能用頂點(diǎn)的一個(gè)大寫字母來表示.2.角的分類∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β＝90°90°<∠β<180°∠β＝180°∠β＝360°3.角的度量1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″.知識(shí)要點(diǎn)：①度、分、秒的換算是60進(jìn)制，與時(shí)間中的小時(shí)分鐘秒的換算相同.②度分秒之間的轉(zhuǎn)化方法：由度化為度分秒的形式(即從高級(jí)單位向低級(jí)單位轉(zhuǎn)化)時(shí)用乘法逐級(jí)進(jìn)行；由度分秒的形式化成度(即低級(jí)單位向高級(jí)單位轉(zhuǎn)化)時(shí)用除法逐級(jí)進(jìn)行.③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進(jìn)一，減一成60.4.角的平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線，例如：如下圖，因?yàn)镺C是∠AOB的平分線，所以∠1＝∠2＝∠AOB，或∠AOB＝2∠1＝2∠2.類似地，還有角的三等分線等.5．余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角（1）余角、補(bǔ)角：若∠1+∠2＝90°，則∠1與∠2互為余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.若∠1+∠2＝180°，則∠1與∠2互為補(bǔ)角.其中∠1是∠2的補(bǔ)角，∠2是∠1的補(bǔ)角.結(jié)論:同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補(bǔ)角相等.知識(shí)要點(diǎn)：①余角(或補(bǔ)角)是兩個(gè)角的關(guān)系，是成對(duì)出現(xiàn)的，單獨(dú)一個(gè)角不能稱其為余角(或補(bǔ)角).②一個(gè)角的余角(或補(bǔ)角)可以不止一個(gè)，但是它們的度數(shù)是相同的.③只考慮數(shù)量關(guān)系，與位置無關(guān)．④“等角是相等的幾個(gè)角”，而“同角是同一個(gè)角”．（2）對(duì)頂角：對(duì)頂角相等．知識(shí)點(diǎn)03：平行與垂直1.同一平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系:平行與相交.平行用符號(hào)“∥”表示.知識(shí)要點(diǎn)：只有一個(gè)公共點(diǎn)的兩條直線叫做相交直線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做交點(diǎn).2.垂線（1）垂線的定義：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就稱這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足．垂直用符號(hào)“⊥”表示，如下圖．（2）垂線的性質(zhì)：①在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．②垂線段最短．（3）點(diǎn)到直線的距離：從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離．【典例精講】（2020秋?江陰市校級(jí)月考）如圖所示，圖中共有2條直線，13條射線，6條線段．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直線，射線、線段的定義，利用表示方法表示出來即可．【規(guī)范解答】解：圖中共有2條直線，即直線AB、BC；13條射線，即射線AC、CA、BC、CB、DC、AB、DB，還有6條不可以表示的；6條線段，即線段AB、AD、BD、AC、DC、BC．故答案為：2，13，6．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了直線、線段、射線的定義，能正確表示射線，直線、線段是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1-1】（2022秋?海門市期末）往返A(chǔ)，B兩地的客車，中途停靠兩個(gè)站，客運(yùn)站根據(jù)兩站之間的距離確定票價(jià)（距離不相等，票價(jià)就不同）．若任意兩站之間的距離都不相等，則不同的票價(jià)共有（）A．4種 B．5種 C．6種 D．7種【變式訓(xùn)練1-2】（2019秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）觀察圖形，下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）（1）直線BA和直線AB是同一條直線（2）射線AC和射線AD是同一條射線（3）AB+BD＞AD（4）三條直線兩兩相交時(shí)，一定有三個(gè)交點(diǎn)．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式訓(xùn)練1-3】（2021秋?東臺(tái)市期末）對(duì)于數(shù)軸上的點(diǎn)M，線段AB，給出如下定義：P為線段AB上任意一點(diǎn)，我們把M、P兩點(diǎn)間距離的最小值稱為點(diǎn)M關(guān)于線段AB的“靠近距離”，記作d1（點(diǎn)M，線段AB）；把M、P兩點(diǎn)間的距離的最大值稱為點(diǎn)M關(guān)于線段AB的“遠(yuǎn)離距離”，記作d2（點(diǎn)M，線段AB）．