基于二次積分法的均布荷載分析

基于二次積分法的均布荷載分析

0樁基作用下的應力目前，中國的許多技術(shù)標準都規(guī)定了沉降計算方法的規(guī)定，除了一些行業(yè)采用埃德洛法外，大多數(shù)采用分層開采法。前者是直接分析半無限空間體中不同部位的應變關(guān)系,計算出壓縮量;后者則首先分析土體中的應力分布,再依據(jù)壓縮模量的大小計算沉降量。在分層總和法中,對于土體中的附加應力,采用Boussinesq(1883)解。布氏課題將地基視為均質(zhì)、線彈性和各向同性的半無限體,用彈性力學方法求得半無限體表面作用一豎向集中力時在地基中引起的應力,經(jīng)過積分可以得到不同形式的分布荷載引起的應力場的分布情況。雖然布氏解僅僅限于荷載作用于地表的情況,仍然得到廣泛應用,主要是由于過去的基礎埋置深度很淺,往往僅有數(shù)米,與其采用的假定比較接近。在近20年左右,隨著高層建筑和大型公用建筑的大量修建,基礎埋深大大增加,很多達到20余米,而且在主體建筑下還采用樁基礎,樁長一般在15～30m之間。對于這種情況,建筑荷載由基礎構(gòu)件傳遞到離地面很深的基底或樁端持力層,與布氏解荷載作用在半無限空間體表面的假定,相去很遠。在這種情況下,采用荷載作用于半無限彈性體內(nèi)的彈性理論Mindlin解(1936)顯然更為合理,這個道理是得到認同的。對于明氏解在工程應用方面的努力,大體上有兩個方向。其一是Geddes等人根據(jù)Mindlin的課題解,將樁端阻力簡化為一個集中荷載,并考慮了樁側(cè)阻力的不同分布形式,得到土體中任一點的豎向應力分布。在此基礎上,黃強和劉金礪利用明氏解提出了樁基下應力分析的“等效作用法”1,該方法已經(jīng)在樁基規(guī)范中得到應用?！暗刃ё饔梅ā钡幕舅悸啡匀皇菍⒚魇蠈τ诩泻奢d的解直接應用到每根單樁上,然后將所有的樁在地基中引起的應力進行疊加,再將結(jié)果用于沉降計算。這種方法較傳統(tǒng)的方法是一次突破,但在計算樁基沉降時,必須預先知道布樁條件,使用往往不是十分方便。特別是在勘察階段,一般尚不具備這樣的條件,因此也難以進行必要的分析,論證方案的經(jīng)濟合理性。這類方法很難應用到天然地基上。第二個方向是利用數(shù)學推導的方法,通過對荷載作用面積的積分,將原來集中荷載的解推廣到分布荷載條件。這種努力從上世紀50年代徐志英教授等人開始。早期的工作并沒有引起廣泛的重視,直到本世紀初左右,出現(xiàn)了若干有關(guān)的文獻,較有代表性的有袁聚云等和王士杰等發(fā)表的論文。特別值得注意的是王士杰等人在這個領域做了比較系統(tǒng)的工作。文獻不僅推導了不同形態(tài)的分布荷載的公式,發(fā)現(xiàn)了前人的某些錯誤,還對成果進行了有意義的討論。上述對于分布荷載條件下的解,無疑具有實用價值。問題是手算推導過程非常繁雜,往往長達數(shù)頁,由于對參數(shù)定義的差別,不同學者推導的結(jié)果在表達形式上不同,計算結(jié)果也有一定的差別。作為工程應用的基礎表達式,其正確性需要驗證。隨著計算機軟件技術(shù)的發(fā)展,出現(xiàn)了可以做各種數(shù)學運算的“數(shù)學軟件(mathematicssoftwares)”。這是計算機應用上的一個重要的突破,有人將這種技術(shù)稱為“數(shù)學機械化的符號計算系統(tǒng)”。本文就是應用這種技術(shù)求得問題的解,對已有的解答進行了復核,并對結(jié)果的規(guī)律性進行了扼要的討論。1符號運算分析軟件本底組數(shù)學軟件的開發(fā)和應用,大致上是從20世紀70年代開始的,常用的有Maple、Matlab、MathCAD、Mathematica等,我們僅以本文采用的Mathematica為例,對該類軟件進行扼要的介紹。Mathematica是由美國物理學家StephenWolfram開發(fā)的,是一種集數(shù)學計算、處理與分析于一身的軟件,擁有從多項式運算到微積分、特殊函數(shù)分析運算等豐富的功能,能支持相當復雜的符號運算、符號數(shù)值運算,并提供可視化輸出。它可以解決許多數(shù)學問題而不用編制大量的程序,操作簡單、易學、易用。