題型06 分類討論試題 【有答案】

備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)十大題型專練卷題型06分類討論試題1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，設(shè)函數(shù)的圖像與x軸有M個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)的圖像與x軸有N個(gè)交點(diǎn)，則（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】先根據(jù)函數(shù)的圖像與x軸有M個(gè)交點(diǎn)解得，再對a，b分情況討論，求得答案.【詳解】對于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與x軸兩交點(diǎn)為（－a，0）、（－b，0），∵，所以有2個(gè)交點(diǎn)，故對于函數(shù)①，交點(diǎn)為，此時(shí)②，交點(diǎn)為，此時(shí)③，交點(diǎn)為，此時(shí)綜上所述，或故選C.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是分情況討論a，b.2．如圖，已知矩形一條直線將該矩形分割成兩個(gè)多邊形（含三角形），若這兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和分別為和則不可能是（）.A． B． C． D．【答案】D如圖，一條直線將該矩形ABCD分割成兩個(gè)多邊（含三角形）的情況有以上三種，①當(dāng)直線不經(jīng)過任何一個(gè)原來矩形的頂點(diǎn)，此時(shí)矩形分割為一個(gè)五邊形和三角形，∴M+N=540°+180°=720°；②當(dāng)直線經(jīng)過一個(gè)原來矩形的頂點(diǎn)，此時(shí)矩形分割為一個(gè)四邊形和一個(gè)三角形，∴M+N=360°+180°=540°；③當(dāng)直線經(jīng)過兩個(gè)原來矩形的對角線頂點(diǎn)，此時(shí)矩形分割為兩個(gè)三角形，∴M+N=180°+180°=360°．故選D．3．已知⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓，P為⊙O上除C、D外任意一點(diǎn)，則∠CPD的度數(shù)為（）A．30° B．30°或150°C．60° D．60°或120°【答案】B【分析】連接OC，OD，分P點(diǎn)在優(yōu)弧CAD上時(shí)與P點(diǎn)在劣弧CD上時(shí)兩種情況，根據(jù)圓周角定理進(jìn)行解答即可.【詳解】解：連接OC，OD，∵六邊形ABCDEF為正六邊形，∴∠COD=60°，如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在弧CAD上時(shí)，∠CPD=∠COD=30°；如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在弧CD上時(shí)，∠CPD=（360°﹣∠COD）=150°.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查正六邊形的性質(zhì)，圓周角定理，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識點(diǎn)，根據(jù)題意分情況進(jìn)行討論.4．?dāng)?shù)軸上表示整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，某數(shù)軸的單位長度為1cm，若在數(shù)軸上畫出一條長2019cm的線段AB，則AB蓋住的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A．2019或2020 B．2018或2019 C．2019 D．2020【答案】A【分析】根據(jù)線段的位置分為兩種：起點(diǎn)在整點(diǎn)、不在整點(diǎn)兩種，分別得到整點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可.【詳解】依題意得：①當(dāng)線段AB起點(diǎn)在整點(diǎn)時(shí)覆蓋2020個(gè)數(shù)；②當(dāng)線段AB起點(diǎn)不在整點(diǎn)，即在兩個(gè)整點(diǎn)之間時(shí)覆蓋2019個(gè)數(shù)．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了利用數(shù)軸確定有理數(shù)的個(gè)數(shù).5．已知等腰三角形的三邊長分別為，且a、b是關(guān)于的一元二次方程的兩根，則的值是（）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】分三種情況討論，①當(dāng)a=4時(shí)，②當(dāng)b=4時(shí)，③當(dāng)a=b時(shí)；結(jié)合韋達(dá)定理即可求解；【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，是關(guān)于的一元二次方程的兩根，，不符合；當(dāng)時(shí)，，是關(guān)于的一元二次方程的兩根，，不符合；當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的一元二次方程的兩根，，，，；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合韋達(dá)定理和三角形三邊關(guān)系進(jìn)行解題是關(guān)鍵．6．二次函數(shù)y=x2+（a﹣2）x+3的圖象與一次函數(shù)y=x（1≤x≤2）的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)=3±2 B．﹣1≤a＜2C．a(chǎn)=3或﹣≤a＜2 D．