基于相關(guān)性的隨機性公積金評估方法研究

基于相關(guān)性的隨機性公積金評估方法研究

保證金評估隨機性方法目前，國際數(shù)學(xué)理論和實踐中，準(zhǔn)備評估的隨機性方法取得了很大進展。隨機性方法為確定組合營地的負(fù)荷估算的適應(yīng)性、最佳預(yù)備配置和范圍估算提供了重要的理論基礎(chǔ)。關(guān)于這方面的文獻可以參考Renshaw等,Taylor,Taylor等,England,England等,Schmidt。特別指出的是,Wüthrich等作為國際上第一本系統(tǒng)介紹準(zhǔn)備金評估隨機性方法的專著,受到著名精算專家Bühlmann的高度評價。在我國保險業(yè),一方面為了借鑒國外最新的精算技術(shù),另一方面為了在保險業(yè)中實施新會計準(zhǔn)則,保監(jiān)會財務(wù)會計部于2010年1月圍繞非壽險保險合同準(zhǔn)備金計量方法舉辦了系列培訓(xùn),鼓勵保險公司采用準(zhǔn)備金評估隨機性方法。之后,我國部分保險公司開始了準(zhǔn)備金評估隨機性方法的探索研究,關(guān)于這方面的研究可以參考張連增,本書是國內(nèi)第一本系統(tǒng)介紹準(zhǔn)備金評估隨機性模型與方法的專著,基本涵蓋了當(dāng)前國際精算研究中未決賠款準(zhǔn)備金評估隨機性模型與方法的各個分支。在國內(nèi)外的研究中,一般采用預(yù)測均方誤差(MeanSquaredErrorofPrediction,MSEP)描述準(zhǔn)備金估計的波動性。MSEP包含參數(shù)估計誤差與過程方差兩部分,其中過程方差的處理相對簡單,比較復(fù)雜的是參數(shù)估計誤差的處理。當(dāng)前,統(tǒng)計軟件的普及和計算技術(shù)的快速發(fā)展,為數(shù)值模擬準(zhǔn)備金負(fù)債的參數(shù)估計誤差提供了技術(shù)支持。一方面,在多數(shù)情況下,參數(shù)估計誤差的解析計算比較復(fù)雜,不如隨機模擬方法直接方便。另一方面,隨機模擬結(jié)果也可以作為驗證解析計算的一種途徑。這里隨機模擬的核心技術(shù)是Bootstrap方法,它已經(jīng)成為統(tǒng)計學(xué)中的基本工具之一。關(guān)于Bootstrap方法的參考書見Davison等。然而,MSEP只考慮了準(zhǔn)備金估計的一階矩和二階矩,對準(zhǔn)備金的波動性度量還不是很充分,作為深入研究,張連增等針對通常使用的評估方法,在估計準(zhǔn)備金的MSEP的基礎(chǔ)上,進一步得到了準(zhǔn)備金完整的預(yù)測分布,這些研究為精算人員更合理地決策提供了透明性和可操作性。在各種準(zhǔn)備金評估方法中,準(zhǔn)備金進展法同時考慮了已決賠款數(shù)據(jù)和已報案賠款數(shù)據(jù),不但充分利用了保險公司歷史數(shù)據(jù)中所包含的兩類賠款數(shù)據(jù)信息,而且有效避免了分別采用兩類賠款數(shù)據(jù)估計的最終損失(UL)之間的差異。鑒于此,本文提出了考慮相關(guān)性的隨機性準(zhǔn)備金進展法,模擬了UL、未決賠款準(zhǔn)備金(CV)、已發(fā)生未報案未決賠款準(zhǔn)備金(IBNR)的預(yù)測分布,并通過精算實務(wù)中的數(shù)值實例,應(yīng)用R軟件加以實證分析。本文的研究對我國保險公司在準(zhǔn)備金評估中引入隨機性方法,具有重要的理論意義和實踐價值。準(zhǔn)備法的不足和改進1、試驗結(jié)果的轉(zhuǎn)換假設(shè)事故年和進展年的年數(shù)都為n,以Pi,j表示事故年i在第j個進展年的累計已決賠款,Xip,j表示事故年i在第j個進展年的增量已決賠款,Ii,j表示事故年i在第j個進展年的累計已報案賠款,XiI,j表示事故年i在第j個進展年的增量已報案賠款,相應(yīng)地可定義不同的流量三角形(i≥1,j≥1,i+j≤n+1)。