一類廣義傾斜模的刻畫

一類廣義傾斜模的刻畫

1的治療和最佳治療在文獻(xiàn)中的應(yīng)用是左右和左右的自內(nèi)射維數(shù)。以下問題仍然提供。問題ΛΛ的極小內(nèi)射分解最后項的基座是非零的嗎?如果Λ是Artin的,則回答顯然是肯定的.Hoshino在文獻(xiàn)[1,定理4.5]中證明了,當(dāng)Λ的左、右自內(nèi)射維數(shù)均不大于2時,回答也是肯定的.設(shè)Λ是一個Auslander-Gorenstein環(huán).Fuller和Iwanaga在文獻(xiàn)[2,命題1.1]中證明了該問題的回答仍是肯定的;在這種情形下,Iwanaga和Sato在文獻(xiàn)[3,定理6]中進(jìn)一步證明了ΛΛ的極小內(nèi)射分解最后項的基座是本質(zhì)的.在本文中,我們也將研究這個公開問題并給出其部分回答.作為Auslander’sk-Gorenstein環(huán)的一個自然推廣,我們在文獻(xiàn)中引入了k-Gorenstein模的概念,使得一個左、右Noether環(huán)Λ是k-Gorenstein的當(dāng)且僅當(dāng)它作為Λ-模是kGorenstein的,并且k-Gorenstein模的刻畫與k-Gorenstein環(huán)的刻畫是非常類似的(見文獻(xiàn)).受上述結(jié)論的啟發(fā),在本文中,我們將證明如下結(jié)論.定理設(shè)Λ和Γ均是左、右Noether環(huán),ΛU是一個廣義傾斜模且Γ=End(ΛU).對非負(fù)整數(shù)k,如果ΛU是(k-2)-Gorenstein的且ΛU和UΓ的內(nèi)射維數(shù)均是k,則ΛU的極小內(nèi)射分解最后項的基座是非零的.為了證明上面的定理,我們將證明,存在N∈modΓop,使得ExtΓk(N,U)=0且ExtΓk(N,U)的任意單的商模都能嵌入到ΛU的極小內(nèi)射分解的最后項.作為上面定理的直接結(jié)論,我們有,如果Λ是一個左、右自內(nèi)射維數(shù)均為k的(k-2)-Gorenstein環(huán),則ΛΛ的極小內(nèi)射分解最后項的基座是非零的.這一結(jié)論推廣了上面的Hoshino和Fuller-Iwanaga的結(jié)果.進(jìn)一步在本文的最后,我們證明了,如果Λ是一個左、右自內(nèi)射維數(shù)均為k的左擬(k-2)-Gorenstein環(huán),則上面提到的結(jié)論仍是成立的.2k-goensenink-gohensent在本節(jié)中,我們給出一些定義和文中常用的事實.設(shè)Λ是一個環(huán).我們用modΛ表示由所有有限生成左Λ-模組成的模范疇,用ModΛ表示由所有左Λ-模組成的模范疇.定義2.1稱ΛU∈modΛ是一個廣義傾斜模,如果ΛU是自正交的(即,對任意i1ExtΛi(ΛU,ΛU)=0),且有如下正合列:0→ΛΛ→U0→U1→···→Ui→···使得,(1)所有Ui都同構(gòu)于ΛU的有限直和的直和項,(2)該序列用函子HomΛ(·,U)作用后仍正合.設(shè)Λ和Γ是環(huán).稱雙模ΛTΓ是忠實平衡的,如果Λ=End(TΓ)且Γ=End(ΛT);稱ΛTΓ是自正交的,如果對任意i1,ExtΛi(ΛT,ΛT)=0且ExtΓi(TΓ,TΓ)=0.對ΛU∈modΛ和U?！蕀odΓop的雙模ΛUΓ,由文獻(xiàn)[6,推論3.2]知,ΛUΓ是忠實平衡且自正交的當(dāng)且僅當(dāng)ΛU是廣義傾斜的且Γ=End(ΛU),當(dāng)且僅當(dāng)UΓ是廣義傾斜的且Λ=End(UΓ).設(shè)U,A∈modΛ(或modΓop)且i是一個非負(fù)整數(shù).我們稱A相對于U的級數(shù)不小于i,記為gradeUAi,如果對任意0j<i,ExtΛj(A,U)=0(或ExtΓj(A,U)=0).稱A相對于U的強(qiáng)級數(shù)不小于i,記為s.gradeUAi,如果對A的任意子模B,gradeUBi(見文獻(xiàn)).