a(chǎn)=3﹣2或﹣1≤a＜﹣【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)即可求出答案．【詳解】由題意可知：方程x2+（a-2）x+3=x在1≤x≤2上只有一個(gè)解，即x2+（a-3）x+3=0在1≤x≤2上只有一個(gè)解，當(dāng)△=0時(shí)，即（a-3）2-12=0，a=3±2，當(dāng)a=3+2時(shí)，此時(shí)x=-，不滿足題意，當(dāng)a=3-2時(shí)，此時(shí)x=，滿足題意，當(dāng)△＞0時(shí)，令y=x2+（a-3）x+3，令x=1，y=a+1，令x=2，y=2a+1（a+1）（2a+1）≤0解得：-1≤a≤?，當(dāng)a=-1時(shí)，此時(shí)x=1或3，滿足題意；當(dāng)a=-時(shí)，此時(shí)x=2或x=，不滿足題意，綜上所述，a=3-2或-1≤a＜?.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為x2+（a-3）x+3=0在1≤x≤2上只有一個(gè)解，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案二、填空題7．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊分別在軸，軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在矩形的內(nèi)部，點(diǎn)在邊上，滿足∽，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為_____．【答案】或【分析】根據(jù)題意分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)在的垂直平分線上時(shí)，點(diǎn)同時(shí)在上，的垂直平分線與的交點(diǎn)即是，根據(jù)∽求出PE，②點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心為半徑的圓弧上，圓弧與的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作于，根據(jù)∽，求出，，則可得到，故而求出點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】解：∵點(diǎn)在矩形的內(nèi)部，且是等腰三角形，∴點(diǎn)在的垂直平分線上或在以點(diǎn)為圓心為半徑的圓弧上；①當(dāng)點(diǎn)在的垂直平分線上時(shí)，點(diǎn)同時(shí)在上，的垂直平分線與的交點(diǎn)即是，如圖1所示：∵，，∴，∴∽，∵四邊形是矩形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣4，，，，∵∽，∴，即，解得：，∴點(diǎn)；②點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心為半徑的圓弧上，圓弧與的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作于，如圖2所示：∵，∴，∴∽，∵四邊形是矩形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，，，∴，∴，∵∽，∴，即：，解得：，，∴，∴點(diǎn)；綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為：或；故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題主要考查正方形的綜合，解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及圓的性質(zhì).8．半徑為的是銳角三角形的外接圓，，連接，延長交弦于點(diǎn)．若是直角三角形，則弦的長為_____．【答案】或【分析】分∠ODB=90°與∠DOB=90°兩種情況分別進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖1，當(dāng)時(shí)，即，，，，是等邊三角形，，，，；如圖2，當(dāng)，，是等腰直角三角形，∠OBC=45°，，綜上所述，若是直角三角形，則弦的長為或，故答案為或.【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等，正確把握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.注意分類討論思想的運(yùn)用.9．把邊長為2的正方形紙片分割成如圖的四塊，其中點(diǎn)為正方形的中心，點(diǎn)分別是，的中點(diǎn)，用這四塊紙片拼成與此正方形不全等的四邊形（要求這四塊紙片不重疊無縫隙），則四邊形的周長是______.【答案】10或或【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)周長的定義即可求解．【詳解】如圖所示：圖1的周長為1+2+3+2=6+2；圖2的周長為1+4+1+4=10；圖3的周長為3+5++=8+2．故四邊形MNPQ的周長是6+2或10或8+2．故答案為：6+2或10或8+2．【點(diǎn)睛】考查了平面鑲嵌（密鋪），關(guān)鍵是得到與此正方形不全等的四邊形MNPQ（要求這四塊紙片不重疊無縫隙）的各種情況．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“整點(diǎn)”.已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸的上方，的面積為，則內(nèi)部（不含邊界）的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_____.【答案】4或5或6.【分析】根據(jù)面積求出B點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，結(jié)合直角坐標(biāo)系，作圖觀察即可求解.