2022-2023學年江西省撫州市南城二中八年級（上）第一次診斷數(shù)學試卷（附答案詳解）

2022-2023學年江西省撫州市南城二中八年級（上）第一次診斷

數(shù)學試卷

1.在局，企,1.414弓,g,3.25,0,VI西中，無理數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.下列說法不正確的是（）

A.余的平方根是B.V—27=—3

C.（-0.1）2的平方根是±0.1D.81的平方根是9

3.直角三角形的兩條直角邊分別為5cm,12czM，則斜邊上的高是cm.（）

A.6B.8C.D竺

13口13

4.以下列三條線段為邊能夠組成直角三角形的有個.（）

(1)3,4,5

(2)6.5,2.5,3

(3)2.6,2.4,2

(4)5,6,7

A.1B.2C.3D.4

5.直角形的長為24,斜邊長為10,則面為（）

A.96B.49C.24D.48

6.若zn>0,且m-'=3,則zn+\等于()

A.V10B.V15C.\A13D.V1T

7.81的平方根是；代的算術(shù)平方根是；-64的立方根是.

8.如圖，數(shù)軸上點4表示的數(shù)據(jù)為.

-5-4-U-?-1O1-7~34~5^

9.已知直角三角形的兩邊的長分別是3和4,則第三邊長為.

10.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊

長為6。機，則正方形A,B,C,。的面積的和是cm2.

D

11.如圖，長方形ABC。中，點E在邊AB上，將長方形48。

沿直線。E折疊，點A恰好落在邊BC上的點尸處.若4E=5,

BF=3,則CD的長.

12.等腰△ABC的面積為30,其中一邊48=10,貝.

13.(1)計算g-V27+V75+(2-V3)2；

(2)求x的值(x+2>+4=31.

14.己知正數(shù)機有兩個平方根，分別是a+3與2a—15.①求a的值；②求這個正數(shù)

15.已知a是n的整數(shù)部分，〃是傷的小數(shù)部分，計算(。-匕/的值.

16.如圖，請按下列要求作圖：在正方形網(wǎng)格中選擇三個格點，使之構(gòu)成直角三角形.

①三邊為有理數(shù)；

②三邊為無理數(shù)；

③兩邊是無理數(shù)，一邊是有理數(shù).

17.如圖，某街道的同側(cè)有4B兩個小區(qū),它們到街道所在直線MN的距離分別為A4=1km,

BB1=2km,=4k?n.現(xiàn)要在街道&、當之間設(shè)一個奶站，向A,8兩個居民區(qū)供應牛奶

使A,8兩個小區(qū)到P的距離之和最短，求這個最短距離和.

B

M小BiN

18.已知實數(shù)〃，人在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡|a|+|a--一J(a-b)2.

——?------------1——?-------->

a0b

19.“交通管理條例第三十五條”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過70千米/小時,

如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路面對車速檢測儀正前

方50米處，過了4秒后，測得小汽車與車速檢測儀間距離為130米，這輛小汽車超速了嗎？

小汽車Core...............小汽車

20.如圖，長方體盒子(無蓋)的長、寬、高分別是12的，8cm,30a”,在A8中點C處有一滴

蜜糖，一只小蟲從。處爬到C處去吃，有無數(shù)種走法，則最短路程是多少？

21.閱讀下列材料，然后回答問題：

在進行類似于二次根式高的運算時，通常有如下方法將其進一步化簡：焉=

2(百-1)一2(百-1)

-2-

(V3+1)(V3-1)(V3)-1

⑴請化簡磊?

(2)化問+75+75+VS+V5+…+V2022+V2020-

22.已知：如圖，在RtZiABC中，ZC=90°,AB=5cm,AC=3cm,動點尸從點B出發(fā)沿

射線BC以lcrn/s的速度移動，設(shè)運動的時間為，秒.

(1)求BC邊的長；

(2)當AABP為直角三角形時，求r的值；

(3)當A4BP為等腰三角形時，求,的值.

23.我們新定義下界三角形：若一個三角形中存在兩邊的平方差等于第三邊上高的平方則稱這

個三角形為勾股高三角形，這兩邊交點為勾股頂點.

(1)特例感知：

①等腰直角三角形是勾股高三角形(請?zhí)顚憽笆恰被颉安皇恰?:

②如圖1,已知△ABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點CO是AB邊上的高.若BD=2AD=

2,試求CD的值.