它還是一個交互式計算系統(tǒng),計算是在用戶和Mathematica系統(tǒng)之間互相交換、傳遞信息數(shù)據(jù)的過程中完成的。Mathematica系統(tǒng)所接受的命令都被稱作“表達式”,系統(tǒng)在接受了一個表達式后就對它進行處理,然后返回計算結(jié)果。在輸入一個數(shù)學公式、方程組、矩陣等之后計算機能直接給出結(jié)果,用戶無需考慮中間的計算過程。具有強大的符號計算功能是該軟件的一個顯著特點,它直接支持符號運算,用戶只要在計算機上輸入數(shù)學公式、符號和等式等,就可以很容易地算出代數(shù)、積分、三角以及很多科技領域中的復雜表達式的值。同時它又具有顯示數(shù)學表格和圖形功能,可使用戶對問題的理解、分析更加形象和具體。優(yōu)秀的數(shù)學計算軟件有一個共同的比較突出的優(yōu)點,即能夠保證以正確輸入為前提下的復雜運算過程的正確性。本文采用的系統(tǒng)Mathematica系統(tǒng),經(jīng)過大量使用和考核,具有這種特點。2下深度z處a點引起的應力增量作為比較目標,首先對布氏解進行簡單的回顧。地基表面作用有一豎向集中力P在地基中任意點M(x,y,z)所引起的豎向應力布氏解為σz=3p2πz3R5σz=3p2πz3R5(1)式中:R為點M與集中力作用點之距離,m。矩形面積受豎向均布荷載p作用時,整個作用面在角點下深度z處A點引起的豎向應力增量可對上式積分求出σz=p2π[BLz(B2+L2+2z2)(B2+z2)(L2+z2)√B2+L2+z2+arctanBLz√B2+L2+z2]=p2π[mn(1+m2+2n2)(1+n2)(m2+n2)√1+m2+n2+arctanmn√1+m2+n2]=αp(2)σz=p2π[BLz(B2+L2+2z2)(B2+z2)(L2+z2)B2+L2+z2√+arctanBLzB2+L2+z2√]=p2π[mn(1+m2+2n2)(1+n2)(m2+n2)1+m2+n2√+arctanmn1+m2+n2√]=αp(2)式中:B、L為矩形荷載面積寬度和長度,m;m=LB,n=zBm=LB,n=zB;α為附加應力系數(shù)。如果計算點處在矩形面積中任意點以下,可將整塊面積以該點為公共點劃分為4塊,總的附加應力系數(shù)為4塊面積角點附加應力系數(shù)之和,即“角點法”。3明代土壤生產(chǎn)力分布的明代解3.1土的泊松比z彈性半無限空間體內(nèi)距表面深度h處作用有一豎向集中荷載p時,在半無限體內(nèi)任一點M(x,y,z)處產(chǎn)生的豎向應力分量的表達式為σz=p8π(1-μ)[(1-2μ)(z-h)R31-(1-2μ)(z-h)R32+3(z-h)3R51+3z(3-4μ)(z+h)2-3h(z+h)(5z-h)R52+30hz(z+h)3R72σz=p8π(1?μ)[(1?2μ)(z?h)R31?(1?2μ)(z?h)R32+3(z?h)3R51+3z(3?4μ)(z+h)2?3h(z+h)(5z?h)R52+30hz(z+h)3R72(3)式中:R1=√x2+y2+(z-h)2R1=x2+y2+(z?h)2??????????????√;R2=√x2+y2+(z+h)2R2=x2+y2+(z+h)2??????????????√;μ為土的泊松比。在上式中,如果h=0,R1=R2,可以退化為式(1),相當于集中荷載作用在表面的情況。計算簡圖見圖1。3.2在方程表面的均勻負荷和明代的情況下3.2.1算法+2arctanbl-z2+h-z2+2+22+2+22+22+22+22+22+22+2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222彈性半無限體內(nèi)矩形均布荷載作用下角點的豎向應力見圖2。距地表深度h處的矩形荷載面積長度為L,寬度為B,該范圍內(nèi)單位面積上的均布荷載為p。為確定在這種荷載條件作用下矩形面積角點下點M(0,0,z)處的豎向應力增量Δσz,在矩形面積內(nèi)取一長寬分別為dx,dy的微單元面積,其上作用的荷載為:dp=pdxdy。