【詳解】設(shè)B（m,n）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5,0）∴OA=5，∵△OAB的面積=×5×n=∴n=3，結(jié)合圖像可知：當(dāng)2＜m＜3時(shí)，有6個(gè)整點(diǎn)；當(dāng)2＜m＜時(shí)，有5個(gè)整數(shù)點(diǎn)；當(dāng)m=3時(shí)，有4個(gè)整數(shù)點(diǎn)，故答案為4或5或6.【點(diǎn)睛】此題主要考查點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是熟知直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)特點(diǎn).11．如圖，為的直徑，為上一點(diǎn)，過點(diǎn)的切線交的延長線于點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，，，若點(diǎn)為直徑上的一個(gè)動點(diǎn)，連接，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長為__________．【答案】4或2.56．【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，由△BCD∽△ABD得到比例式求出CD的長，當(dāng)是直角三角形時(shí)，分∠AEP=90°和∠APE=90°兩種情況進(jìn)行討論,可求出AP長有2種情況.【詳解】解：連接BC過點(diǎn)的切線交的延長線于點(diǎn)，，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)過圓心，；當(dāng)時(shí)，則，，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°.∴∠BCD＝90°.∵∠BCD＝∠ABD，∠D是公共角，∴△BCD∽△ABD.∴，，，，，．綜上的長為4或2.56．故答案為4或2.56．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.12．在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．以原點(diǎn)為位似中心，把這個(gè)三角形縮小為原來的，得到，則點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．【答案】或【分析】根據(jù)位似圖形的中心和位似比例即可得到點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)C.【詳解】解：以原點(diǎn)為位似中心，把這個(gè)三角形縮小為原來的，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或，即或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)，關(guān)鍵在于原點(diǎn)的位似圖形，要注意方向.13．在?ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，且點(diǎn)E將AD分為2：3的兩部分，連接BE、AC相交于F，則是_______．【答案】或【分析】分兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，∵四邊形ABCD是平行四邊形，，，②當(dāng)時(shí)，同理可得，，故答案為：或．【點(diǎn)睛】考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．14．如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AC上，沿EF所在的直線折疊∠C，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊AB上，若△EFC和△ABC相似，則AD的長為___.【答案】【分析】△CEF與△ABC相似，分兩種情況：①若CF：CE=3：4，此時(shí)EF∥AB，CD為AB邊上的高；②若CE：CF=3：4，由相似三角形角之間的關(guān)系，可以推出∠B=∠ECD與∠A=∠FCD，從而得到CD=AD=BD，即D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)．【詳解】若△CEF與△ABC相似，分兩種情況：①若CF：CE=3：4，

∵AC：BC=3：4，

∴CF：CE=AC：BC，

∴EF∥AB．

連接CD，如圖1所示：由折疊性質(zhì)可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此時(shí)CD為AB邊上的高。在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∴cosA=，∴AD=AC?cosA=3×；②若CE：CF=3：4，

∵AC：BC=3：4，∠C=∠C，∵△CEF∽△CAB，∴∠CEF=∠A．

連接CD，如圖2所示：由折疊性質(zhì)可知,∠CEF+∠ECD=90°，又∵∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ECD，

∴BD=CD．