定義2.2設(shè)k是一個非負(fù)整數(shù),U∈modΛ且Γ=End(ΛU).稱U是k-Gorenstein的,如果對任意N∈modΓop和1ik,s.gradeUExtΓi(N,U)i.類似地可在modΓop中定義k-Gorenstein模.對任意T∈ModΛ(或ModΛop),我們用add-limΛT(或add-limTΛ)表示由所有同構(gòu)于ΛT(或TΛ)的有限直和的正向極限的直和項的模組成的ModΛ(或ModΛop)的全子范疇.定義2.3設(shè)Λ是一個環(huán)且T∈ModΛ.對任意A∈ModΛ,如果存在ModΛ中的正合列···→Tn→···→T1→T0→A→0,使得對任意i0,Ti∈add-limΛT,則我們定義T-lim.dimΛ(A)=inf{n|存在ModΛ中的正合列0→Tn→···→T1→T0→A→0,使得對任意0in,Ti∈add-limΛT}.如果這樣的整數(shù)不存在,則記T-lim.dimΛ(A)=∞對Λop-模,可類似地定義這樣的維數(shù).從現(xiàn)在起,Λ和Γ均是左、右Noether環(huán),ΛU是一個廣義傾斜模且Γ=End(ΛU).總假設(shè)0→ΛU→E0→E1→···→Ei→···是ΛU的一個極小內(nèi)射分解,且0→U?！鶨0→E1→···→Ei→···是UΓ的一個極小內(nèi)射分解.下面的結(jié)果給出了k-Gorenstein模的一些等價刻畫,其中,(1)和(1)的等價性見文獻(xiàn)[6,定理7.5],其余部分則包含在文獻(xiàn)[5,定理II]中.定理2.4設(shè)k是一個非負(fù)整數(shù).則下列陳述等價.(1)ΛU是k-Gorenstein的.(2)對任意0ik-1,U-lim.dimΛ(Ei)i.(3)對任意0ik-1,ExtΓi(ExtΛi(·,U),U)保持modΛ中的單同態(tài).(1)UΓ是k-Gorenstein的.(2)對任意0ik-1,U-lim.dimΓ(Ei)i.(3)對任意0ik-1,ExtΛi(ExtΓi(·,U),U)保持modΓop中的單同態(tài).稱一個左、右Noether環(huán)Λ是Auslander’sk-Gorenstein的,如果對任意1ik,ΛΛ的極小內(nèi)射分解的第i項的平坦維數(shù)不大于i-1.注意到,如果令ΛT=ΛΛ(或TΛ=ΛΛ)則定義2.3中所定義的維數(shù)就是模的平坦維數(shù).于是由定理2.4知,Λ是一個k-Gorenstein環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)它作為Λ-模是k-Gorenstein的.設(shè)A∈modΛ(或modΓop).稱HomΛ(A,ΛUΓ)(或HomΓ(A,ΛUΓ))是A相對于U的對偶模,并記為A*.對Λ-模(或Γop-模)之間的同態(tài)f,記f*=Hom(f,ΛUΓ).用σA:A→A**表示典范賦值同態(tài),其中σA是這樣定義的:對任意x∈A和f∈A*,σA(x)(f)=f(x).稱A是U-無撓的(或U-自反的),如果σA是一個單同態(tài)(或同構(gòu)).在ΛU是廣義傾斜的且Γ=End(ΛU)(更一般地,ΛUΓ是忠實平衡的)的條件下,易知modΛ(或modΓop)中的任意投射模都是U-自反的.下面結(jié)果中的前三個陳述是文獻(xiàn)[8,定理4.7]中部分結(jié)果的U-對偶形式.定理2.5(見[5,定理5.4])設(shè)k是一個非負(fù)整數(shù).則下列陳述等價.(1)對任意1ik和N∈modΓop,s.gradeUExtΓi+1(N,U)i.(2)對任意0ik-1,U-lim.dimΛ(Ei)i+1.(3)對任意1ik和M∈modΛ,gradeUExtΛi(M,U)i.(4)對任意0ik-1,ExtΓi(ExtΛi(·,U),U)保持modΛ中的單同態(tài)X→Y,其中X和Y均是U-無撓的.