特別的，若點(diǎn)M與點(diǎn)P重合，則M，P兩點(diǎn)間的距離為0．已知點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣5，點(diǎn)B表示的數(shù)為2．如圖，若點(diǎn)C表示的數(shù)為3，則d1（點(diǎn)C，線段AB）＝1，d2（點(diǎn)C，線段AB）＝8．（1）若點(diǎn)D表示的數(shù)為﹣7，則d1（點(diǎn)D，線段AB）＝，d2（點(diǎn)D，線段AB）＝；（2）若點(diǎn)M表示的數(shù)為m，d1（點(diǎn)M，線段AB）＝3，則m的值為；若點(diǎn)N表示的數(shù)為n，d2（點(diǎn)N，線段AB）＝12，則n的值為．（3）若點(diǎn)E表示的數(shù)為x，點(diǎn)F表示的數(shù)為x+2，d2（點(diǎn)F，線段AB）是d1（點(diǎn)E，線段AB）的3倍．求x的值．【典例精講】（2022秋?如皋市校級(jí)期末）如圖，C，D為線段AB上兩點(diǎn)，AB＝7cm，AD＝1.5cm，D為線段AC的中點(diǎn)，則線段CB＝4cm．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)D為線段AC的中點(diǎn)，可得AC＝2AD＝3cm，再根據(jù)線段的和差即可求解．【規(guī)范解答】解：∵D為線段AC的中點(diǎn)，∴AC＝2AD＝3cm，∵AB＝7cm，∴CB＝AB﹣AC＝7﹣3＝4（cm），故答案為：4．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了有關(guān)中點(diǎn)的計(jì)算，熟練掌握把一條線段分成相等的兩段的點(diǎn)，叫做這條線段的中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2-1】（2022秋?瀘縣校級(jí)期末）下列說法：①經(jīng)過一點(diǎn)有無數(shù)條直線；②兩點(diǎn)之間線段最短；③經(jīng)過兩點(diǎn)，有且只有一條直線；④若線段AM等于線段BM，則點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式訓(xùn)練2-2】（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，直線上的四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D分別代表四個(gè)小區(qū)，其中A小區(qū)和B小區(qū)相距am，B小區(qū)和C小區(qū)相距200m，C小區(qū)和D小區(qū)相距am，某公司的員工在A小區(qū)有30人，B小區(qū)有5人，C小區(qū)有20人，D小區(qū)有6人，現(xiàn)公司計(jì)劃在A，B，C，D四個(gè)小區(qū)中選一個(gè)作為班車?？奎c(diǎn)，為使所有員工步行到停靠點(diǎn)的路程總和最小，那么停靠點(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在（）A．A小區(qū) B．B小區(qū) C．C小區(qū) D．D小區(qū)【變式訓(xùn)練2-3】（2022秋?句容市校級(jí)期末）如圖，延長線段AB到C，使BC＝3AB，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，如果CD＝3cm．（1）求AC的長度．（2）若點(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)，求ED的長度．【典例精講】（2022秋?如皋市校級(jí)期末）如圖，A，B，C三點(diǎn)在同一直線上，點(diǎn)D在AC的延長線上，且CD＝AB．（1）請(qǐng)用圓規(guī)在圖中確定D點(diǎn)的位置；（2）比較線段的大小：AC＝BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；（3）若AB：BC＝2：5，AC＝14，求AD的長．【思路點(diǎn)撥】（1）以點(diǎn)C為圓心，AB長為半徑畫弧交AC的延長線于點(diǎn)D，即為所求；（2）由線段AB＝CD得出AB+BC＝CD+BC，即可得出結(jié)論；（3）由已知求出AB＝4，得出CD＝4，即可得出AD的長．【規(guī)范解答】解：（1）如圖所示，以點(diǎn)C為圓心，AB長為半徑畫弧交AC的延長線于點(diǎn)D，即為所求，（2）∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，∴AC＝BD；故答案為＝；（3）∵AB：BC＝2：5，AC＝14，∴，∴CD＝4，∴AD＝AC+CD＝18，故答案為：18．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查線段長短的計(jì)算及作一條線段等于已知線段，對(duì)線段長進(jìn)行大小比較以及對(duì)線段長度求值，結(jié)合圖形求解是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3-1】（2022秋?姑蘇區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知B、C在線段AD上．（1）圖中共有條線段；（2）若AB＝CD．①比較線段的大?。篈CBD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；②若AC＝18，BC＝12，M是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，求MN的長度．