同理可得：∠A=∠FCD，AD=CD，∴D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，∴AD=；故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查三角形相似，勾股定理，三角函數(shù)，解題關(guān)鍵在于分情況討論15．一張直角三角形紙片，，，，點(diǎn)為邊上的任一點(diǎn)，沿過點(diǎn)的直線折疊，使直角頂點(diǎn)落在斜邊上的點(diǎn)處，當(dāng)是直角三角形時(shí)，則的長為_____．【答案】或【分析】依據(jù)沿過點(diǎn)D的直線折疊，使直角頂點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí)，分兩種情況討論：∠DEB=90°或∠BDE=90°，分別依據(jù)勾股定理或者相似三角形的性質(zhì)，即可得到CD的長【詳解】分兩種情況：①若，則，，連接，則，，，設(shè)，則，中，，解得，；②若，則，，四邊形是正方形，，，，，設(shè)，則，，，，解得，，綜上所述，的長為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于畫出圖形16．如圖，在矩形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，，點(diǎn)、在線段上．若是等腰三角形且底角與相等，則_____．【答案】6或【分析】分兩種情況：①M(fèi)N為等腰△PMN的底邊時(shí)，作于，則，由矩形的性質(zhì)得出，，，得出，，證明，得出，求出，證出，由等腰三角形的性質(zhì)得出，，證出，得出，求出，即可得出答案；②MN為等腰△PMN的腰時(shí)，作PF⊥BD于F，設(shè)MN=PN=x，則FN=3-x，在Rt△PNF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】分兩種情況：①M(fèi)N為等腰△PMN的底邊時(shí)，作于，如圖所示：則，四邊形是矩形，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，即，解得：，，，，，是等腰三角形且底角與相等，，，，，，，，；②MN為等腰△PMN的腰時(shí)，作PF⊥BD于F，如圖所示，由①得：，，設(shè)，則，在中，，解得：，即，綜上所述，MN的長為6或.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．17．在平行四邊形ABCD中，∠A＝30°，AD＝，BD＝4，則平行四邊形ABCD的面積等于________.【答案】或【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，分點(diǎn)E在AB上或AB的延長線上兩種情況，分別利用三角函數(shù)求出AE、DE的長，利用勾股定理求出BE的長，繼而可得AB的長，然后利用平行四邊形的面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，如圖1，點(diǎn)E在AB上，∵∠A=30°，∴DE=ADsin30°=，AE=ADcos30°=6，在Rt△DBE中，BE=，∴AB=AE+BE=8，∴平行四邊形ABCD的面積為；如圖2，點(diǎn)E在AB的延長線上，∵∠A=30°，∴DE=ADsin30°=，AE=ADcos30°=6，在Rt△DBE中，BE=，∴AB=AE-BE=4，∴平行四邊形ABCD的面積為，故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，平行四邊形的面積，正確地畫出圖形是解題的關(guān)鍵.18．如圖，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是軸上一動點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以1個(gè)單位長度為半徑作，當(dāng)與直線相切時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是_____．【答案】（﹣，0）或P（﹣，0）【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求得，，得到，，根據(jù)勾股定理得到，設(shè)與直線相切于，連接，則，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】∵直線y＝﹣x﹣3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0．﹣3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝5，設(shè)⊙P與直線AB相切于D，如圖所示：連接PD，則PD⊥AB，PD＝1，∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠PAD＝∠BAO，∴△APD∽△ABO，∴＝，∴＝，∴AP＝，∴OP＝或OP＝，∴P（﹣，0）或P（﹣，0）.故答案是：（﹣，0）或P（﹣，0）．【點(diǎn)睛】考查了切線的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵正確的理解題意，分兩種情況解析．19．如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E在邊BC上，且．連接AE，將沿AE折疊，若點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)落在矩形ABCD的邊上，則a的值為________．【答案】或【分析】分兩種情況：①點(diǎn)落在AD邊上，根據(jù)矩形與折疊的性質(zhì)易得，即可求出a的值；②點(diǎn)落在CD邊上，證明，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出a的值．【詳解】解：分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)落在AD邊上時(shí)，如圖1．四邊形ABCD是矩形，，將沿AE折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)落在AD邊上，，，，；②當(dāng)點(diǎn)落在CD邊上時(shí)，如圖2．∵四邊形ABCD是矩形，，．將沿AE折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)落在CD邊上，，，，，．在與中，，，，即，解得，（舍去）．綜上，所求a的值為或．故答案為或．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)．進(jìn)行分類討論與數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．20．如圖，中，，，點(diǎn)在邊上，，.