冪線性空間的刻畫(huà)

冪線性空間的刻畫(huà)

1是料av的非空子集,v又作線性空間近年來(lái)，隨著序列結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的改進(jìn)，代際結(jié)構(gòu)的改進(jìn)引起了越來(lái)越多的人的注意。因此，序列結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和迭代結(jié)構(gòu)的改進(jìn)取得了許多重要成果。例如，在本文中，提出了代際結(jié)構(gòu)的改進(jìn)，在文本中顯示了環(huán)粉絲的改進(jìn)，在文本中顯示了格思的改進(jìn)。設(shè)F是一個(gè)數(shù)域,V為F的線性空間,記P(v)={A|AV},P0(V)=P(V)-Φ.定義1設(shè)Γ是P0(V)的非空子集,如果A,B∈Γ和λ∈,滿足運(yùn)算:而做成線性空間,則稱r為V上的冪線性空間.{0}稱為冪線性空間的零元.注由于Γ是P0(V)的非空子集,所以Γ是V中A這類子空間的集合,但Γ也許含有限個(gè)諸如A這樣的V的子空間,也可以含有無(wú)限個(gè)諸如A這樣的V的子空間,但只要ΓP0(V)并滿足上述兩種運(yùn)算,便可定義Γ為V的冪線性空間.顯然,A是Γ中的元素,并且A是V的子集.定義2數(shù)域F上冪線性空間Γ的一個(gè)非空子集T稱為Γ的一個(gè)冪線性子空間,如果Γ對(duì)于Γ的兩種運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域F上的冪線性空間.事實(shí)上,冪線性空間Γ的非空子集T滿足下面兩個(gè)條件,則Γ是冪線性空間Γ的冪線性子空間.(1)A∈Γ,有λA∈Γ.(2)A,B∈Γ有A+B∈Γ.定理1在冪線性空間中,有單個(gè)的零向量組成的子集,是一個(gè)冪線性子空間,它叫做零冪子空間.Γ中可以有這樣的冪線性子空間,如{{10}}.零冪子空間和冪線性空間本身這兩個(gè)冪子空間叫做平凡冪子空間,而其它的冪線性空間叫做非平凡冪子空間.22的線性范圍定理2如果Γ,,Γ2是冪線性空間Γ的兩個(gè)冪子空間,那么它們的交Γ1∩Γ2也是Γ的冪子空間.證明首先由{0}∈Γ1,{0}∈Γ2可知{0}∈Γ1∩Γ2,顯然Γ1∩Γ2非空.其次,如果A,B∈Γ1∩Γ2,即A,B∈Γ1,A,B∈Γ2A+B∈Γ1,A+B∈+Γ2,因此,A+B∈Γ1∩Γ2.對(duì)數(shù)量乘積可以同樣地證明,所以Γ1∩Γ2是冪線性空間Γ的冪子空間.注這里A+B={α+β|α∈A,β∈B}.Γ1∩Γ2=Γ2∩Γ1(交換律),(Γ1∩Γ2)∩Γ3=Γ1∩(Γ2∩Γ3)(結(jié)合律).定義3設(shè)Γ1,Γ2是冪線性空間Γ的冪子空間,所謂Γ1,Γ2的和是指所有能表示成A1+A2,而A1∈Γ1,A2∈Γ2的向量組成的子集合,記做Γ1,+Γ2.如果Γ1,Γ2是Γ的冪子空間,那么它們的和也是Γ的冪子空間.事實(shí)上,因?yàn)閧0}∈Γ,,{0}∈Γ2,顯然{0}∈Γ1+Γ2,顯然Γ1+Γ2是非空的.其次,如果A,B∈Γ,+Γ2,即A+B=(A1+B1)+(A2+B2).A1+B1∈Γ1,A2+B2∈Γ2.A+B∈Γ1+Γ2,kA=kA1+kA2∈Γ1+Γ2,所以Γ1+Γ2是冪線性空間Γ的冪子空間.定理3(維數(shù)公式)如果Γ1,Γ2是冪線性空間Γ的冪子空間,那么維(Γ1)+維(Γ2)=維(Γ1+Γ2)+維(Γ1∩Γ2).證明設(shè)Γ1,Γ2的維數(shù)分別是n1,n2,Γ1∩Γ2的維數(shù)是m.