矩形板彈性彎曲的彈性力學(xué)分析

矩形板彈性彎曲的彈性力學(xué)分析

彈性矩形板是土木工程中常用的結(jié)構(gòu)形式。例如,橋梁工程中的橋面板,高速公路中的水泥混凝土路面以及各種房屋建筑中的樓板等。本文就四周固結(jié)平板受力位移提供幾種解法的比較。板是典型的工程構(gòu)件,當(dāng)板的厚度h與最小特征尺寸L之比:h:L<1/5時(shí),稱為薄板。如果薄板在彎曲荷載作用下,板內(nèi)的最大撓度Wmax小于板厚度的五分之一,即Wmax<h/5時(shí),則稱為薄板小撓度彎曲問(wèn)題。本文就垂直于板中面的荷載引起的薄板彎曲通過(guò)彈性力學(xué)以及有限元法作分析。1薄膜中面的變形(1)變形前垂直于中面的直線段在變形后仍然垂直于變形后的中面,且長(zhǎng)度保持不變;(2)薄板中面各點(diǎn)都沒(méi)有平行于中面的位移;(3)平行于中面的板內(nèi)各層互不擠壓,在計(jì)算變形時(shí)可忽略擠壓應(yīng)力σz。2彈性材料的dz、qy在板撓度很小情況下,根據(jù)彈性理論中變形分量與位移關(guān)系有:εx=?u?x?εy=?v?y?γxy=?v?x+?u?y垂直于X軸的橫截面上Μx=∫h/2-h/2σxzdz=-D(?2w?x2+v?2w?y2)Μy=∫h/2-h/2σyzdz=-D(?2w?y2+v?2w?x2)Μxy=∫h/2-h/2Τxyzdz=-D(1-v)?2w?x?y彈性薄板的基本微分方程:D?2?2w=q結(jié)合彈性力學(xué)知識(shí)可得以下各式:Qx=-D??x(?2w)；Qy=-D??y(?2w)σx=12Μxh3z;σy=12Μyh3z;rxy=12Μxyh3z;rxz=32Qxh(1-4z2h2);ryz=32Qyh(1-4z2h2)式中:D=Eh312(1-v2)為板的抗彎剛度。3用彈性模量求鋼板撓度設(shè)有四邊固定的矩形薄板(如圖1),長(zhǎng)為2a,寬為2b,受垂直于板面的均布載荷q0作用,厚度為t,彈性模量為E,泊松比μ=0.3,取坐標(biāo)軸如圖,求薄板的撓度。3.1中央撓度函數(shù)形式解:(1)設(shè)置薄板的撓度函數(shù)為w=∑mcmwm=(x2-a2)2(y2-b2)2(c1+c2x2+c3y2+?)(1)顯然,式(1)滿足薄板四周固定的位移邊界條件,可以認(rèn)為式(1)也滿足了靜力邊界條件,因此,可用伽遼金法求解。(2)由滿足式∫∫D(?4w)wmdxdy=∫∫qwmdxdy確定c1,設(shè)式(1)中只取一項(xiàng)系數(shù):w=c1(x2-a2)2(y2-b2)2=c1w1?4w=8[3(y2-b2)2+3(x2-a2)2+4(3x2-a2)(3y2-b2)]c1a∫-ab∫-b8D[3(y2-b2)2+3(x2-a2)2+4(3x2-a2)(3y2-b2)]c1(x2-a2)2(y2-b2)2dxdy=a∫-ab∫-bq0(x2-a2)2(y2-b2)2dxdy∴c1=7q0128(a4+b4+47a2b2)D(3)將c1代入式(1),得薄板的撓度為:w=7q0128(a4+b4+47a2b2)D(x2-a2)2(y2-b2)2對(duì)于正方形薄板(a=b),有:c1=49q02304Da4w=49q02304Da4(x2-a2)2(y2-b2)2wmax=(w)x=y=049q0a42304D=0.0213q0a4D若將撓度函數(shù)取為:w=∑m∑nCmn(1+cosmπxa)(1+cosnπyb)由邊界條件,x=±a時(shí),w=0??w?x=0;y=±b時(shí),w=0??w?y=01+cosmπ(±a)a=0?1+cosnπ(±b)b=0(其中m?n為奇數(shù))又?w?x=∑m∑nCmn-mπasinmπxa(1+cosnπyb)?w?y=∑m∑nCmn-nπbsinmπyb(1+cosnπxa)∴x=±a?y=±b上有?w?x|x=±a=0??w?y|y=±b=0因此滿足邊界條件。假定在上述w的三角級(jí)數(shù)式中只取一項(xiàng),即:w=C11(1+cosπxa)(1+cosπyb)利用迦遼金法取:w=w1=(1+cosπxa)(1+cosπyb)?4w=?4w?x4+2?4w?x2?y2+?4w?y4=C11[(πa)4sinπxa(1+cosπyb)+(πb)4sinπyb(1+cosπxa)+2π4a2b2cosπxacosπyb]利用a∫0b∫0D(?4w)w1dxdy=a∫0b∫0qw1dxdy得:w=4q0a4(1+cosπxa)(1+cosπyb)π4D(3+2a2b2+3a4b4)正方形薄板時(shí)(a=b),有w=q0a42π4D(1+cosπxa)(1+cosπyb)wmax=(w)x=y=0=0.0205q0a4/D分析:最大撓度分別比精確解(0.0202q0a4/D)大了5.4%、1.5%。由此可見(jiàn),此撓度方程式比式(1)的撓度方程更接近于薄板的實(shí)際撓度曲面。