如果上述等價條件之一成立,則稱ΛU是一個擬k-Gorenstein模.類似地可定義UΓ是一個擬k-Gorenstein模.注正如文獻(xiàn)中指出的那樣,與k-Gorenstein模不同的是,擬k-Gorenstein模不是左-右對稱的.引理2.6(見[4,引理2.2])設(shè)k是一個非負(fù)整數(shù).對M∈modΛ,如果gradeUMk且gradeUExtΛk(M,U)k+1,則ExtΛk(M,U)=0.引理2.7(見[7,引理2.7])下列陳述等價.(1)對任意M∈modΛ,gradeUExtΛ2(M,U)1.(2)對任意M∈modΛ,M*是U-自反的.(1)對任意N∈modΓop,gradeUExtΓ2(N,U)1.(2)對任意N∈modΓop,N*是U-自反的.設(shè)M∈modΛ且是M的一個有限生成投射表示.則有正合列:其中X=Cokerf*.引理2.8(見[9,引理2.1])設(shè)M和X如上.則有如下兩個正合列:設(shè)M和X如上.對非負(fù)整數(shù)k,稱M是U-k-撓自由的,如果對任意1ik,ExtΓi(X,U)=0.稱M是U-k-合沖的,如果存在正合列0→M→X0→X1→···→Xk-1,其中所有的Xi∈addΛU,這里addΛU表示由所有同構(gòu)于ΛU的有限直和的直和項的模組成的modΛ的全子范疇.令ΛUΓ=ΛΛΛ,則在這種情形下,U-k-撓自由模和U-k-合沖模分別就是文獻(xiàn)中定義的k-撓自由模和k-合沖模.由引理2.8易知,modΛ中的一個模是U-無撓的(或U-自反的)當(dāng)且僅當(dāng)它是U-1-撓自由的(或U-2-撓自由的).類似地可在modΓop中定義U-k-撓自由模和U-k-合沖模.我們用TUk(modΛ)(或TUk(modΓop))和?Uk(modΛ)(或?Uk(modΓop))分別表示由所有U-k-撓自由模和U-k-合沖模組成的modΛ(或modΓop)的全子范疇.由文獻(xiàn)知,TUk(modΛ)??Uk(modΛ)且TUk(modΓop)??Uk(modΓop).在下面的結(jié)果中,(1)和(1)的等價性見文獻(xiàn)[4,引理3.3],后面的結(jié)論則包含在文獻(xiàn)[7,定理3.1]中.引理2.9設(shè)k是一個非負(fù)整數(shù).則下列陳述等價.(1)對任意M∈modΛ和1ik-1,gradeUExtΛi+1(M,U)i.(1)對任意N∈modΓop和1ik-1,gradeUExtΓi+1(N,U)i.如果上述等價條件之一成立,則對任意1ik,?Ui(modΛ)=TUi(modΛ)且?Ui(modΓop)=TiU(modΓop).下面的結(jié)果給出了k-合沖模是U-k-合沖模的一個充分條件.引理2.10(1)如果ΛU是擬(k-1)-Gorenstein的,則modΓop中的任意k-合沖模都在?Uk(modΓop)中.(1)如果UΓ是擬(k-1)-Gorenstein的,則modΛ中的任意k-合沖模都在?Uk(modΛ)中.證明當(dāng)k=0時結(jié)論顯然成立.由于Γ是U-自反的(當(dāng)然是U-1-合沖的),因此易知modΓop中的任意1-合沖模都是U-1-合沖的.故當(dāng)k=1時結(jié)論成立.現(xiàn)設(shè)k2.如果ΛU是擬(k-1)-Gorenstein的,則由定理2.5知,對任意N∈modΓop和1ik-1,s.gradeUExtΓi+1(N,U)i.于是由文獻(xiàn)[4,引理3.2]的對稱結(jié)果知,modΓop中的任意k-合沖模都在?Uk(modΓop)中.這樣就證明了(1).類似地可證(1).3證明定理3.2—主要結(jié)果對Λ-模(或Γop-模)X,我們用l.idΛ(X)(或r.idΓ(X))表示它的左(或右)內(nèi)射維數(shù).下面,k是一個非負(fù)整數(shù).在本節(jié)中,我們證明如下定理,這也是本文的主要結(jié)果.