多維隨機(jī)變量及其分布

第三章多維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的獨(dú)立性3.1二維隨機(jī)變量及其分布1、二維隨機(jī)變量(p53)設(shè)S是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，X=X(e)，Y=Y(e)是定義在S上的隨機(jī)變量，則由它們構(gòu)成的一個(gè)二維向量(X,Y)稱為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量。二維隨機(jī)變量(X,Y)的性質(zhì)不僅與X及Y有關(guān)，而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系。因此，單獨(dú)討論X和Y的性質(zhì)是不夠的，需要把(X,Y)作為一個(gè)整體來(lái)討論。隨機(jī)變量X常稱為一維隨機(jī)變量。

一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)

一維隨機(jī)變量X——R1上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)；二維隨機(jī)變量(X,Y)——R2上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)；

……n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)。多維隨機(jī)變量的研究方法也與一維類似，用分布函數(shù)、概率密度函數(shù)或分布律來(lái)描述其統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

定義3.1

設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，二元實(shí)值函數(shù)F(x,y)=P({X

x}∩{Y

y})=P(X

x,Y

y)

x∈(-∞,+∞),y∈(-∞,+∞)稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)，或稱X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。即F(x,y)為事件{X

x}與{Y

y}同時(shí)發(fā)生的概率。2、二維隨機(jī)變量的(聯(lián)合)分布函數(shù)幾何意義：若把二維隨機(jī)變量(X,Y)看成平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，則分布函數(shù)F(x,y)在(x,y)處的函數(shù)值F(x,y)就表示隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在區(qū)域-∞＜X≤x，-∞＜Y≤y中的概率。如圖陰影部分：(x,y)xyO

對(duì)于(x1,y1),(x2,y2)

R2,(x1<

x2，y1<y2)，則隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在矩形區(qū)域[x1<X

x2，y1<Y

y2]內(nèi)的概率可用分布函數(shù)表示為P(x1<X

x2，y1<Y

y2)＝F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1)(x1,y1)(x2,y2)O

x1

x2xy1y2y分布函數(shù)F(x,y)具有如下性質(zhì)：(p54)(1)對(duì)任意(x,y)

R2,0

F(x,y)

1。(2)F(x,y)是變量x或y的非降函數(shù)，即

對(duì)任意y

R,當(dāng)x1<x2時(shí)，F(xiàn)(x1,y)

F(x2,y)；

對(duì)任意x

R,當(dāng)y1<y2時(shí)，F(xiàn)(x,y1)

F(x,y2)。(3)(4)函數(shù)F(x,y)關(guān)于x是右連續(xù)的，關(guān)于y也是右連續(xù)的，即對(duì)任意x

R，y

R，有(5)對(duì)于任意(x1,y1)，(x2,y2)

R2，(x1<x2，y1<y2)，F(xiàn)(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1)0。

反之，任一滿足上述五個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù)F(x,y)都可以作為某個(gè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)。二、二維離散型隨機(jī)變量及其分布1、二維離散型隨機(jī)變量（定義3.2）(p54)

若二維隨機(jī)變量(X,Y)的所有可能取值是有限多對(duì)或可列無(wú)限多對(duì)，則稱(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量。2、聯(lián)合分布律(p55)

設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，其所有可能取值為(xi,yj)，i=1,2,…，j=1,2,…。若(X,Y)取數(shù)對(duì)(xi,yj)的概率P(X=xi,Y=yj)=pij，滿足(1)pij≥0；(2)則稱P(X=xi,Y=yj)=pij，i=1,2,…，j=1,2,…為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律或分布律。二維離散型隨機(jī)變量的分布律也可用表格形式表示為：

YXy1y2...yj...x1p11p12...p1j...x2p21p22...p2j.....................xipi1pi2...pij.....................例3.2袋里有5個(gè)編號(hào)的球，其中1個(gè)球編號(hào)為1，有2個(gè)球編號(hào)均為2，有2個(gè)球編號(hào)均為3。每次從中任取兩個(gè)球，以X和Y分別表示這兩個(gè)球中編號(hào)最小的號(hào)碼和最大的號(hào)碼。求X和Y的聯(lián)合分布律。解

(X,Y)的全部可能取值為(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)，5個(gè)球從中任取2個(gè)，共有C52=10種取法。試驗(yàn)樣本點(diǎn)總數(shù)為10，用表格表示為