3.2單元?jiǎng)澐謫卧獜椥员“鍙澢鷨?wèn)題矩形單元的單元?jiǎng)偠染仃嚍閇Κ]e=Et3360ab(1-μ2)[Κ11Κ21Κ22對(duì)稱Κ31Κ32Κ33Κ41Κ42Κ43Κ44)式中:[Κ11]=[21-6μ+30(b2a2+a2b2)3(1+4μ)b+30a2b-3(1+4μ)a-30b2a3(1+4μ)b+30a2b8(1-μ)b2+40a2-30μab-3(1+4μ)a-30b2a-30μab8(1-μ)a2+40b2][Κ21]=[-21+6μ+15(a2b2-b2a2)-3(1+4μ)b+15a2b3(1-μ)a+30b2a-3(1+4μ)b+15a2b-8(1-μ)b2+20a20-3(1-μ)a-30b2a0-2(1-μ)a2+20b2][Κ31]=[21-6μ-15(a2b2-b2a2)3(1-μ)b-15a2b-3(1-μ)a+15b2a-3(1-μ)b+15a2b2(1-μ)b2+10a203(1-μ)a-15b2a02(1-μ)a2+10b2][Κ41]=[-21+6μ+15(b2a2-a2b2)-3(1-μ)b-30a2b3(1+4μ)a-15b2a3(1-μ)b+30a2b-2(1-μ)b2+20a203(1+4μ)a-15b2a0-8(1-μ)a2+20b2][Κ22]=[21-6μ+30(a2b2+b2a2)3(1+4μ)b+30a2b3(1+4μ)a+30b2a3(1+4μ)b+30a2b8(1-μ)b2+40a230μab3(1+4μ)a+30b2a30μab8(1-μ)a2+40b2][Κ32]=[-21+6μ+15(b2a2-2a2b2)-3(1-μ)b-30a2b-3(1+4μ)a+15b2a3(1-μ)b+30a2b-2(1-μ)b2+20a20-3(1+4μ)a+15b2a0-8(1-μ)a2+20b2][Κ42]=[21-6μ-15(a2b2+b2a2)3(1-μ)b-15a2b3(1-μ)a-15b2a3(1-μ)b+30a2b2(1-μ)b2+10a20-3(1-μ)a+15b2a02(1-μ)a2+10b2][Κ33]=[21-6μ+30(a2b2+b2a2)-3(1+4μ)b-30a2b3(1+4μ)a+30b2a-3(1+4μ)b-30a2b8(1-μ)b2+40a2-30μab3(1+4μ)a+30b2a-30μab8(1-μ)a2+40b2][Κ43]=[-21+6μ+15(a2b2-2b2a2)3(1+4μ)b-15a2b-3(1-μ)a-30b2a3(1+4μ)b-15a2b-8(1-μ)b2+20a203(1-μ)a+30b2a0-2(1-μ)a2+20b2][Κ44]=[21-6μ+30(a2b2+b2a2)-3(1+4μ)b-30a2b-3(1+4μ)a-30b2a-3(1+4μ)b-30a2b8(1-μ)b2+40a230μab-3(1+4μ)a-30b2a30μab8(1-μ)a2+40b2]解:(1)單元?jiǎng)澐譃榱撕?jiǎn)單起見(jiàn),采用最簡(jiǎn)單的2×2網(wǎng)格,即把薄板分成四個(gè)矩形單元。由于對(duì)稱性,只需計(jì)算一個(gè)單元,例如圖1中陰影的單元,單元的節(jié)點(diǎn)編號(hào)為1,2,3,4。(2)計(jì)算節(jié)點(diǎn)荷載矩形單元受均布法向荷載q0作用,這時(shí){FR}e=q0a1b1[1b13-a131b13a131-b13a131-b13-a13]Τ(3)邊界條件對(duì)稱軸邊界:法線轉(zhuǎn)角=0;固定邊界:撓度=0(或已知值);邊線轉(zhuǎn)角=0(或已知值);法線轉(zhuǎn)角=0(或已知值)這是只有一個(gè)單元的計(jì)算對(duì)象,因此,結(jié)構(gòu)的總剛度方程就是單元1的單元?jiǎng)偠确匠?。引入支承條件后,在總剛度矩陣中只取第一行第一列元素,在方程組右端項(xiàng){FR}e中只保留第一個(gè)元素。于是結(jié)構(gòu)的代數(shù)方程為:Et3360a1b1(1-μ)2Κ11w1=q0a1b1其中Κ11=21-6μ+30(b12a12+a12b12)即:Et3360a1b1(1-μ2)[21-6μ+30(b12a12+a12b12)]w1=q0a1b1∴w1=360q0a12b12(1-μ2)Et3[21-6μ+30(b12a12+a12b12)]正方形薄板時(shí)a1=b1=a/2時(shí),w1=360q0(a2)2(a2)2(1-μ2)Et3(21-6μ+30×2)=360q0a416(1-μ2)Et3(81-6μ)=360192(81-6μ)?q0a4D(D=Et312(1-μ2))μ=0.3時(shí),w1=0.02367q0a4/D;采用4×4網(wǎng)格時(shí),w1=0.0224q0a4/D;采用8×8網(wǎng)格時(shí),w1=0.0208q0a4/D分析:最大撓度分別比精確解(0.0202q0a4/D)大了17.2%、