定理3.1如果ΛU是(k-2)-Gorenstein的且l.idΛ(U)=r.idΓ(U)=k,則Soc(Ek)=0這里Soc(Ek)是Ek的基座.我們用0→ΛΛ→I0→I1→···→Ii→···表示ΛΛ的一個極小內(nèi)射分解.Hoshino在文獻(xiàn)[1,定理4.5]中證明了,如果l.idΛ(Λ)=r.idΛ(Λ)=k2,則Soc(Ik)=0.稱Λ是一個Auslander-Gorenstein環(huán),如果對任意k,Λ是一個k-Gorenstein環(huán)且l.idΛ(Λ)=r.idΛ(Λ)<∞.Fuller和Iwanaga在文獻(xiàn)[2,命題1.1]中證明了,如果Λ是一個Auslander-Gorenstein環(huán)且l.idΛ(Λ)=r.idΛ(Λ)=k,則Soc(Ik)=0(事實上,在這種情形下,Iwanaga和Sato在文獻(xiàn)[3,定理6]中證明了Soc(Ik)在Ik中是本質(zhì)的).由定理3.1可得下面的推論,它推廣了上面的Hoshino和Fuller-Iwanaga的結(jié)果.推論3.2如果Λ是一個(k-2)-Gorenstein環(huán)且l.idΛ(Λ)=r.idΛ(Λ)=k,則Soc(Ik)=0下面我們來證明定理3.1.我們從下面的結(jié)果開始,它是文獻(xiàn)[1,引理4.2]的U-對偶形式.引理3.3設(shè)n是一個正整數(shù).如果l.idΛ(U)=r.idΓ(U)n,則對任意N∈modΓopgradeUExtΓn(N,U)1;進(jìn)一步,如果n2,則gradeUExtΓn(N,U)2.證明設(shè)N∈modΓop且···→Qi→···→Q1→Q0→N→0是N的一個有限生成投射分解.令X=Coker(Q*n-1→Qn*).因為r.idΓ(U)n,所以由引理2.8可得如下正合列:于是可得如下正合列:因為Qn和Qn-1均是U-自反的,于是易知X*～=Ker(Qn→Qn-1).又因為r.idΓ(U)n,所以對任意i1,ExtΓi(X*,U)=0且我們得到modΛ中的正合列:其中,對任意in+1,Qi*∈addΛU.因為l.idΛ(U)n,所以對任意i1,ExtΛi(X**,U)=0由文獻(xiàn)[10,定理20.14]知,σX*是滿的.因此由正合列(2)可得,[ExtΓn(N,U)]*=0,即gradeUExtnΓ(N,U)1.令Y=Coker(Qn→Qn-1).如果n2,則Y是1-合沖的,從而由引理2.10知Y∈?U1(modΓop),因此σY是單的.于是由引理2.8知,ExtΛ1(X,U)～=KerσY=0.故由正合列(2)可得,ExtΛ1(ExtΓn(N,U),U)=0,從而gradeUExtΓn(N,U)2.下面的結(jié)果是引理3.3的一個推廣.引理3.4如果l.idΛ(U)=r.idΓ(U)=k且對任意N∈modΓop和1ik-2gradeUExtΓi+1(N,U)i,則對任意N∈modΓop,gradeUExtΓk(N,U)k.證明當(dāng)k=0時結(jié)論是顯然的.當(dāng)k=1,2時,由引理3.3知結(jié)論成立.現(xiàn)設(shè)k3,N∈modΓop且···→Qi→···→Q1→Q0→N→0是N的一個有限生成投射分解.令X=Coker(Q*k-1→Qk*).則用與證明引理3.3相同的方法可得如下正合列:因為對任意N∈modΓop和1ik-2,gradeUExtΓi(N,U)i,所以由引理2.9知,對任意1ik-1,?Ui(modΓop)=TUi(modΓop).注意到Coker(Qk→Qk-1)是(k-1)-合沖的于是由引理2.10知,它在?Uk-1(modΓop)中.因此Coker(Qk→Qk-1)∈TUk-1(modΓop),從而對任意1ik-1,ExtΛi(X,U)=0.另一方面,用與證明引理3.3相同的方法可得,對任意i1,ExtΛi(X**,U)=0且σX*是滿的.于是由正合列(3)導(dǎo)出的長正合列易知,gradeUExtΓk(N,U)k.