YX2310.20.220.10.4300.1三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)1、定義(p50)

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x,y)，使對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，有

則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，且稱函數(shù)f(x,y)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)(概率密度)，或X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)，可記為(X,Y)~f(x,y)，(x,y)

R22、聯(lián)合密度f(wàn)(x,y)的性質(zhì)(p56)(1)非負(fù)性：f(x,y)

0，(x,y)

R2;(2)歸一性：(3)若f(x,y)在(x,y)

處連續(xù)，則有事實(shí)上(4)設(shè)D是平面上一個(gè)區(qū)域，則二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)落在D內(nèi)的概率是概率密度函數(shù)f(x,y)在D上的積分，即例3.3

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為(1)求常數(shù)k；(2)求概率P(X+Y≤1)。解(1)解得k=15O1x1yy=xx+y=1(2)(1)求常數(shù)K；(2)求聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)；(3)求概率P(X+2Y

1)。

例3.5

已知解(1)K=6Oxyx+2y=1(2)(3)四邊緣分布1、二維隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)二維隨機(jī)變量(X,Y)作為一個(gè)整體，具有聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)，而X和Y都是隨機(jī)變量，各自也有它們的分布函數(shù)，記X的分布函數(shù)為FX(x)，稱為隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)；Y的分布函數(shù)為FY(y)，稱為隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)。

由分布函數(shù)的定義可得到聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)的關(guān)系(P54)

邊緣分布的幾何意義FX(x)的函數(shù)值表示隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落入如下左圖所示區(qū)域內(nèi)的概率；

FY(y)的函數(shù)值表示隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落入如下右圖所示區(qū)域內(nèi)的概率。OxxOxyyy例3.6

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為其中A，B，C為常數(shù)，x∈(-∞,+∞)，y∈(-∞,+∞)

(1)試確定A，B，C；(2)求X和Y的邊緣分布函數(shù)；(3)求P(X>2)解

(1)由聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)2可知解得(2)(3)由X的分布函數(shù)可得故2、二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律由(X,Y)的聯(lián)合分布律P(X＝xi,Y＝y(tǒng)j}＝pij，i,j＝1,2,…i＝1,2,…j＝1,2,…其中pi.和p.j分別為表示的記號(hào)。它們分別是事件(X=xi)和(Y=yj)

的概率，且有pi.≥0，p.j≥0，稱P(X＝xi)＝pi.，(i＝1,2,…)為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律；稱P(Y＝y(tǒng)j)＝p.j，(j＝1,2,…)為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律。以表格形式表示為YXy1y2…yj…P(X=xi)x1p11p12…p1j…x2p21p22…p1j……………………xipi1pi1…pij……………………P(Y=yj)……1例3.7已知(X,Y)的分布律為故關(guān)于X和Y的邊緣分布律分別為：求X、Y的邊緣分布律。

YX1011/103/1003/103/10

YX10pi·11/103/102/503/103/103/5p·j2/53/5X10P2/53/5Y10P2/53/5解例3.8(p55/例1)

設(shè)隨機(jī)變量(r.v.)X在1，2，3，4四個(gè)整數(shù)中等可能地取值，另一個(gè)r.v.在1至X中等可能地取一整數(shù)值，試求(X,Y)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律。解事件(X=i,Y=j)中i的取值為1、2、3、4，而j取不大于i的整數(shù)，因此i=1,2,3,4，j≤ii=1,2,3,4j=1,2,3,4YX1234pi?11/40001/421/81/8001/431/121/121/1201/441/161/161/161/161/4p?j25/4813/487/483/48X和Y的邊緣分布律分別為X1234P1/41/41/41/4Y1234P25/4813/487/483/48可舉例說(shuō)明：聯(lián)合分布律不同，而邊緣分布律有可能相同，說(shuō)明僅有邊緣分布律一般不能得到聯(lián)合分布律。即聯(lián)合分布律可以確定邊緣分布律，而邊緣分布律不一定能確定聯(lián)合分布律。3、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù)

設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合密度為f(x,y)，此時(shí)X、Y也是連續(xù)型隨機(jī)變量，稱X的密度函數(shù)fX(x)為(X,Y)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)，且有稱Y的密度函數(shù)fY(y)為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)，且有*例3.9