(2)深入探究：

如圖2,已知△ABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點CA>CB,CD是A3邊上的高，試

探究線段與CB的數(shù)量關(guān)系，并給予說明.

(3)推廣應用：

如圖3,等腰三角形48c為勾股高三角形，其中4B=AC>BC,CO為AB邊上的高，過點

。作OE〃BC交AC邊于點E.若CE=a,試求線段。E的長度.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：在聞，夜,1.414,*一，3.25,0,71國中，

無理數(shù)是應、

故選8.

由于無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，由此即可判定選擇項.

此題主要考查了無理數(shù)的定義.初中范圍內(nèi)學習的無理數(shù)有：兀，2兀等；開方開不盡的數(shù)；以及

像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù).

2.【答案】D

【解析】解：4真的平方根為±區(qū)=±1因此選項A不符合題意；

B.V^27=-3,因此選項B不符合題意；

C.(-0.1)2的平方根是±J(-0.1)2=±0.1,因此選項C不符合題意；

D81的平方根為±質(zhì)=±9,因此選項。符合題意；

故選：D.

根據(jù)平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義進行計算即可.

本題考查平方根、算術(shù)平方根、立方根，理解平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義是正確判斷的

前提.

3.【答案】D

【解析】解：???直角三角形的兩條直角邊分別為5c/m12a”

??.斜邊長是\52+122=13(cm),

設(shè)斜邊上的高是xcm,

口.5x1213%

-2-=~~2~f

解得“詈

故選：D.

根據(jù)勾股定理，可以得到斜邊的長，然后根據(jù)等面積法可以求得斜邊上的高，本題得以解決.

本題考查勾股定理、三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用勾股定理的知識解答.

4.【答案】4

【解析】解：⑴???32+42=25,52=25,

32+42=52,

???能夠組成直角三角形；

(2)V2.5+3=5.5<6.5,

不能組成三角形；

(3)?；22+2.42=9.76,2.62=6.76,

22+2.42豐2.62,

.??不能夠組成直角三角形；

(4)???52+62=61,72=49,

52+62,72,

???不能夠組成直角三角形；

所以，以上列三條線段為邊能夠組成直角三角形的有1個，

故選：A.

根據(jù)勾股定理的逆定理，進行計算逐一判斷即可解答.

本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

5.【答案】C

【解析】解：直角三形的長24,斜邊長為10則兩直角邊的和為2-014,

根據(jù)勾股定理可知：214x)2=10,

直角為x,則另一邊14-x,

解得=6或8,

故選.

利用勾股定理出直角邊，再入三角形面公式即求解.

題考查利用勾股理解直角角形的能力，即直角三角形角邊平方和等邊的方；本題的關(guān)鍵是先求兩

直角邊，計算面積.

6.【答案】C

【解析】解：r(m-，)2=9,

???/-2++=9,

,1

???m2H-----z-=11

1

：?m2+2H-----y=13

???=13,

???m>0,

.?.7n+3=VH,

故選：C.

根據(jù)完全平方公式即可求出答案.

本題考查完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟練運用完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型.

7.【答案】±92—4

【解析】解：81的平方根是±9；仍石=4,4的算術(shù)平方根是2；-64的立方根是-4.

故答案為：±9；2；-4

利用平方根及立方根的定義計算即可得到結(jié)果.

此題考查了立方根，平方根，以及算術(shù)平方根，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵.

8.【答案】一遍

【解析】解：OB-?=煙,

故數(shù)軸上點A表示的數(shù)據(jù)為-VI

根據(jù)數(shù)軸得出矩形的長和寬，利用勾股定理求出其對角線.

本題主要考查了數(shù)軸與勾股定理的應用.

9.【答案】5或位

【解析】解：①長為3的邊是直角邊，長為4的邊是斜邊時：

第三邊的長為：V42-32=V7；

②長為3、4的邊都是直角邊時：

第三邊的長為：V42+32=5；

綜上，第三邊的長為：5或夕.

故答案為：5或夕.

已知直角三角形兩邊的長，但沒有明確是直角邊還是斜邊，因此分兩種情況討論：①3是直角邊，

4是斜邊；②3、4均為直角邊；可根據(jù)勾股定理求出上述兩種情況下，第三邊的長.

此題主要考查的是勾股定理的應用，要注意的是由于已知的兩邊是直角邊還是斜邊并不明確，所

以一定要分類討論，以免漏解.