【變式訓(xùn)練3-2】（2019秋?宿城區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D、E在同一直線上，且AC＝BD，E是線段BC的中點(diǎn)．（1）點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)嗎？說明理由；（2）當(dāng)AD＝10，AB＝3時(shí)，求線段BE的長度．【變式訓(xùn)練3-3】（1）如圖，已知點(diǎn)C在線段AB上，且AC＝6cm，BC＝4cm，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，求線段MN的長度．（2）在（1）中，如果AC＝acm，BC＝bcm，其它條件不變，你能猜出MN的長度嗎？請(qǐng)你用一句簡潔的話表述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．（3）對(duì)于（1）題，如果我們這樣敘述它：“已知線段AC＝6cm，BC＝4cm，點(diǎn)C在直線AB上，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，求MN的長度．”結(jié)果會(huì)有變化嗎？如果有，求出結(jié)果．【典例精講】（2022秋?贛榆區(qū)校級(jí)月考）∠O，∠AOB，∠1表示同一角是（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)角的表示方法和圖形進(jìn)行判斷即可．【規(guī)范解答】解：A、圖中的∠AOB不能用∠O表示，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、圖中的∠AOB不能用∠O表示，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、圖中∠1、∠AOB、∠O表示同一個(gè)角，故本選項(xiàng)正確；D、圖中的∠1不能用∠O表示，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了角的表示方法的應(yīng)用，角可以用一個(gè)大寫字母表示，也可以用三個(gè)大寫字母表示．其中頂點(diǎn)字母要寫在中間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個(gè)字母來記這個(gè)角，否則分不清這個(gè)字母究竟表示哪個(gè)角．【變式訓(xùn)練4-1】（2020秋?高淳區(qū)校級(jí)期末）在銳角∠AOB內(nèi)部由O點(diǎn)引出3種射線，第1種是將∠AOB分成10等份；第2種是將∠AOB分成12等份；第3種是將∠AOB分成15等份，所有這些射線連同OA、OB可組成的角的個(gè)數(shù)是（）A．595 B．406 C．35 D．666【變式訓(xùn)練4-2】（2019秋?沭陽縣期末）如圖，∠AOB的度數(shù)是°．【變式訓(xùn)練4-3】已知如圖，∠AOB是銳角，以O(shè)為端點(diǎn)向∠AOB內(nèi)部作一條射線，則圖中有多少個(gè)角？若作二條、三條射線有多少個(gè)角？n條時(shí)有多少個(gè)角？畫一畫，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？【典例精講】（2021秋?徐州期末）上午10：00，鐘面上時(shí)針與分針?biāo)山堑亩葦?shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．75°【思路點(diǎn)撥】根據(jù)時(shí)鐘上一大格是30°進(jìn)行計(jì)算即可解答．【規(guī)范解答】解：由題意得：2×30°＝60°，∴上午10：00，鐘面上時(shí)針與分針?biāo)山堑亩葦?shù)是：60°，故選：C．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了鐘面角，熟練掌握時(shí)鐘上一大格是30°是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5-1】（2022秋?泗陽縣校級(jí)期末）9點(diǎn)30分時(shí)，鐘表上時(shí)針與分針?biāo)M成的角為度．【變式訓(xùn)練5-2】（2020秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）時(shí)鐘表面3點(diǎn)25分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)蓨A角（小于平角）的度數(shù)是．【變式訓(xùn)練5-3】（2017秋?興化市期末）鐘面角是指時(shí)鐘的時(shí)針與分針?biāo)傻慕牵鐖D，在鐘面上，點(diǎn)O為鐘面的圓心，圖中的圓我們稱之為鐘面圓．為便于研究，我們規(guī)定：鐘面圓的半徑OA表示時(shí)針，半徑OB表示分針，它們所成的鐘面角為∠AOB；本題中所提到的角都不小于0°，且不大于180°；本題中所指的時(shí)刻都介于0點(diǎn)整到12點(diǎn)整之間．（1）時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為°，分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為°；（2）8點(diǎn)整，鐘面角∠AOB＝°，鐘面角與此相等的整點(diǎn)還有：點(diǎn)；（3）如圖，設(shè)半徑OC指向12點(diǎn)方向，在圖中畫出6點(diǎn)15分時(shí)半徑OA、OB的大概位置，并求出此時(shí)∠AOB的度數(shù)．