5.3誘導公式6題型分類（原卷版）

一、角的對稱(1)角π＋α的終邊與角α的終邊關(guān)于原點對稱，如圖(a)；(2)角－α的終邊與角α的終邊關(guān)于x軸對稱，如圖(b)；(3)角π－α的終邊與角α的終邊關(guān)于y軸對稱，如圖(c)．二、誘導公式公式二sin(π＋α)＝－sinαcos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tanα公式三sin(－α)＝－sinαcos(－α)＝cosαtan(－α)＝－tanα公式四sin(π－α)＝sinαcos(π－α)＝－cosαtan(π－α)＝－tanα(1)公式一、二、三、四都叫做誘導公式，它們可概括如下：①記憶方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號，可以簡單地說成“函數(shù)名不變，符號看象限”．②解釋：“函數(shù)名不變”是指等式兩邊的三角函數(shù)同名；“符號”是指等號右邊是正號還是負號；“看象限”是指假設α是銳角，要看原三角函數(shù)是取正值還是負值，如sin(π＋α)，若把α看成銳角，則π＋α在第三象限，正弦在第三象限取負值，故sin(π＋α)＝－sinα.(2)利用誘導公式一和三，還可以得到如下公式：sin(2π－α)＝－sinα，cos(2π－α)＝cosα，tan(2π－α)＝－tanα.三、誘導公式五、六(1)公式五、六中的角α是任意角．(2)誘導公式一～六中的角可歸納為k·eq\f(π,2)±α的形式，可概括為“奇變偶不變，符號看象限”．①“變”與“不變”是針對互余關(guān)系的函數(shù)而言的．②“奇”“偶”是對誘導公式k·eq\f(π,2)±α中的整數(shù)k來講的．③“象限”指k·eq\f(π,2)±α中，將α看成銳角時，k·eq\f(π,2)±α所在的象限，根據(jù)“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符號規(guī)律確定原函數(shù)值的符號．(3)利用誘導公式五、六，結(jié)合誘導公式二，還可以推出如下公式：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－sinα，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sinα.（一）給角求值利用誘導公式求任意角的三角函數(shù)值的步驟(1)“負化正”——用公式一或三來轉(zhuǎn)化；(2)“大化小”——用公式一將角化為0°到360°間的角；(3)“小化銳”——用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角；(4)“銳求值”——得到銳角的三角函數(shù)后求值．題型1：給角求值11．（23·24上·自貢·期中）（

）A． B． C． D．12．（23·24上·江西·開學考試）（

）A． B． C． D．13．（23·24上·商洛·期末）（

）A． B．0 C． D．14．（23·24·全國·專題練習）求值：=（

）A． B． C． D．15．（23·24上·武威·期中）已知16．（23·24·全國·專題練習）求下列各式的值．(1)；(2)；(3)．(4)；(5).17．（23·24上·撫州·期末）設，，，則（

）A． B． C． D．（二）給式(值)求值1、解決條件求值問題的策略(1)解決條件求值問題，首先要仔細觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運算之間的差異及聯(lián)系．(2)可以將已知式進行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M行變形向已知式轉(zhuǎn)化．2、解答此類題目的關(guān)鍵在于利用數(shù)學中化歸的思想來探究兩個角(或整體)之間的關(guān)系，當尋找到角與角之間的聯(lián)系后，未知角這一整體的三角函數(shù)值可以通過已知角的三角函數(shù)值和有關(guān)的三角公式求得，這是三角函數(shù)解題技巧之一.題型2：給式(值)求值21．（23·24上·日照·開學考試）已知角的終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．22．（23·24上·朝陽·階段練習）若，則（