另外,事故年i在第j個進展年的已發(fā)生已報案未決賠款準(zhǔn)備金記為RVi,j=Ii,j-Pi,j,也可類似定義流量三角形。準(zhǔn)備金進展法的基本思想是考察已發(fā)生已報案未決賠款準(zhǔn)備金的進展情況。事故年i在第j個進展年的已發(fā)生已報案未決賠款準(zhǔn)備金RVi,j在下一進展年j+1一部分轉(zhuǎn)化為下一進展年的增量已決賠款Xip,j+1,另一部分仍為下一進展年已報案未決賠款準(zhǔn)備金RVi,j+1的一部分(1)。對于轉(zhuǎn)化為已決賠款的部分,用準(zhǔn)備金支付率(POi,j→j+1比率)表示,對于仍在已報案未決賠款準(zhǔn)備金的部分,用準(zhǔn)備金結(jié)轉(zhuǎn)率(COi,j→j+1比率)表示。引入準(zhǔn)備金進展率(CEDi,j→j+1比率),則有CEDi,j→j+1=COi,j→j+1+POi,j→j+1。然而,在準(zhǔn)備金進展法中,對于所有事故年i,進展年j都選定相同的支付率、結(jié)轉(zhuǎn)率,不能體現(xiàn)不同事故年已報案未決賠款準(zhǔn)備金的進展情況之間的差異。針對這一不足,可以利用累計已決賠款數(shù)據(jù)和累計已報案賠款數(shù)據(jù)的相關(guān)性來調(diào)整各個進展年的支付率和結(jié)轉(zhuǎn)率。其基本思路是,對于給定的累計已決賠款數(shù)據(jù)和累計已報案賠款數(shù)據(jù),如果發(fā)現(xiàn)上三角的單個支付率POi,j→j+1、單個結(jié)轉(zhuǎn)率COi,j→j+1與(P/I)i,j比率(2)(i≥1,j≥1,i+j≤n)之間存在某種關(guān)系(如線性關(guān)系),那么就要利用這種關(guān)系,對下三角的單個支付率、單個結(jié)轉(zhuǎn)率進行調(diào)整。具體來說,以吳小平中的累計已決賠款和累計已報案賠款流量三角形數(shù)據(jù)為例,分別得到上三角數(shù)據(jù)中,支付率POi,j→j+1與(P/I)i,j比率、結(jié)轉(zhuǎn)率COi,j→j+1與(P/I)i,j比率的散點圖及相應(yīng)的線性趨勢線,如圖1和圖2所示。從圖1和圖2可以看出,精算師在使用準(zhǔn)備金進展法評估時,如果發(fā)現(xiàn)累計已決賠款和累計已報案賠款數(shù)據(jù)存在一定的規(guī)律,使得支付率、結(jié)轉(zhuǎn)率與P/I比率之間存在某種穩(wěn)定的線性關(guān)系,那么在預(yù)測下三角數(shù)據(jù)時,可以有效利用這種相關(guān)性,進而更合理地評估準(zhǔn)備金。2、模型設(shè)計及估計(1)利用給定的按事故年統(tǒng)計的累計已決賠款和累計已報案賠款流量三角形得到已發(fā)生已報案未決賠款準(zhǔn)備金的流量三角形。即:(2)將給定的按事故年統(tǒng)計的累計已決賠款和累計已報案賠款流量三角形轉(zhuǎn)化為增量已決賠款和增量已報案賠款流量三角形。即:(3)把事故年i在第j+1個進展年的增量已決賠款除以事故年i在第j個進展年的已發(fā)生已報案未決賠款準(zhǔn)備金,得到準(zhǔn)備金支付率的流量三角形。即:(4)把事故年i在第j+1個進展年的已發(fā)生已報案未決賠款準(zhǔn)備金除以事故年i在第j個進展年的已發(fā)生已報案未決賠款準(zhǔn)備金,得到準(zhǔn)備金結(jié)轉(zhuǎn)率的流量三角形。即:(5)定義事故年i在第j個進展年的(P/I)比率為:(6)分別建立POi,j→j+1與(P/I)i,j、COi,j→j+1與(P/I)i,j(i≥1,j≥1,i+j≤n)的一元線性回歸模型。利用通常的最小二乘估計(OLS)法估計模型的回歸參數(shù),得到:其中(7)對于事故年i,利用步驟6得到的模型參數(shù),先估計再按照準(zhǔn)備金進展法的定義,逐步遞歸計算:這里,i≥2,j≥1,i+j≥n+1。