取Γ1∩Γ2的一組基它可以擴(kuò)充成Γ1的一組基A1,A2,…,Am,B1,…,Bn1-m.A1,A2,…,Am,C1,…,Cn2-m.A1,A2,…,Am,B1,…,Bn1-m,C1,…,Cn2-m.(1)是Γ1+Γ2的一組基,這樣,Γ1+Γ2的維數(shù)就等于n1+n2-m,因而維數(shù)公式成立.因?yàn)棣?=L(A1,A2,…,Am,B1,…,Bn1-m),r2=L(A1,A2,…,Am,C1,…,Cn2-m).Γ1+Γ2=L(A1,A2,…,Am,B1,…,Bn1-m,C1,…,Cn2-m).現(xiàn)在來(lái)證明向量組(1)是線性無(wú)關(guān)的,假設(shè)有等式令由第一個(gè)等式,A∈Γ1,而由第二個(gè)等式看出,A∈Γ2,于是,A∈Γ1∩Γ2,即A可以被線性A1,A2,…,Am表出.令A(yù)=l1A1+l2A2+…+lmAm,則由于A1,A2,…,Am,C1,…,Cn2-m線性無(wú)關(guān),得l1=…=lm=q1=…=qn2-m=0,因而A=0,從而有由于A1,A2,…,Am,B1,…,Bn1m線性無(wú)關(guān),又得這就證明了A1,A2,…,Am,1B,…,Bn1-m,C1,…,Cn2-m線性無(wú)關(guān),因而它是Γ1+Γ2的一組基,故維數(shù)公式成立.推論如果n維冪線性空間Γ中兩個(gè)冪子空間Γ1,Γ2的維數(shù)之和大于n,那么Γ1,Γ2必含有非零的公共向量.證明由假設(shè)維(Γ1)+維(Γ2)=維(Γ1+Γ2)+維(Γ1∩Γ2)>n.但因Γ1+Γ2是Γ的冪子空間,故有維(Γ1+Γ2)≤n,維(Γ1∩Γ2)>0.這就是說(shuō),Γ1∩Γ2中含有非零向量.定義4Γ1,Γ2是冪線性空間Γ的冪子空間.如果和Γ1+Γ2中每個(gè)向量A的分解式A=A1+A2,A1∈Γ1,A2∈Γ2,是唯一的,這個(gè)和就成為直和,記做Γ1⊕Γ2.定理4設(shè)Γ1,Γ2是冪線性空間Γ的冪子空間,和Γ1,Γ2是直和的充要條件是等式A1+A2={0},A1∈Γ1,A2∈Γ2只有在A1,A2全為零向量時(shí)才成立.證明定理的條件實(shí)際上就是零向量的分解式是唯一的,因而這個(gè)條件顯然是必要的,下面來(lái)證明這個(gè)條件的充分性.設(shè)A∈Γ1+Γ2它有兩個(gè)分解式A=A1+A2=B1+B2,A1,B1∈Γ1,A2,B2∈Γ2.(A1-B1)+(A2-B2)=0.A1-B1∈Γ1,A2-B2∈Γ2.A1-B1=0,A2-B2=0.推論和Γ1+r2為直和的充要條件是Γ1∩Γ2={{0}}.證明先證條件的充分性,假設(shè)有等式,A,+A2={0},A1∈Γ1,A2∈Γ2即A1=-A2∈Γ1∩Γ2.A1=A2={0},這就證明了Γ1+Γ2是直和.再證必要性,任取向量A∈Γ1∩Γ2,于是零向量可以表示,{0}=A+(-A),A∈Γ1,-A∈Γ2.因?yàn)槭侵焙?所以A=-A={0}這就證明了Γ1∩Γ2={{0}}.定理5設(shè)Γ1,Γ2是冪線性空間Γ的冪子空間,令Γ=Γ1+Γ2,則T=Γ1⊕Γ2的充要條件是維(T)=維(Γ1)+維(Γ2).證明因?yàn)榫S(T)+維(Γ1∩Γ2)=維(Γ1)+維(Γ2)而由前面定理4的推論知,Γ1+Γ2為直和的充要條件是Γ1∩Γ2={{0}},這是與維(Γ1∩Γ2)=0是等價(jià)的,也就與維(T)=維(Γ1)+維(Γ2)等價(jià),這就證明了定理.定理6設(shè)Γ1是冪線性空間Γ的冪子空間,那么一定有一個(gè)冪子空間Γ2,使得Γ=Γ1⊕Γ2.定理7設(shè)Γ1,Γ2,…,Γs都是冪線性空間Γ的冪子空間,如果和Γ1+Γ2+…+Γs中每一個(gè)向量A的分解式A=A1+A2+…+As,Ai∈Γi,(i=1,2,…,s)是唯一