引理3.5對任意單的Λ-模S和i0,HomΛ(S,Ei)～=ExtΛi(S,U).證明易證.對A∈modΛ,如果對任意非負(fù)整數(shù)i,gradeUAi,則記gradeUA=∞.下面的結(jié)果是文獻(xiàn)[1,定理4.5]的U-對偶形式.引理3.6如果l.idΛ(U)=r.idΓ(U)=k2,則Soc(Ek)=0.證明如果k=0,則由文獻(xiàn)[9,命題2.8]知,E0是modΛ的一個嵌入內(nèi)射余生成元因此Soc(E0)=0.如果k=1,則存在N∈modΓop,使得ExtΓ1(N,U)=0.設(shè)S是ExtΓ1(N,U)的任意單的商模.由引理3.3知,gradeUExtΓ1(N,U)1,從而S*=0.假設(shè)ExtΛ1(S,U)=0注意到l.idΛ(U)=1,所以gradeUS=∞,于是由文獻(xiàn)[9,推論2.5]知,S=0,矛盾.故ExtΛ1(S,U)=0.于是由引理3.5知,HomΛ(S,E1)=0,從而S同構(gòu)于E1的一個子模,故Soc(E1)=0.如果k=2,則存在N∈modΓop,使得ExtΓ2(N,U)=0.設(shè)X是ExtΓ2(N,U)的一個極大子模且0→X→ExtΓ2(N,U)→S→0是modΛ中的一個正合列.則S是單的.由引理3.3知,gradeUExtΓ2(N,U)2,所以S*=0且ExtΛ1(S,U)～=X*.設(shè)是S的一個有限生成投射表示.令Y=Coker(P0*→P1*).則由引理2.8可得正合列:由引理3.3的對稱結(jié)果知,對任意M∈modΛ和1i2,gradeUExtΛi(M,U)i于是由文獻(xiàn)[7,命題4.3]的對稱結(jié)果知,TU2(modΓop)(={modΓop中的U-自反模})是擴(kuò)張閉的(即,如果有modΓop中的正合列0→A→B→C→0且A,C∈TU2(modΓop),則B∈TU2(modΓop)).另一方面,由引理2.7知,ExtΛ1(S,U)(～=X*)和Y**均是U-自反的.因此,如果ExtΛ2(S,U)=0,則由正合列(4)知,Y也是U-自反的,從而ExtΛ1(S,U)=0.注意到l.idΛ(U)=2,所以我們實際上有g(shù)radeUS=∞.于是由文獻(xiàn)[9,推論2.5]知,S=0,矛盾故ExtΛ2(S,U)=0,于是由引理3.5知,HomΛ(S,E2)=0,從而S同構(gòu)于E2的一個子模,故Soc(E2)=0.定理3.7如果ΛU是擬(k-2)-Gorenstein的,l.idΛ(U)=r.idΓ(U)=k且modΛ中任意(k-2)-合沖模都是U-(k-2)-合沖的,則Soc(Ek)=0.證明當(dāng)k2時,由引理3.6知結(jié)論成立.現(xiàn)設(shè)k3.因為r.idΓ(U)=k,所以存在N∈modΓop,使得ExtΓk(N,U)=0.設(shè)X是ExtΓk(N,U)的一個極大子模且是modΛ中的一個正合列.則S是單的.因為ΛU是擬(k-2)-Gorenstein的,所以由定理2.5知,對任意1ik-2s.gradeUExtΓi+1(N,U)i.于是s.gradeUExtΓk(N,U)k-2,從而gradeUXk-2.另一方面,由引理3.4知,gradeUExtΓk(N,U)k.于是由正合列(5)知,gradeUSk-1.設(shè)···→Pi→···→P1→P0→S→0是S的一個有限生成投射分解.我們斷言:ExtΛk(S,U)=0.否則,如果ExtΛk(S,U)=0,則由引理2.8可得正合列:其中H=Coker(P*k-2→P*k-1).因為ΛU是擬(k-2)-Gorenstein的,所以由定理2.5知,對任意M∈modΛ和1ik-2,gradeUExtΛi(M,U)i.由引理2.9知,對任意1ik-1,?Ui(modΛ)=TUi(modΛ)注意到Coker(Pk-1→Pk-2)是一個(k-2)-合沖模,于是由假設(shè)知,它在?Uk-2(modΛ)中從而在TUk-2(modΛ)中.因此對任意1ik-2,E