點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)，當(dāng)半徑為6的圓與的一邊相切時(shí)，的長為________.【答案】或【分析】根據(jù)勾股定理得到，，當(dāng)⊙P于BC相切時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離=6，過P作PH⊥BC于H，則PH=6，當(dāng)⊙P于AB相切時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離=6，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BD+CD=18，∴，在Rt△ADC中，∠C=90°，AC=12，CD=5，∴，當(dāng)⊙P于BC相切時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離=6，過P作PH⊥BC于H，則PH=6，∵∠C=90°，∴AC⊥BC，∴PH∥AC，∴△DPH∽△DAC，∴，∴，∴PD=6.5，∴AP=6.5；當(dāng)⊙P于AB相切時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離=6，過P作PG⊥AB于G，則PG=6，∵AD=BD=13，∴∠PAG=∠B，∵∠AGP=∠C=90°，∴△AGP∽△BCA，∴，∴，∴AP=3，∵CD=5＜6，∴半徑為6的⊙P不與△ABC的AC邊相切，綜上所述，AP的長為6.5或3，故答案為6.5或3．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練正確切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題21．如圖，直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與軸另一交點(diǎn)為，頂點(diǎn)為．（1）求拋物線的解析式；（2）在軸上找一點(diǎn)，使的值最小，求的最小值；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）或．【分析】由于拋物線的解析式中只有兩個(gè)待定系數(shù)，因此將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出拋物線的解析式．作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，則此時(shí)為最小，再將的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式即可解得分別求出點(diǎn)P在x軸的位置即可.【詳解】解：（1）直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，故函數(shù)的表達(dá)式為：，令，則或3，故點(diǎn)；（2）如圖1，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，則此時(shí)為最小，函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)，將的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：直線的表達(dá)式為：，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)；（3）①當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，如下圖2，∵，則，過點(diǎn)作，設(shè)，則，由勾股定理得：，，解得：（負(fù)值已舍去），則，則；②當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，則；故點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.22．如圖，在矩形中，，為邊上一點(diǎn)，，連接．動點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)以的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動；點(diǎn)以的速度沿折線向終點(diǎn)運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動的時(shí)間為，在運(yùn)動過程中，點(diǎn)，點(diǎn)經(jīng)過的路線與線段圍成的圖形面積為．⑴________,________°；⑵求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；⑶當(dāng)時(shí)，直接寫出的值．【答案】（1），45；（2）（），（），（）；（3）或.【分析】（1）由勾股定理可求AE的長，由等腰三角形的性質(zhì)可求∠EAD的度數(shù)；（2）分三種情況討論，由面積和差關(guān)系可求解；（3）分三種情況討論，由勾股定理可求解．【詳解】解：（1）∵AB=3cm，BE=AB=3cm，∴AE=cm，∠BAE=∠BEA=45°，∵∠BAD=90°，∴∠DAE=45°故答案為：3，45；（2）當(dāng)0＜x≤2時(shí)，如圖，過點(diǎn)P作PF⊥AD，∵AP=x，∠DAE=45°，PF⊥AD，∴PF=x=AF，∴y=S△PQA=×AQ×PF=x2；（2）當(dāng)2＜x≤3時(shí)，如圖，過點(diǎn)P作PF⊥AD，