最終可以得到UL、CV和IBNR的估計值:考慮到相關(guān)因素的隨機性準(zhǔn)備階段法1、計算已關(guān)合的增長參數(shù)的確定的計算考慮相關(guān)性的準(zhǔn)備金進展法雖然考慮了已決賠款數(shù)據(jù)和已報案賠款數(shù)據(jù)之間的關(guān)系,但它仍然是一種確定性方法,從而只能得到準(zhǔn)備金的均值估計,而不能得到準(zhǔn)備金的波動性度量。鑒于此,可結(jié)合兩類賠款數(shù)據(jù)的相關(guān)性給出合理的分布假設(shè),進而模擬UL、CV和IBNR的預(yù)測分布。其具體步驟為:(1)將累計已決賠款數(shù)據(jù)Pi,j和累計已報案賠款數(shù)據(jù)Ii,j轉(zhuǎn)化為增量已決賠款數(shù)據(jù)XiP,j和增量已報案賠款數(shù)據(jù)XiI,j(i≥1,j≥1,i+j≤n+1)。(2)構(gòu)造殘差。這里對上三角增量數(shù)據(jù)以列為研究對象,求每列數(shù)據(jù)的樣本均值XjP和XjI、樣本標(biāo)準(zhǔn)差sjP和sjI,對每列數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化,得到構(gòu)造的殘差的流量三角形分別為:(3)對兩類殘差進行調(diào)整(3),構(gòu)造調(diào)整后殘差的二元正態(tài)分布。其中,相關(guān)系數(shù)的計算公式為:這里,有上撇的殘差表示調(diào)整后的殘差。(4)從構(gòu)造的二元正態(tài)分布中抽取隨機數(shù),得到兩類調(diào)整后殘差的流量三角形,其后按照式(13)進行變換,得到擬合的兩類增量賠款流量三角形,進而得到擬合的兩類累計賠款流量三角形。(5)按照前面介紹的考慮相關(guān)性的準(zhǔn)備金進展法的主要步驟,得到UL、CV和IBNR的均值估計。(6)計算擬合賠款數(shù)據(jù)中,各進展年支付率、結(jié)轉(zhuǎn)率的均值、標(biāo)準(zhǔn)差,其計算公式為:這里,上三角單個支付率和結(jié)轉(zhuǎn)率由擬合數(shù)據(jù)流量三角形(i≥1,j≥1,i+j≤n)計算,下三角單個支付率和結(jié)轉(zhuǎn)率(i≥2,j≥1,i+j≥n+1)是從步驟5的估計中得到的。(7)現(xiàn)在,可以從均值為標(biāo)準(zhǔn)差為sPOj→j+1的正態(tài)分布中抽取隨機數(shù),得到模擬的單個支付率的下三角(i≥2,j≥1,i+j≥n+1),從均值為標(biāo)準(zhǔn)差為sCOj→j+1的正態(tài)分布中抽取隨機數(shù),得到模擬的單個結(jié)轉(zhuǎn)率的下三角,進而按照步驟5的做法,便可實現(xiàn)UL、CV和IBNR的預(yù)測分布的一次模擬。(8)重復(fù)步驟(4)-(7),即可以得到UL、CV和IBNR的預(yù)測分布,進而可以由該分布得到均值、標(biāo)準(zhǔn)差、分位數(shù)等相關(guān)的分布特征。2、多次模擬的過程方差MSEP包括參數(shù)估計誤差和過程方差兩部分。在上述考慮相關(guān)性的隨機性準(zhǔn)備金進展法模擬預(yù)測分布的過程中,同時也可以得到UL、CV和IBNR的參數(shù)估計誤差。其中,CV的參數(shù)估計誤差就是多次模擬的未決賠款準(zhǔn)備金估計值的樣本方差。同時,通過從下三角支付率、結(jié)轉(zhuǎn)率的正態(tài)分布的假設(shè)中抽取隨機數(shù)的過程已經(jīng)體現(xiàn)了過程方差。但既然可以直接模擬出UL、CV和IBNR的預(yù)測分布,且預(yù)測分布作為完整的分布,包含了更充分的信息,使得過程方差的估計變得并不那么重要。3、基于多元正態(tài)分布的殘差調(diào)整(1)殘差的處理。A.