設(shè)二維隨機(jī)變量求邊緣密度函數(shù)fX(x)和fY(y)解當(dāng)0<x<1時(shí),O1xy1y=x2y=x3當(dāng)x≤0或x≥1時(shí)，fX(x)=0，所以當(dāng)0<y<1時(shí),當(dāng)y≤0或y≥1時(shí)，fY(y)=0，所以五、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的常用分布1、二維均勻分布(P58)設(shè)G為xoy平面上的有界區(qū)域，G的面積為A，若二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為

則稱二維隨機(jī)變量(X,Y)在G上服從均勻分布。若G1是G

內(nèi)面積為A1的子區(qū)域，則即：此概率僅與G1的面積有關(guān)(成正比)，而與G1在G內(nèi)的位置無(wú)關(guān)。例3.10

設(shè)(X,Y)服從如圖區(qū)域G上的均勻分布，(1)求(X,Y)的概率密度；(2)求P(Y<2X)；(3)求F(0.5,0.5)。O0.5

1xG解(1)區(qū)域G的面積為1(2)G1y=2xy區(qū)域G1的面積為1P(Y<2X)(3)F(0.5,0.5)=P(X≤0.5,Y≤0.5)G2其中，

1、

2為實(shí)數(shù)，

1>0、

2>0、|

|<1，則稱(X,Y)服從參數(shù)為

1，

2，

1，

2，

的二維正態(tài)分布，記為2、二維正態(tài)分布(P59)

若二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為二維正態(tài)分布的重要性質(zhì)(p59)：若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y)的指數(shù)部分則即同理可得x∈(-∞,+∞)由此性質(zhì)看到，(X,Y)的邊緣分布都與

無(wú)關(guān)，說(shuō)明

不同，得到的二維正態(tài)分布也不同，但其邊緣分布相同。因此邊緣分布是不能唯一確定聯(lián)合分布的，即使X,Y都是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，(X,Y)不一定是服從二維正態(tài)分布。二維正態(tài)分布的邊緣分布必為一維正態(tài)分布，反之不真。例3.12

設(shè)二維隨機(jī)變量x∈(-∞,+∞)，y∈(-∞,+∞)，求fX(x)，fY(y)。解因此同理可得但

(X,Y)不服從二維正態(tài)分布。（P60/例6）分布函數(shù)的概念可推廣到n維隨機(jī)變量的情形。事實(shí)上，對(duì)n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)，

F(x1,x2,…,xn)＝P(X1

x1,X2

x2,…,Xn

xn)稱為n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù)，或隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布函數(shù)。3.2隨機(jī)變量的獨(dú)立性(P62)一、兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義1

設(shè)F(x,y)是二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)，F(xiàn)X(x)，F(xiàn)Y(y)分別是一維隨機(jī)變量X與Y的邊緣分布函數(shù)，若對(duì)一切x,y∈R，均有P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x)?

P(Y≤y)即F(x,y)=FX(x)?FY(y)則稱隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立。結(jié)論：隨機(jī)變量X與Y是相互獨(dú)立的充要條件是事件(X≤x)與事件(Y≤y)相互獨(dú)立。定義2(

P63)若(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為P(X=xi,Y=yj)=pij

，i,j=1,2,…,則X與Y相互獨(dú)立的定義為是對(duì)任意i，j，P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)?P(Y=yj)，即pij

=pi??p?j。定義3(P65)若(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則X與Y相互獨(dú)立的定義為f(x,y)=fX(x)fY(y)在平面上幾乎處處成立。由上述結(jié)論可知，要判斷兩個(gè)離散型隨機(jī)變量X與Y的獨(dú)立性，只需求出它們各自的邊緣分布，再看對(duì)(X,Y)的每一對(duì)可能取值點(diǎn),邊緣分布的乘積是否都等于聯(lián)合分布即可。例3.13

已知(X,Y)的聯(lián)合分布律為YX1211/31/62a1/93b1/18X123P1/2a+1/9b+1/18Y12Pa+b+1/31/3試確定常數(shù)a,b，使X與Y相互獨(dú)立。解先求出(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布律要使X與Y相互獨(dú)立，可用pij

=pi??p?j來(lái)確定a,b

。P(X=2,Y=2)=P(X=2)?P(Y=2)，P(X=3,Y=2)=P(