∵PF=AF=x，QD=2x-4，∴DF=4-x，∴y=x2+（2x-4+x）（4-x）=-x2+8x-8；當(dāng)3＜x≤時(shí)，如圖，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合．∵CQ=（3+4）-2x=7-2x，CE=4-3=1cm，∴y=（1+4）×3-（7-2x）×1=x+4；（3）當(dāng)0＜x≤2時(shí)，∵QF=AF=x，PF⊥AD，∴PQ=AP.∵PQ=cm，∴x=，∴x=；當(dāng)2＜x≤3時(shí)，過點(diǎn)P作PM⊥CD，∴四邊形MPFD是矩形，∴PM=DF=4-2x，MD=PF=x，∴MQ=x-（2x-4）=4-x.∵M(jìn)P2+MQ2=PQ2，∴（4-2x）2+（4-x）2=，∵△＜0，∴方程無解，當(dāng)3＜x≤時(shí)，∵PQ2=CP2+CQ2，∴=1+（7-2x）2，∴x=，綜上所述：x=或.【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．23．如圖，已知的圓心為點(diǎn)，拋物線過點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，連接、，且，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是2、1．（1）請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求的值；（2）直線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)（與點(diǎn)不重合）在該直線上，且，請判斷點(diǎn)是否在此拋物線上，并說明理由；（3）如果直線與相切，請直接寫出滿足此條件的直線解析式．【答案】（1）B（2,2），；（2）點(diǎn)在拋物線上，見解析；（3）滿足條件的直線解析式為：或．【分析】（1）證明，即可求解；（2）點(diǎn)在直線上，則設(shè)的坐標(biāo)為，由，即可求解；（3）分當(dāng)切點(diǎn)在軸下方、切點(diǎn)在軸上方兩種情況，分別求解即可．【詳解】解：（1）過點(diǎn)分別作軸的垂線交于點(diǎn)，∵，∴，又，∴，∴，故點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線并解得：，故拋物線的表達(dá)式為：；（2）將點(diǎn)坐標(biāo)代入并解得：，則點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、、，則，點(diǎn)在直線上，則設(shè)的坐標(biāo)為，∵，則，解得：或6（舍去），故點(diǎn)，把代入，故點(diǎn)在拋物線上；（3）①當(dāng)切點(diǎn)在軸下方時(shí)，設(shè)直線與相切于點(diǎn)，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，連接，，，∵，∴，∴，即：，解得：或（舍去），故點(diǎn)，把點(diǎn)坐標(biāo)代入并解得：直線的表達(dá)式為：；②當(dāng)切點(diǎn)在軸上方時(shí)，直線的表達(dá)式為：；故滿足條件的直線解析式為：或．【點(diǎn)睛】考核知識點(diǎn)：二次函數(shù)和相似三角形.數(shù)形結(jié)合分析問題是關(guān)鍵.特別是熟練掌握圓的性質(zhì)和函數(shù)性質(zhì).24．如圖所示拋物線過點(diǎn)，點(diǎn)，且（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；（2）點(diǎn)在直線上的兩個(gè)動點(diǎn)，且，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，求四邊形的周長的最小值；（3）點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，連接，直線把四邊形的面積分為3∶5兩部分，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1），對稱軸為直線；（2）四邊形的周長最小值為；（3）【分析】（1）OB=OC，則點(diǎn)B（3，0），則拋物線的表達(dá)式為：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，即可求解；（2）CD+AE=A′D+DC′，則當(dāng)A′、D、C′三點(diǎn)共線時(shí)，CD+AE=A′D+DC′最小，周長也最小，即可求解；（3）S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，即可求解．【詳解】（1）∵OB=OC，∴點(diǎn)B（3，0），則拋物線的表達(dá)式為：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，故-3a=3，解得：a=-1，故拋物線的表達(dá)式為：y=-x2+2x+3…①；對稱軸為：直線（2）ACDE的周長=AC+DE+CD+AE，其中AC=、DE=1是常數(shù)，故CD+AE最小時(shí)，周長最小，取點(diǎn)C關(guān)于函數(shù)對稱點(diǎn)C（2，3），則CD=C′D，取點(diǎn)A′（-1，1），則A′D=AE，故：CD+AE=A′D+DC′，則當(dāng)A′、D、C′三點(diǎn)共線時(shí)，CD+AE=A′D+DC′最小，周長也最小，四邊形ACDE的周長的最小值=AC+DE+CD+AE=+1+A′D+DC′=+1+A′C′=+1+；（3）如圖，設(shè)直線CP交x軸于點(diǎn)E，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，又∵S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，則BE：AE，=3：5或5：3，則AE=或，即：點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）或（，0），將點(diǎn)E、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=kx+3，解得：k=-6或-2，故直線CP的表達(dá)式為：y=-2x+3或y=-6x+3…②聯(lián)立①②并解得：x=4或8（不合題意值已舍去），故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-5）或（8，-45）．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、圖象面積計(jì)算、點(diǎn)的對稱性等，其中（1），通過確定點(diǎn)A′點(diǎn)來求最小值，是本題的難點(diǎn)．