10.【答案】36

【解析】解：如圖，由勾股定理可知，正方形A與B的面積和等于正方形M的面積.

正方形C與。的面積和等于正方形N的面積.

并且正方形M與N的面積和等于最大的正方形的面積.因此A、B、C、。的面積之和是最大正方

形的面積=62=36(cm2),

故答案為：36.

根據(jù)勾股定理知，以兩條直角邊為邊作出的兩個正方形面積和等于以斜邊為邊的正方形面積.

本題考查了勾股定理的意義及應用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

11.【答案】9

【解析】解：???四邊形ABC。是長方形，

乙B=90°,AB=CD,

由折疊的性質(zhì)可得：EF=AE=5,

在Rt△BEF中，BE='JEF2-BF2=V52-32=4,

???CD=AB=AE+BE=5+4=9.

故答案為：9.

由四邊形ABC。是長方形，可得4B=90。，AB=CD,由折疊的性質(zhì)可得：EF=AE=5,然后

由勾股定理求得BE的長，繼而求得答案.

此題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及勾股定理.此題難度不大，注意掌握折疊前后圖形的對

應關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用.

12.【答案】10或2舊或鬧

【解析】解：過點C作CD_L4B于。，

???△4BC的面積為30,

???^xABxCD=30,Bp|x10xCD=30,

解得，CD=6,

如圖1,當A8為底邊，CA=C8時，

vCD1AB,

.-.AD=DB=^AB=5,

AC2=BC2=52+62=61；

???BC=鬧；

當A8為腰，且△ABC為銳角三角形，AB=AC=10時，如圖2

則心=AB2=I。。，

在RMACD中，AD=>JAC2-CD2=8,

則BO=AB-AD=2,

■■■BC2=CD2+BD2=40；

BC=2V10；

當A8為腰，且△ABC為鈍角三角形，AB=BC=10時，如圖3

則BC?=AB2=100,

???BC=10,

綜上所述，BC=10或2?U或vn,

故答案為：10或2VIU或VH.

根據(jù)三角形的面積公式求出CD,分當4B為底邊、A8為腰，A/IBC為銳角三角形和鈍角三角形三

種情況，根據(jù)勾股定理計算，得到答案.

本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,6,斜邊長為c,那么a?+爐=

13.【答案】解：(1)原式=2百一36+5再+4+3-46

=7；

(2)0+2)3+4=31,

則Q+2)3=27,

%4-2=3,

解得：x=l.

【解析】(1)直接利用二次根式的性質(zhì)化簡，進而得出答案；

(2)直接利用立方根的性質(zhì)計算得出答案.

此題主要考查了實數(shù)的運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

14.【答案】解：?.?正數(shù)機有兩個平方根，分別是。+3與2。-15,

二a+3=—(2a—15),

得，a=4；

所以，m=(a+3產(chǎn)=(4+3產(chǎn)=49；

【解析】正數(shù)機有兩個平方根，分別是a+3與2a-15,所以，a+3與2a-15互為相反數(shù)；即

a+3=-(2a-15),解答可求出a；根據(jù)m=(a+3)2,代入可求出的值.

本題主要考查了平方根的定義和性質(zhì)，以及根據(jù)平方根求被開方數(shù)；注意：一個正數(shù)有兩個平方

根，它們互為相反數(shù).

15.【答案】解：：a是n的整數(shù)部分，人是述的小數(shù)部分，2<3,

■■a=2,b=V6-2,

■-a—b=2—(V6-2)=4—V6,

???(a-b)2=(4->/6)2=16-8V6+6=22-8>/6.

【解析】直接利用布的取值范圍進而得出a、人的值，代入計算進而得出答案.

此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，正確得出逐的取值范圍是解題關(guān)鍵.

16.【答案】解：①如圖，△4BC即為所求;

②如圖，△ABC即為所求；

③如圖，aABC即為所求.

【解析】①畫一個邊長為3,4,5的三角形即可；

②根據(jù)要求作出三角形即可(答案不唯一)；

③根據(jù)要求作出圖形即可(答案不唯一).

本題考查作圖-應用與設(shè)計作圖，無理數(shù)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用數(shù)形結(jié)合的思

想解決問題.