【典例精講】（2021秋?啟東市校級(jí)月考）如圖，OA表示北偏東20°方向的一條射線，OB表示南偏西50°方向的一條射線，則∠AOB的度數(shù)是（）A．100° B．120° C．140° D．150°【思路點(diǎn)撥】根據(jù)方向角的定義可直接確定∠AOB的度數(shù)．【規(guī)范解答】解：因?yàn)镺A表示北偏東20°方向的一條射線，OB表示南偏西50°方向的一條射線，所以∠AOB＝20°+90°+（90°﹣50°）＝150°．故選：D．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了方向角及其計(jì)算．掌握方向角的概念是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練6-1】（2023?南開區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，A、O、B在同一條直線上，如果OA的方向是北偏西37°47′，那么OB的方向是．【變式訓(xùn)練6-2】（2013秋?海安縣校級(jí)期末）小明從A處向北偏東72°38′方向走10m到達(dá)B處，小亮也從A處出發(fā)向南偏西15°38′方向走15m到達(dá)C處，則∠BAC的度數(shù)為度．【變式訓(xùn)練6-3】（2014秋?靖江市校級(jí)月考）如圖，貨輪D在航行過程中，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它的南偏東60°的方向上．同時(shí)，在貨輪D的北偏西30°、西北方向上又發(fā)現(xiàn)了客輪B和海島C．（1）仿照表示燈塔方位的方法，在圖中畫出表示客輪B和海島C方向的射線；（2）在（1）的條件下填空：∠BOC＝，∠BOA＝；和∠AOF互余的角為．【典例精講】（2022秋?宜興市月考）下列說法中：其中正確的有（）①1°＝60′；②若2AC＝BC，則A是線段BC的中點(diǎn)；③兩點(diǎn)之間所有連線中，直線最短；④兩點(diǎn)確定一條直線．A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①④【思路點(diǎn)撥】①根據(jù)度分秒的換算進(jìn)行判定即可得出答案；②根據(jù)題意畫出圖形，如圖進(jìn)行判定即可得出答案；③根據(jù)線段的性質(zhì)進(jìn)行判定即可得出答案；④根據(jù)直線的性質(zhì)進(jìn)行判定即可得出答案．【規(guī)范解答】解：①因?yàn)?°＝60′，所以①說法正確，故①選項(xiàng)符合題意；②如圖，因?yàn)?AC＝BC，A不是線段BC的中點(diǎn)，所以②說法不正確，故②選項(xiàng)不符合題意；③因?yàn)閮牲c(diǎn)的所有連線中，可以有無數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短，所以③說法不正確，故③選項(xiàng)不符合題意；④因?yàn)橹本€公理：經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線．所以④說法正確，故④選項(xiàng)符合題意．所以說法正確的有①④，故選：D．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了度分秒的換算，兩點(diǎn)間的距離，直線的性質(zhì)，線段的性質(zhì)，掌握兩點(diǎn)間的距離，直線的性質(zhì)，線段的性質(zhì)進(jìn)行判定是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練7-1】（2022秋?興化市期末）54°36′＝度．【變式訓(xùn)練7-2】（2017秋?崇川區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：15°37′+42°51′＝．【變式訓(xùn)練7-3】（2019秋?港閘區(qū)校級(jí)月考）（1）；；（3）42°15'26''×4﹣21°36'20''÷5+3.295°．【典例精講】（2021秋?大豐區(qū)期末）射線OC在∠AOB的內(nèi)部，下列給出的條件中不能得出OC是∠AOB的平分線的是（）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC+∠BOC＝∠AOB C．∠AOB＝2∠AOC D．∠BOC＝∠AOB【思路點(diǎn)撥】利用角平分的定義從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線．可知B不一定正確．【規(guī)范解答】解：A、射線OC在∠AOB的內(nèi)部，∠AOC＝∠BOC，則OC是∠AOB的平分線，故選項(xiàng)A不符合題意；B、射線OC在∠AOB的內(nèi)部，∠AOC+∠BOC＝∠AOB，則不能判斷OC是∠AOB的平分線，故選項(xiàng)B符合題意；C、射線OC在∠AOB的內(nèi)部，∠AOB＝2∠AOC，則OC是∠AOB的平分線，故選項(xiàng)C不符合題意；D、射線OC在∠AOB的內(nèi)部，∠BOC＝∠AOB，則OC是∠AOB的平分線，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線．【變式訓(xùn)練8-1】（2022秋?啟東市校級(jí)期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．當(dāng)直線CD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜180）時(shí)，下列各角的度數(shù)與∠BOD度數(shù)變化無關(guān)的角是（）A．