當微單元面積足夠小時,可以將dp看成集中荷載,根據(jù)集中荷載作用下的明氏解可求得M點在dp作用下的豎向應力增量dσz:整個作用面積在M點引起的豎向應力增量可以對上式積分求出Δσz=?Lx=0?By=0pdxdy8π(1-μ)[(1-2μ)(z-h)R31-(1-2μ)(z-h)R32+3(z-h)3R51+Δσz=?Lx=0?By=0pdxdy8π(1?μ)[(1?2μ)(z?h)R31?(1?2μ)(z?h)R32+3(z?h)3R51+3z(3-4μ)(z+h)2-3h(z+h)(5z-h)R52+30hz(z+h)3R72]3z(3?4μ)(z+h)2?3h(z+h)(5z?h)R52+30hz(z+h)3R72]利用數(shù)學軟件Mathematica的符號計算功能,可方便地將上式的積分結(jié)果求出Δσz=p8π(1-μ){(-2+2μ)arctanBL(h-z)√B2+L2+(h-z)2+(2-2μ)arctanBL(h+z)√B2+L2+(h+z)2-BL[B2+L2+2(h-z)2](h-z)[B2+(h-z)2][L2+(h-z)2]√B2+L2+(h-z)2-2hLz(h+z)3B[B2+(h+z)2][B2+L2+(h+z)2]3/2+2hLz(h+z)3(h+z-B)(h+z+B)B3[B2+(h+z)2]2√B2+L2+(h+z)2+4hLz(h+z)√B2+L2+(h+z)2B[L2+(h+z)2]2-2hLz[-3B2+(h+z)2]√B2+L2+(h+z)2B3(h+z)[L2+(h+z)2]+BL[B2+L2+2(h+z)2][h2-2hz+3z2-4zμ(h+z)](h+z)[B2+(h+z)2][L2+(h+z)2]√B2+L2+(h+z)2}=p8π(1-μ){(-2+2μ)arctanm(k-n)√1+m2+(k-n)2+(2-2μ)arctanm(k+n)√1+m2+(k+n)2-m[1+m2+2(k-n)2](k-n)[1+(k-n)2][m2+(k-n)2]√1+m2+(k-n)2-2kmn(k+n)3[1+(k+n)2][1+m2+(k+n)2]3/2+2kmn(k+n)3(k+n-1)(k+n+1)[1+(k+n)2]2√1+m2+(k+n)2+4kmn(k+n)√1+m2+(k+n)2[m2+(k+n)2]2-2kmn[-3+(k+n)2]√1+m2+(k+n)2(k+n)[m2+(k+n)2]+m[1+m2+2(k+n)2][k2-2kn+3n2-4nμ(k+n)](k+n)[1+(k+n)2][m2+(k+n)2]√1+m2+(k+n)2}(4)Δσz=p8π(1?μ){(?2+2μ)arctanBL(h?z)B2+L2+(h?z)2√+(2?2μ)arctanBL(h+z)B2+L2+(h+z)2√?BL[B2+L2+2(h?z)2](h?z)[B2+(h?z)2][L2+(h?z)2]B2+L2+(h?z)2√?2hLz(h+z)3B[B2+(h+z)2][B2+L2+(h+z)2]3/2+2hLz(h+z)3(h+z?B)(h+z+B)B3[B2+(h+z)2]2B2+L2+(h+z)2√+4hLz(h+z)B2+L2+(h+z)2√B[L2+(h+z)2]2?2hLz[?3B2+(h+z)2]B2+L2+(h+z)2√B3(h+z)[L2+(h+z)2]+BL[B2+L2+2(h+z)2][h2?2hz+3z2?4zμ(h+z)](h+z)[B2+(h+z)2][L2+(h+z)2]B2+L2+(h+z)2√}=p8π(1?μ){(?2+2μ)arctanm(k?n)1+m2+(k?n)2√+(2?2μ)arctanm(k+n)1+m2+(k+n)2√?m[1+m2+2(k?n)2](k?n)[1+(k?n)2][m2+(k?n)2]1+m2+(k?n)2√?2kmn(k+n)3[1+(k+n)2][1+m2+(k+n)2]3/2+2kmn(k+n)3(k+n?1)(k+n+1)[1+(k+n)2]21+m2+(k+n)2√+4kmn(k+n)1+m2+(k+n)2√[m2+(k+n)2]2?2kmn[?3+(k+n)2]1+m2+(k+n)2√(k+n)[m2+(k+n)2]+m[1+m2+2(k+n)2][k2?2kn+3n2?4nμ(k+n)](k+n)[1+(k+n)2][m2+(k+n)2]1+m2+(k+n)2√}(4)式中:m=LB?n=zB?k=hB。