25．在矩形中，連結(jié)，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著的路徑運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為t（秒）．過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，在矩形的內(nèi)部作正方形．（1）如圖，當(dāng)時(shí)，①若點(diǎn)H在的內(nèi)部，連結(jié)、，求證：；②當(dāng)時(shí)，設(shè)正方形與的重疊部分面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)，時(shí)，若直線將矩形的面積分成1︰3兩部分，求t的值．【答案】（1）①證明見解析；②；（3）t的值為或或．【分析】（1）①如圖1中，證明即可解決問題．②分兩種情形分別求解：如圖1中，當(dāng)時(shí)，重疊部分是正方形．如圖2中，當(dāng)時(shí)，重疊部分是五邊形．（2）分三種情形分別求解：①如圖3﹣1中，延長交于M，當(dāng)時(shí)，直線將矩形的面積分成1︰3兩部分．②如圖3﹣2中，延長交于M交的延長線于K，當(dāng)時(shí)，直線將矩形的面積分成1︰3兩部分．③如圖3﹣3中，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，延長交于M，交的延長線于N．當(dāng)時(shí)，直線將矩形的面積分成1︰3兩部分．【詳解】解：（1）①如圖1中，∵四邊形是正方形，，∴，，，∴，∵，∴，∴．②如圖1中，當(dāng)時(shí)，重疊部分是正方形，．如圖2中，當(dāng)時(shí)，重疊部分是五邊形，．綜上所述，．（2）如圖3﹣1中，延長交于M，當(dāng)時(shí)，直線將矩形的面積分成1︰3兩部分．∵，∴，∴，∴．如圖3﹣2中，延長交于M交的延長線于K，當(dāng)時(shí)，直線將矩形的面積分成1︰3兩部分，易證，∵，∴，∴，∴．如圖3﹣3中，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，延長交于M，交的延長線于N．當(dāng)時(shí)，直線將矩形的面積分成1︰3兩部分，易證．在中，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，解得．綜上所述，滿足條件的t的值為或或．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．26．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動點(diǎn)在的圖像上運(yùn)動（不與重合），連接，過點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，連接．（1）求線段長度的取值范圍；（2）試問：點(diǎn)運(yùn)動過程中，是否問定值？如果是，求出該值；如果不是，請說明理由．（3）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）為定值，=30°；（3），，，【分析】（1）作，由點(diǎn)在的圖像上知：，求出AH，即可得解；（2）①當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)在第一象的線段上時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)在第一象限的線段的延長線上時(shí)，分別證明、、、四點(diǎn)共圓，即可求得=30°；（3）分，，三種情況，分別求解即可．【詳解】解：（1）作，則∵點(diǎn)在的圖像上∴，∵，∴∴（2）①當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，由，可得、、、四點(diǎn)共圓，∴②當(dāng)點(diǎn)在第一象的線段上時(shí)，由，可得、、、四點(diǎn)共圓，∴，又此時(shí)∴③當(dāng)點(diǎn)在第一象限的線段的延長線上時(shí)，由，可得，∴、、、四點(diǎn)共圓，∴（3）設(shè)，則：∵，∴∴：∴∴，①當(dāng)時(shí)，則整理得：解得：∴，②當(dāng)時(shí)，則整理得：解得：或當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與重合，舍去，∴，∴③當(dāng)時(shí)，則整理得：解得：∴【點(diǎn)睛】本題為一次函數(shù)綜合題，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角函數(shù)、等腰三角形判定和性質(zhì)以及圓的相關(guān)性質(zhì)等知識點(diǎn)，其中（2）（3），要注意分類求解，避免遺漏．27．在△中，已知是邊的中點(diǎn)，是△的重心，過點(diǎn)的直線分別交、于點(diǎn)、.（1）如圖1，當(dāng)∥時(shí)，求證：；（2）如圖2，當(dāng)和不平行，且點(diǎn)、分別在線段、上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由.（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上或點(diǎn)在的延長線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）（1）中結(jié)論成立，理由見解析；（3）（1）中結(jié)論不成立，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)G為重心可知，由EF∥BC可知,，故（2）過點(diǎn)作∥交的延長線于點(diǎn)，、的延長線相交于點(diǎn)，則，，故要求式子，又，D是的中點(diǎn)，即，故有，所以原式，又有，得，故結(jié)論成立；（3）由G點(diǎn)為重心可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為中點(diǎn)，，故當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，，,則，同理：當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，，故結(jié)論不成立.