）A． B． C． D．23．（23·24上·玉溪·期末）已知，，則（

）A． B． C． D．24．（23·24上·全國·課時練習）已知，則的值為（

）A． B．C． D．25．（23·24上·伊犁·期末），那么（

）A． B． C． D．（三）三角函數(shù)式的化簡1、三角函數(shù)式化簡的常用方法(1)依據(jù)所給式子合理選用誘導公式將所給角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為另一個角的三角函數(shù)．(2)切化弦：一般需將表達式中的切函數(shù)轉(zhuǎn)化為弦函數(shù)．(3)注意“1”的應用：1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4).(4)用誘導公式進行化簡時，若遇到kπ±α的形式，需對k進行分類討論，然后再運用誘導公式進行化簡．2、三角函數(shù)式的化簡注意:(1)利用誘導公式將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù);(2)常用“切化弦”法，即通常將表達式中的切函數(shù)化為弦函數(shù);(3)注意“1”的變形應用.題型3：三角函數(shù)式的化簡31．（23·24上·北京·期中）化簡的結(jié)果為（

）A． B． C． D．32．（23·24上·海淀·期中）化簡（

）A． B． C． D．33．（23·24上·虹口·階段練習）化簡：．34．（23·24上·紅橋·期末）若，則化簡=（

）A． B． C． D．35．（23·24上·濟南·階段練習）已知角終邊上一點，則的值為（

）A． B． C． D．36．（23·24上·全國·單元測試）已知是方程的根，α是第三象限角，則＝.37．（23·24·全國·專題練習）（1）化簡：.（2）化簡；（3）化簡．（4）化簡；（5）化簡；（6）已知，求的值.（四）由已知角求未知角的三角函數(shù)值①觀察已知角與未知角之間的關(guān)系，運用誘導公式將會不同名的函數(shù)化為同名的函數(shù)，將不同的角化為相同的角是解決問題的關(guān)鍵;②對于有條件的三角函數(shù)求值題，求解的一般方法是從角的關(guān)系上尋求突破，找到所求角與已知角之間的關(guān)系，結(jié)合誘導公式，進而把待求式轉(zhuǎn)化到已知式完成求值;③當所給的角是復合角時，不易看出已知角與所求角的聯(lián)系，可將已知角看成一個整體，用這個整體去表示所求角，便可發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系.題型4：由已知角求未知角的三角函數(shù)值41．（23·24·全國·專題練習）已知，則（

）A． B． C． D．42．（23·24上·北京·期中）已知，則（

）A． B． C． D．43．（23·24上·南寧·期末）已知，則的值為（

）A． B． C． D．44．（23·24上·全國·期末）已知，，則cos()=（

）A． B． C． D．45．（23·24上·福州·期中）已知則的值為（

）A． B． C． D．46．（23·24上·綿陽·階段練習）已知，則（

）A． B． C． D．47．（23·24·遵義·模擬預測）若，則（

）A． B． C． D．48．（23·24·全國·專題練習）已知，則的值等于（

）A． B． C． D．49．（23·24上·虹口·階段練習）已知，求．（五）利用誘導公式證明恒等式解決條件求值問題的策略(1)解決條件求值問題，首先要仔細觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運算之間的差異及聯(lián)系．(2)可以將已知式進行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M行變形向已知式轉(zhuǎn)化．題型5：利用誘導公式證明恒等式51．（23·24上·全國·課時練習）（1）求證：；（2）設，求證.52．（23·24·全國·專題練習）求證：．53．（23·24·全國·課時練習）求證：.54．（23·24·全國·課時練習）求證：．55．（23·24·全國·課時練習）求證：當或3時，.（六）誘導公式的綜合應用誘導公式綜合應用要“三看”一看角：①化大為?。虎诳唇桥c角間的聯(lián)系，可通過相加、相減分析兩角的關(guān)系．二看函數(shù)名稱：一般是弦切互化．三看式子結(jié)構(gòu)：通過分析式子，選擇合適的方法，如分式可對分子分母同乘一個式子變形．題型6：誘導公式的綜合應用61．（23·24·全國·課時練習）已知，則（

）A． B． C． D．62．（23·24上·全國·課時練習）已知，且為第二象限角,，則的值為（

）A．－ B．－C． D．－63．（23·24·全國·課堂例題）若，，則．64．（23·24上·西安·階段練習）已知函數(shù)（且）的圖像過定點，且角的始邊與軸的正半軸重合，終邊過點，則等于（