對角線上端點數(shù)據(jù)的特殊處理由式(13)構(gòu)造殘差的定義,可以看出兩類增量數(shù)據(jù)中,第n個進展年只有一個數(shù)據(jù),其均值就是它本身,標(biāo)準(zhǔn)差為0,無法計算對應(yīng)的殘差,這里假設(shè)殘差為0,進而計算調(diào)整后的殘差。B.殘差的調(diào)整在進行模擬時,是對調(diào)整以后的殘差進行再抽樣,而不是對Res(XiP,j)和Res(XiI,j)進行再抽樣。這是因為,理論上標(biāo)準(zhǔn)化后的這兩個殘差的均值應(yīng)為0,方差應(yīng)為1。但是,我們已經(jīng)證明,殘差的均值為0,標(biāo)準(zhǔn)差為此值小于1,因此需要對殘差進行調(diào)整。這里通過對殘差乘以系數(shù)加以調(diào)整,這種調(diào)整使得在均值保持不變的情況下,方差變?yōu)?。所以,最終構(gòu)造的二元正態(tài)分布的邊際分布都是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,協(xié)方差矩陣就是相關(guān)系數(shù)矩陣。(2)隨機性準(zhǔn)備金進展法涉及的相關(guān)性。本文考慮的相關(guān)性涉及以下兩個方面:A.支付率、結(jié)轉(zhuǎn)率與P/I比率的相關(guān)性本文考慮了不同事故年的已發(fā)生已報案未決賠款準(zhǔn)備金的進展情況之間的差異,通過觀察分析單個支付率、結(jié)轉(zhuǎn)率與P/I比率的散點圖,然后建立兩個一元線性回歸模型,來考慮它們之間存在的相關(guān)性。B.兩類增量賠款數(shù)據(jù)的相關(guān)性本文研究了已決賠款和已報案賠款兩類數(shù)據(jù)的相關(guān)性,在利用隨機性準(zhǔn)備金進展法模擬預(yù)測分布的過程中,提出了利用二元正態(tài)分布來處理兩類賠款數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性。從隨機模擬的角度看,這是一種基于特殊多元分布的參數(shù)Bootstrap再抽樣方式。另外,也可以直接通過采用成對殘差樣本數(shù)據(jù)的非參數(shù)Bootstrap再抽樣方式考慮這種相關(guān)性,即將這兩類調(diào)整后殘差流量三角形的對應(yīng)單元格數(shù)值綁定,組成有序數(shù)組,然后成對地抽取。(3)選擇二元正態(tài)分布的原因。在本文的研究中,之所以選擇二元正態(tài)分布,其原因是在多元分布的研究中,正態(tài)分布長期處于主導(dǎo)地位,而且易于數(shù)學(xué)處理。例如,諸如Anderson、Johnson等關(guān)于多元分析的主要參考文獻,都主要關(guān)注于多元正態(tài)分布以及從正態(tài)分布推導(dǎo)出的多元擴展分布,即學(xué)生t分布和Fisher的F分布。多元正態(tài)分布之所以如此吸引人,其原因主要包括:一是多元正態(tài)分布的邊際分布也是正態(tài)分布;二是兩變量的正態(tài)分布可以通過邊際分布和附加參數(shù)———相關(guān)系數(shù)來完整描述。在實證分析和研究結(jié)論1、情感因數(shù)數(shù)據(jù)在發(fā)生業(yè)務(wù)方面的應(yīng)用本文實證分析中的累計已決賠款數(shù)據(jù)和累計已報案賠款數(shù)據(jù)來源于《保險公司非壽險業(yè)務(wù)準(zhǔn)備金評估實務(wù)指南》,如表1和表2所示。這些數(shù)據(jù)在準(zhǔn)備金評估的相關(guān)文獻中被經(jīng)常引用。此處引用這里的數(shù)據(jù)也是為了更好地與以往研究的結(jié)果進行比較。2、考慮相關(guān)性的金融結(jié)構(gòu)估計結(jié)果的模擬結(jié)果下面以數(shù)值實例加以實證分析,按照本文第二、三部分的思路,詳細(xì)給出了由準(zhǔn)備金進展法、考慮相關(guān)性的準(zhǔn)備金進展法的估計結(jié)果;以及兩種不同抽樣方式下,考慮相關(guān)性的隨機性準(zhǔn)備金進展法得到的參數(shù)估計誤差、模擬的預(yù)測分布及相關(guān)的分布特征,這里采用R軟件對其進行算法實現(xiàn)。