【詳解】（1）證明：是△重心,又∥,,,則.（2）（1）中結(jié)論成立，理由如下：如圖，過點(diǎn)作∥交的延長線于點(diǎn)，、的延長線相交于點(diǎn)，則，又而是的中點(diǎn)，即又結(jié)論成立；（3）（1）中結(jié)論不成立，理由如下：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為中點(diǎn)，,點(diǎn)在的延長線上時(shí)，,,則，同理：當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，，結(jié)論不成立.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心，相似三角形的性質(zhì)和判定，分類討論思想，解本題的關(guān)鍵是通過三角形重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2:1與相似比結(jié)合來解題，并合理作出輔助線來解題.28．⑴如圖1，是正方形邊上的一點(diǎn)，連接，將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線交于點(diǎn)和點(diǎn).①線段和的數(shù)量關(guān)系是；②寫出線段和之間的數(shù)量關(guān)系.⑵當(dāng)四邊形為菱形，，點(diǎn)是菱形邊所在直線上的一點(diǎn)，連接，將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線交于點(diǎn)和點(diǎn).①如圖2，點(diǎn)在線段上時(shí)，請?zhí)骄烤€段和之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并給出證明；②如圖3，點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，交射線于點(diǎn)；若,直接寫出線段的長度.【答案】⑴①;②；⑵①.理由見解析，②的長度為.理由見解析.【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解答即可；②根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；（2）①根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；②作輔助線，計(jì)算BD和BF的長，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得BM的長，根據(jù)線段的差可得結(jié)論．【詳解】（1）①DB=DG，理由是：∵∠DBE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖1，由旋轉(zhuǎn)可知，∠BDE=∠FDG，∠BDG=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠CBD=45°，∴∠G=45°，∴∠G=∠CBD=45°，∴DB=DG；故答案為DB=DG；②BF+BE=BD，理由如下：由①知：∠FDG=∠EDB，∠G=∠DBE=45°，BD=DG，∴△FDG≌△EDB（ASA），∴BE=FG，∴BF+FG=BF+BE=BC+CG，Rt△DCG中，∵∠G=∠CDG=45°，∴CD=CG=CB，∵DG=BD=BC，即BF+BE=2BC=BD；（2）①如圖2，BF+BE=BD，理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB=∠CDB=∠ADC=×60°=30°，由旋轉(zhuǎn)120°得∠EDF=∠BDG=120°，∠EDB=∠FDG，在△DBG中，∠G=180°-120°-30°=30°，∴∠DBG=∠G=30°，∴DB=DG，∴△EDB≌△FDG（ASA），∴BE=FG，∴BF+BE=BF+FG=BG，過點(diǎn)D作DM⊥BG于點(diǎn)M，如圖2，∵BD=DG，∴BG=2BM，在Rt△BMD中，∠DBM=30°，∴BD=2DM．設(shè)DM=a，則BD=2a，DM=a，∴BG=2a，∴，∴BG=BD，∴BF+BE=BG=BD；②過點(diǎn)A作AN⊥BD于N，過D作DP⊥BG于P，如圖3，Rt△ABN中，∠ABN=30°，AB=2，∴AN=1，BN=，∴BD=2BN=2，∵DC∥BE，∴，∵CM+BM=2，∴BM=，Rt△BDP中，∠DBP=30°，BD=2，∴BP=3，由旋轉(zhuǎn)得：BD=BF，∴BF=2BP=6，∴GM=BG-BM=6+1-=．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，正方形和菱形的性質(zhì)，直角三角形30度的角性質(zhì)等知識，本題證明△FDG≌△BDE是解本題的關(guān)鍵．29．如圖，拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)A（0，2），對稱軸為直線x=﹣2，平行于x軸的直線與拋物線交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B在對稱軸左側(cè)，BC=6．（1）求此拋物線的解析式．（2）點(diǎn)P在x軸上，直線CP將△ABC面積分成2：3兩部分，請直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2+4x+2；（2）P的坐標(biāo)為（﹣6，0）或（﹣13，0）．【分析】（1）由對稱軸直線x=2，以及A點(diǎn)坐標(biāo)確定出b與c的值，即可求出拋物線解析式；（2）由拋物線的對稱軸及BC的長，確定出B與C的橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式求出縱坐標(biāo)，確定出B與C坐標(biāo)，利