17.【答案】解：如圖，過8作8點關(guān)于MN的對稱點B',連接49交必當于點P,

B

M4認、N

、I

B'

則4P+BP=AP+PB'=AB',

所以尸點即為到A,8距離之和最短的點,

過4作4E1BB'于點、E,

貝ijAE=—8,B'E=AAr+BB[=1+2=3,

由勾股定理，得AB'=7AE2+B'E2=返2+32=5.

SIMP+BP=AB'=5,

故出口尸到4,B兩村莊的最短距離之和是5km.

【解析】過8作B點關(guān)于MN的對稱點夕,連接4B'交于點P,則4P+BP=AP+PB'=AB',

易知P點即為到A,8距離之和最短的點，過A作4E_LBB'于點E,然后根據(jù)勾股定理即可得結(jié)

果.

本題考查了軸對稱-最短路線問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì).

18.【答案】解：由題可得，a<0,a-b<0,

.■■\a\+\a-b\-^a-by

=-a+(-a+b)-(-a+b)

【解析】先由數(shù)軸得到a<0,a-b<0,再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡即可.

本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，解決問題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì).

19.【答案】解：由勾股定理得，BC=y/AC2-AB2=V1302-502=120米，

v=120+4=30米/秒，

v30x3.6=108,

30米/秒=108千米〃卜時,108>70,

這輛小汽車超速了超速了.

【解析】利用勾股定理列式求出8C,再根據(jù)速度=路程+時間求出小汽車的速度，然后化為千米/

小時的單位即可得解.

本題考查了勾股定理的應用，難點在于速度的單位換算.

20.【答案】解：如圖1展開，連接。C,則。C的長就是從。處爬到C處的最短路程，

MA

圖1

在中，AD=12cm+8cm=20(c?n),AC=^x30cm=15(cm),

由勾股定理得：DC=V202+152=25(cm).

即從D處爬到C處的最短路程是25cm.

【解析】本題考查了平面展開-最短路徑問題，關(guān)鍵是畫出圖形知道求出哪一條線段的長，題目具

有一定的代表性，是一道比較好的題目.要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是

將長方體的側(cè)面展開，然后利用兩點之間線段最短解答.

21.【答案】解：(1)二

2x(V5-V3)

-(V5+V3)x(V5-V3)

2x(V5-V3)

=5^3

=V5—V3；

1111

⑵--------1-----------1---------1----1--^----

V4+V2V6+V4V8+V6V20==2:2+V20=2=z0

V8-^V2022-V2020

2222

_V2022-V2

=—2一1

【解析】(1)利用分母有理化的方法進行求解即可；

(2)利用題中的方法對式子進行整理，從而可求解.

本題主要考查二次根式的混合運算，解答的關(guān)鍵是對相應的運算法則的掌握.

22.【答案】解：⑴在RtzMBC中，BC2=AB2-AC2=52-32=16,

???BC—4(cm)；

(2)由題意知BP=tcm,

①當乙4PB為直角時，點尸與點C重合，BP=BC=4cm,即t=4；

②當為直角時，BP=tcm,CP=(t-4)cm,

AC=3cm,

在Rt△ACP中，

AP2=32+(-4)2,

在RMBAP中，AB2+AP2=BP2,

即：52+[32+(t-4)2]=t2,

解得：”今

故當A/IBP為直角三角形時，￡=4或￡=備

(3)①當AB=BPH寸，t=5；

②當4B=AP時，BP=2BC=

8cm,t=8；

③當8P=4P時，AP=BP=

tcm,CP=(4—t)cm,AC=3cm,

在RM4CP中，AP2=心+

CP2,

所以t2=32+(4-t)2,

解得；t=京

o

綜上所述：當AABP為等腰三角形時，±=5或￡=8或t=§.

O

【解析】(1)直接根據(jù)勾股定理求出BC的長度；

(2)當AABP為直角三角形時，分兩種情況：①當44PB為直角時，②當NB4P為直角時，分別求出

此時的，值即可;

(3)當AABP為等腰三角形時，分三種情況：①當ZB=BP時；②當4B=AP時；③當BP=AP時,

分別求出8P的長度，繼而可求得，值.

本題考查了勾股定理以及等腰三角形的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應用，以及分情

況討論，注意不要漏解.

23.【答案】是

【解析】解：(1)①結(jié)論：等腰直角三角形是勾股高三角形.

理由：設(shè)等腰直角三角形的直角邊長為相，

則斜邊的長為Vm2