(1)準(zhǔn)備金進展法的估計結(jié)果為了便于比較,表3給出了準(zhǔn)備金進展法中各進展年的準(zhǔn)備金支付率、結(jié)轉(zhuǎn)率和進展率的最終選定值(4)?；谶@些選定值,表4給出了準(zhǔn)備金進展法得到的UL、CV和IBNR的估計值,其中CV等于UL減去評估日的累計已決賠款P,IBNR等于CV減去RV。(2)考慮相關(guān)性的準(zhǔn)備金進展法的估計結(jié)果按照第二部分給出的考慮相關(guān)性的準(zhǔn)備金進展法,得到的一元線性回歸模型的回歸參數(shù)的估計值(5)分別為:進而按照步驟7進行遞歸計算,得到下三角中各進展年的單個支付率和結(jié)轉(zhuǎn)率,如表5和表6所示。這里,為了更能體現(xiàn)出不同事故年進展情況的差異,表5和表6也給出了上三角中各進展年的單個支付率和結(jié)轉(zhuǎn)率的計算結(jié)果。其中,表5的上三角的單個支付率是按照式(4)計算的,表6的上三角的單個結(jié)轉(zhuǎn)率是按照式(5)計算的。在此基礎(chǔ)上,表7給出了考慮相關(guān)性的準(zhǔn)備金進展法估計的UL、CV和IBNR,其中CV等于UL減去評估日的累計已決賠款P,IBNR等于CV減去RV。(3)考慮相關(guān)性的隨機性準(zhǔn)備金進展法的估計結(jié)果按照第三部分給出的考慮相關(guān)性的隨機性準(zhǔn)備金進展法,下面給出兩種不同抽樣方式下估計的UL、CV和IBNR的參數(shù)估計誤差,以及模擬UL、CV和IBNR的預(yù)測分布的主要過程。A.表8和表9分別給出了調(diào)整后的兩類殘差的流量三角形,其中調(diào)整系數(shù)為B.表10和表11分別給出了基于二元正態(tài)分布隨機抽取的調(diào)整后的殘差樣本。其中,Res′(XiP,j)~N(0,1),Res′(XiI,j)~N(0,1),ρ=0.6687。表12和表13分別給出了基于成對抽數(shù)的非參數(shù)Bootstrap方法隨機抽取的調(diào)整后的殘差樣本。從表12和表13不難看出,這兩類調(diào)整后殘差樣本是成對抽取的。C.表14和表15分別給出了基于二元正態(tài)分布、成對抽數(shù)的非參數(shù)Bootstrap方法兩種抽樣方式下,考慮相關(guān)性的隨機性準(zhǔn)備金進展法估計的UL、CV和IBNR的參數(shù)估計誤差的平方根。為了便于與以往研究的結(jié)果進行比較,表15中也給出了基于過度分散泊松分布的模型假設(shè)下,隨機性準(zhǔn)備金進展法估計的CV的參數(shù)估計誤差的平方根。3、考慮相關(guān)性的隨機性金融資本估計的誤差從上面的數(shù)值實例可以得出以下結(jié)論:(1)估計結(jié)果的一致性。從表14和表15可以看出,在兩種不同的抽樣方式下,考慮相關(guān)性的隨機性準(zhǔn)備金進展法估計的UL、CV和IBNR的參數(shù)估計誤差都很接近,從一定程度上體現(xiàn)了參數(shù)Bootstrap方法和非參數(shù)Bootstrap方法具有一致性。(2)從整體趨勢上講,表14和表15中兩種抽樣方式估計的參數(shù)估計誤差隨著事故年已知信息的減少而增加。舉例來講,從第2事故年到第7事故年,賠款樣本數(shù)據(jù)依次減少,相應(yīng)的UL、CV和IBNR的參數(shù)估計誤差依次增大,該結(jié)論是很直觀的,因為當(dāng)已知信息越少時,估計的誤差就越大,精度也就越低。(3)從表15可以看出,對于單個事故年i,在考慮相關(guān)性情況下,兩種抽樣方式得到的CV的參數(shù)估計誤差都大于未考慮相關(guān)性的基于過度分散的泊松分布的結(jié)果;而考慮所有事故年的結(jié)果則小于后者。