∠AOD B．∠AOC C．∠EOF D．∠DOF【變式訓(xùn)練8-2】（2021秋?溧陽市期末）OC、OD是∠AOB內(nèi)部任意兩條射線，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，若∠MON＝m°，∠COD＝n°，則∠AOB＝°（用含m、n的代數(shù)式表示）．【變式訓(xùn)練8-3】（2022秋?徐州期末）如圖①，點(diǎn)O在直線AB上，∠BOC＝50°．將直角三角尺（斜邊為DE）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一條直角邊OE放在射線OB上．已知∠DEO＝30°，將該三角尺繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，在旋轉(zhuǎn)過程中，解決下列問題．（1）如圖②，若射線OE平分∠BOC，則∠COD與∠DOA的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖③，當(dāng)斜邊DE與射線OA相交時(shí)，∠COE與∠AOD的差是否保持不變？請(qǐng)說明理由．【典例精講】（2021秋?興化市校級(jí)月考）如圖，已知O為直線AB上一點(diǎn)，OC平分∠AOD，∠BOD＝4∠DOE，∠COE＝α，則∠BOE的度數(shù)為（）A．360°﹣4α B．180°﹣4α C．α D．270°﹣3α【思路點(diǎn)撥】設(shè)∠DOE＝x，則∠BOD＝4x、∠BOE＝3x，根據(jù)角之間的等量關(guān)系求出∠AOD、∠COD、∠COE的大小，然后解得x即可．【規(guī)范解答】解：設(shè)∠DOE＝x，則∠BOD＝4x，∵∠BOD＝∠BOE+∠EOD，∴∠BOE＝3x，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣4x．∵OC平分∠AOD，∴∠COD＝∠AOD＝（180°﹣4x）＝90°﹣2x．∵∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°﹣2x+x＝90°﹣x，由題意有90°﹣x＝α，解得x＝90°﹣α，則∠BOE＝270°﹣3α，故選：D．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查角的計(jì)算的知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用好角的平分線這一知識(shí)點(diǎn)是解答的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練9-1】（2020秋?姜堰區(qū)期末）將一張長方形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，AE、AF為折痕，點(diǎn)B、D折疊后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B′、D′，若∠B′AD′＝10°，則∠EAF的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．55°【變式訓(xùn)練9-2】（2021秋?相城區(qū)校級(jí)月考）在同一平面內(nèi)，∠AOB＝70°，∠BOC＝40°，則∠AOC的度數(shù)為．【變式訓(xùn)練9-3】（2022秋?南通期末）定義：從∠MPN的頂點(diǎn)P引一條射線PQ（不與PM重合），若∠QPN+∠MPN＝180°，則稱射線PQ為∠MPN關(guān)于邊PN的補(bǔ)線．（1）下列說法：①一個(gè)角關(guān)于某邊的補(bǔ)線一定在這個(gè)角的外部；②一個(gè)角關(guān)于某邊的補(bǔ)線一定有2條；③一個(gè)角關(guān)于某邊的補(bǔ)線有1條或2條，其中正確的是；（填序號(hào)）（2）如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，射線OC，OD在AB同側(cè)，OD是∠BOC的平分線，則OC是∠AOD關(guān)于邊OD的補(bǔ)線嗎？為什么？（3）已知射線OC為∠AOB關(guān)于邊OB的補(bǔ)線，OP是∠BOC的平分線．若∠AOB＝α，試用含α的式子表示∠AOP（直接寫出結(jié)果）．【典例精講】（2022秋?玄武區(qū)校級(jí)期末）已知一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角3倍大10°，則這個(gè)角的度數(shù)是50度．【思路點(diǎn)撥】相加等于90°的兩角稱作互為余角，也作兩角互余．和是180°的兩角互為補(bǔ)角，本題實(shí)際說明了一個(gè)相等關(guān)系，因而可以轉(zhuǎn)化為方程來解決．【規(guī)范解答】解：設(shè)這個(gè)角是x°，則余角是（90﹣x）度，補(bǔ)角是（180﹣x）度，根據(jù)題意得：180﹣x＝3（90﹣x）+10解得x＝50．故填50．【考點(diǎn)評(píng)析】題目反映了相等關(guān)系問題，就可以利用方程來解決．【變式訓(xùn)練10-1】（2022秋?亭湖區(qū)期末）若∠AOC與∠BOD互余，且∠AOC＝48°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．132° B．42° C．48° D．138°【變式訓(xùn)練10-2】（2021秋?啟東市期末）若一個(gè)角的余角是它的補(bǔ)角的，則這個(gè)角的度數(shù)是（）A．30° B．60° C．120° D．150°【變式訓(xùn)練10-3】．（2022秋?