從Mathematica得到的式(4)雖然從形式上看復雜一些,但變量關(guān)系明確簡單,很容易做成人們熟悉的、像布氏解那樣的表格,供查閱計算。3.2.2明氏解的退化1)式(4)中,當h=0或k=0時,可以得到矩形均布荷載作用于地表時,角點下一點的豎向應力增量的表達式即布氏解。實際上,布氏解與明氏解都是基于彈性理論推導得到的,二者之間的區(qū)別僅僅在于假定荷載作用位置的不同,當荷載作用位置距半無限體表面距離為零時,明氏解將退化為布氏解,即布氏解是明氏解的特例。以此可對上述積分結(jié)果的正確性進行退化驗證。在上述積分結(jié)果中,如果h=0,可以退化為式(2)。2)將上述成果與文獻進行了比較,證明二者雖然在結(jié)果的表達上有所不同,在不同條件下的計算結(jié)果是完全一致的,應該可以作為任何工程應用的基礎。4計算的討論4.1不同泊松比對分析結(jié)果的影響布氏解的表達式中沒有出現(xiàn)泊松比μ,因此解也不受其影響,而明氏解則與μ有關(guān)。為了考察μ對明氏解的影響,圖3給出了荷載作用相對基礎埋置深度比(或埋深比)k=h/B=0.3、0.5、1.0、2.0、3.0、5.0,矩形荷載面積長寬比m=L/B=1、10,泊松比μ=0.1、0.3、0.5時角點下不同深度n′=z′/B(z′=z-h,為從矩形面積荷載角點下起算至計算點的距離)的附加應力系數(shù)變化曲線(見圖3)。每一幅圖表示了不同的埋深比(即基礎埋深與寬度之比k=h/B)下,m分別為1和10(代表矩形基礎和近似代表條形基礎兩種極端情況)時,泊松比μ對分析結(jié)果的影響。從每幅圖中都可以看出,分析曲線大致聚類為2個簇,每簇分別代表了m對于1和10的情況。每簇3條曲線內(nèi)部,則是μ等于0.1、0.3和0.5造成的差別。可以看出,不同的泊松比僅僅在k值較大時,比如基礎埋深達到寬度的2倍,且在基礎下一定深度范圍內(nèi),有一定影響。即當k=1～2時,泊松比從0.1變到0.5(一般土體的變化不會這樣大),影響程度在10%之內(nèi)。對于大多數(shù)情況,取μ=0.3進行實用表格的計算,誤差完全滿足一般工程要求。實際上,葉果洛夫法的處理方式也是如此。4.2應力系數(shù)的與布氏解的比較為了比較荷載作用在不同深度時,采用明氏與布氏兩種方法計算角點下附加應力系數(shù)的不同,我們可以根據(jù)(4)式計算求得μ=0.3、不同長寬比矩形面積荷載作用在深度k=h/B=0.3、0.5、1.0、2.0、3.0、5.0時,角點下不同深度處的明氏應力系數(shù)并與布氏解進行比較(限于篇幅,此處不再列出),可以得出以下的規(guī)律:1)采用布氏解求得的應力系數(shù)大于采用明氏解所求得的結(jié)果。當荷載作用面距地面較淺(或基礎埋深較淺)時,二者之間的差別不大,可近似看作相等,采用布氏解求解不會帶來很大的差別。k=h/B=0.3和0.5時,角點下基礎與地基的接觸面附近,兩種解的差別不會大于7%。隨著作用深度的增加,比如k=h/B大于0.5時,二者之間的差別將增大很多。對于矩形基礎,差別可達到20%左右。當k=h/B達到5時(這種條件在樁基礎中會遇到),明氏解的應力只有布氏解的二分之一。2)當荷載作用深度一定,或基礎埋深一定時,角點下不同深度處明氏解與布氏解的差別隨深度的增加而減小,二者間的差別在角點附近處最大。在基礎下,相當于4～5倍基礎寬度的深度上,二者的差別可以忽略,最終趨于一致。4.3應力系數(shù)分布曲線下面以埋深比k=h/B=3為例,對矩形基礎中心點下應力系數(shù)的明氏解與布氏解分布進行比較見圖4?；A中心線左側(cè)為中心點下布氏應力系數(shù)分布曲線,右側(cè)為明氏應力系數(shù)分布曲線,兩側(cè)由內(nèi)到外5條曲線依次表示基礎中心點下2B深度范圍內(nèi),長寬比m=1、2、3、4、10時的分布曲線。從圖中可以看出,當k=3時,明氏應力系數(shù)明顯小于布氏應力系數(shù),只有布氏應力系數(shù)的50%左右。如果