這說明,隨著事故年數(shù)的增多,考慮相關(guān)性的加總結(jié)果的波動更小一些。(4)從表14和表15可以看出,對每一種抽樣方式來說,UL、CV和IBNR的參數(shù)估計誤差并不相同。這是因為,本文的兩種抽樣方式都是對兩類增量賠款數(shù)據(jù)的調(diào)整后殘差進行再抽樣,每次擬合的上三角已決賠款和已報案賠款流量三角形都不同,使得每次得到的UL、CV和IBNR的均值估計并非相差同一常數(shù),故相應(yīng)的單個事故年i和所有事故年的參數(shù)估計誤差并不相同。(5)從圖3、圖4和圖5可以看出,對每一種抽樣方式來說,考慮相關(guān)性的隨機性準(zhǔn)備金進展法模擬的預(yù)測分布的圖形形狀都存在差異,而并非簡單的將UL的預(yù)測分布依次向左平移得到CV和IBNR的預(yù)測分布。其原因也是因為每次擬合的上三角已決賠款和已報案賠款流量三角形都不同。與模擬中保持評估日的累計已決賠款P和RV不變的假設(shè)相比,本文的處理更能體現(xiàn)出擬合的已決賠款和已報案賠款流量三角形同時變化的特征,更具有一般性。(6)從表16和表17可以看出,兩種抽樣方式得到的UL、CV和IBNR的預(yù)測分布的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)、各個分位數(shù)等都很接近,也驗證了參數(shù)Bootstrap方法和非參數(shù)Bootstrap方法在模擬預(yù)測分布中的一致性。(7)表16和表17中UL、CV和IBNR的變異系數(shù)依次增大,這是因為UL、CV和IBNR的預(yù)測分布的均值減小的幅度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于標(biāo)準(zhǔn)差減小的幅度。其中,IBNR的變異系數(shù)超過了1,更能說明IBNR的波動性很大,這與實務(wù)中精算人員認(rèn)為IBNR很難準(zhǔn)確評估的結(jié)論不謀而合?；赾opula函數(shù)構(gòu)造的二元分布模型。在理論的理論方面也有借鑒本文的創(chuàng)新之處和方法建議可以概括為:第一,本文創(chuàng)新性地研究了在準(zhǔn)備金評估的隨機性方法中,考慮已決賠款和已報案賠款兩類數(shù)據(jù)相關(guān)性的處理方法。具體地講,在利用隨機性準(zhǔn)備金進展法模擬準(zhǔn)備金的預(yù)測分布的過程中,提出了兩種處理相關(guān)性的方法,一是利用二元正態(tài)分布考慮兩類賠款數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性,這也可以看作是基于特殊多元分布的參數(shù)Bootstrap再抽樣方式;二是通過成對數(shù)據(jù)的非參數(shù)Bootstrap再抽樣方式考慮相關(guān)性。在此基礎(chǔ)上,通過數(shù)值實例對兩種抽樣方式的結(jié)果進行了比較分析,并應(yīng)用R軟件對兩種考慮相關(guān)性的隨機性準(zhǔn)備金進展法進行了完整的編程實現(xiàn)。最后指出,由于二元正態(tài)分布對應(yīng)于一種特殊的Copula函數(shù),故在實務(wù)中,精算人員也可以通過對兩類賠款數(shù)據(jù)的殘差進行分析,選取合適的Copula函數(shù)來構(gòu)造二元分布。第二,基于Copula函數(shù)構(gòu)造的多元分布作為一種度量變量間相依結(jié)構(gòu)的方法,已逐漸被引入到精算學(xué)的理論研究中。在財險公司的索賠數(shù)據(jù)中,損失數(shù)據(jù)往往不服從正態(tài)分布,而且損失和費用之間也不滿足獨立性假設(shè),這可以通過基于Copula函數(shù)構(gòu)造的二元分布來描述這種相關(guān)性,如假設(shè)費用服從對數(shù)正態(tài)分布,索賠損失服從帕累托等厚尾分布。需要指出的是,Co