錫山區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，將一個(gè)直角三角尺的直角頂點(diǎn)放置在點(diǎn)O處，且ON平分∠BOD．（1）若∠AOC＝64°，求∠MOB的度數(shù)；（2）試說明OM平分∠AOD．【典例精講】（2022秋?泗洪縣期末）如圖所示，從A地到B地有多條道路可?，?們往往會(huì)選擇?中間的直路，這是因?yàn)椋ǎ〢．兩點(diǎn)之間線段最短 B．兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn) C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．其他的路?不通【思路點(diǎn)撥】由題意從A地到B地有多條道路，肯定要盡量選擇兩地之間最短的路程，就用到兩點(diǎn)間線段最短的數(shù)學(xué)知識(shí)．【規(guī)范解答】解：從A到B有多條道路，人們會(huì)走中間的直路，而不會(huì)走其他曲折的路，這是因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短．故選：A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了線段的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短．【變式訓(xùn)練11-1】（（2020秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）觀察下列圖形，并閱讀圖形下面的相關(guān)文字，如圖所示：兩條直線相交，最多有一個(gè)交點(diǎn)，三條直線相交，最多有三個(gè)交點(diǎn)，四條直線相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)，像這樣，10條直線相交，最多交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．40個(gè) B．45個(gè) C．50個(gè) D．55個(gè)【變式訓(xùn)練11-2】（2021秋?濱湖區(qū)期末）在同一平面內(nèi)的三條直線，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是．【變式訓(xùn)練11-3】（2019秋?臨江市期末）試用幾何語言描述下圖：．【典例精講】（2022秋?江陰市期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOE＝∠COF＝90°，圖中與∠BOC互補(bǔ)的角有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)互為余角的定義以及對(duì)頂角的定義可得∠AOC＝∠BOD＝∠EOF，再根據(jù)互為補(bǔ)角的定義以及等量代換可得答案．【規(guī)范解答】解：∵∠AOE＝∠COF＝90°，即∠AOC+∠COE＝∠COE+∠EOF＝90°，∴∠AOC＝∠EOF，又∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC＝∠BOD＝∠EOF，∵∠BOC+∠AOC＝180°，即∠BOC與∠AOC互為補(bǔ)角，∴∠BOC互補(bǔ)的角有：∠AOC，∠BOD，∠EOF共3個(gè)，故選：C．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查互為余角、互為補(bǔ)角、對(duì)頂角，掌握互為余角、互為補(bǔ)角以及對(duì)頂角的定義是正確解答的前提．【變式訓(xùn)練12-1】（2017秋?豐縣校級(jí)月考）下列圖形中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練12-2】（2022秋?射陽縣校級(jí)期末）已知如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE為射線，若∠AOE+∠DOE＝110°，則∠AOC＝°．【變式訓(xùn)練12-3】（2021秋?高郵市期末）如圖1，已知射線OB在∠AOC內(nèi)，若滿足∠BOC+∠AOC＝180°，則稱射線OB為∠BOC與∠AOC的“互補(bǔ)線”．（1）如圖2，已知點(diǎn)O是直線AD上一點(diǎn)，射線OB、OC在直線AD同側(cè)，且射線OC平分∠BOD．試說明：射線OB為∠BOC與∠AOC的“互補(bǔ)線”；（2）如圖3，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，射線OE為∠BOC與∠BOE的“互補(bǔ)線”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度數(shù)；（3）如圖4，已知射線OB為∠BOC與∠AOC的“互補(bǔ)線”，且射線OE、OF分別平分∠AOC、∠BOC，試判斷∠BOC+∠EOF的度數(shù)是否為定值，若為定值，求出定值的度數(shù)；若不為定值，請(qǐng)說明理由．【典例精講】（2022?常州）如圖，斑馬線的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過馬路．小麗覺得行人沿垂直馬路的方向走過斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A．垂線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線 C．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 D．過直線外一點(diǎn)有且只有一