）A． B． C． D．65．（23·24上·銅梁·階段練習）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在[0，+∞）上是增函數(shù)，若a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a66．（23·24·全國·課時練習）已知角的頂點在坐標原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊經(jīng)過函數(shù)（且）的定點M.(1)求的值；(2)求的值.67．（23·24上·佛山·階段練習）已知．(1)若，且，求a的值；(2)若，求的值．68．（23·24上·遼寧·期中）已知函數(shù).（1）化簡；（2）若，且，求的值；（3）若，求的值.一、單選題1．（23·24上·塔城·期末）的值是（

）A． B． C． D．2．（23·24上·青島·階段練習）已知，則（

）A． B． C． D．3．（23·24上·馬鞍山·期末）如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點，若線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得（，），則點的縱坐標為（

）A． B． C． D．4．（23·24上·河北·階段練習）2002年國際數(shù)學家大會在北京召開，會標是以我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖為基礎設計.弦圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖)如果小正方形的邊長為1，大正方形的邊長為5，直角三角形中較小的銳角為，則A． B． C． D．5．（23·24上·焦作·期中）已知，（

）A． B． C． D．6．（23·24上·深圳·期末）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．7．（23·24上·河北·階段練習）第24屆冬季奧林匹克運動會，即2022年北京冬季奧運會，是由中國舉辦的國際性奧林匹克賽事．北京時間2月8日，中國選手谷愛凌摘得冬奧會自由式滑雪大跳臺金牌．谷愛凌奪冠的動作叫“向左偏轉(zhuǎn)偏軸轉(zhuǎn)體”，即空中旋轉(zhuǎn)，則（

）A．1 B． C． D．8．（23·24·全國·專題練習）點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．（23·24上·省直轄縣級單位·階段練習）點在直角坐標平面上位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．（23·24上·北京·開學考試）在平面直角坐標系中，角以為始邊，終邊與單位圓交于點，則（

）A． B． C． D．11．（23·24上·蕪湖·期中）已知，且，則（

）A． B． C． D．12．（23·24上·眉山·階段練習）若=，則等于（

）A． B． C． D．13．（23·24上·江蘇·三模）已知，則（

）A． B． C． D．14．（23·24上·哈爾濱·二模）黑洞原指非常奇怪的天體，它體積小，密度大，吸引力強，任何物體到了它那里都別想再出來，數(shù)字中也有類似的“黑洞”，任意取一個數(shù)字串，長度不限，依次寫出該數(shù)字串中偶數(shù)的個數(shù)、奇數(shù)的個數(shù)以及總的數(shù)字個數(shù)，把這三個數(shù)從左到右寫成一個新數(shù)字串；重復以上工作，最后會得到一個反復出現(xiàn)的數(shù)字，我們稱它為“數(shù)字黑洞”，如果把這個數(shù)字設為a，則（

）A． B． C． D．15．（23·24上·金華·階段練習）已知角的終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．二、多選題16．（23·24上·濰坊·階段練習）下列化簡正確的是A． B．C． D．17．（23·24上·九龍坡·階段練習）已知，則下列式子恒成立的是（

）A． B．C． D．18．（23·24上·日照·階段練習）下列各式中值為的是（

）A． B．C． D．19．（23·24上·新疆·期末）已知角的終邊經(jīng)過點，則（

）A． B．C． D．20．（23·24上·無錫·階段練習）下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．三、填空題21．（23·24上·沈陽·階段練習）已知，且，則的值為.22．（23·24·全國·單元測試）當時，若，則的值為．23．（23·24上·閔行·開學考試）已知，則的值為.24．（23·24上·棗莊·三模）已知為銳角，且，則的值為．25．（23·24上·武清·階段練習）已知是第四象限角，且，則.26．（23·24·全國·課時練習）計算：.27．（23·24上·株洲·開學考試）已知，，則.28．（23·24上·深圳·階段練習）若，，則