2023-2024學(xué)年四川省仁壽南區(qū)高二上冊10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年四川省仁壽南區(qū)高二上冊10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題一、單選題1．若向量，向量，則（

）A． B．C． D．2．從數(shù)學(xué)必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書，那么互斥而不對立的兩個事件是（

）A．至少有一本政治與都是數(shù)學(xué) B．至少有一本政治與都是政治C．至少有一本政治與至少有一本數(shù)學(xué) D．恰有1本政治與恰有2本政治3．已知M、N分別是四面體OABC的棱OA，BC的中點，點P在線段MN上，且MP=2PN，設(shè)向量，，，則=（

）A． B．C． D．4．已知，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法錯誤的是（

）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則6．某省在新的高考改革方案中規(guī)定：每位考生的高考成績是按照3（語文、數(shù)學(xué)、英語）（物理、歷史）選（化學(xué)、生物、地理、政治）選2的模式設(shè)置的，則某考生選擇物化生組合的概率是（

）A． B． C． D．7．在四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，，點為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B．C． D．8．如圖，在邊長為的正方體中，為的中點，點在底面上移動，且滿足，則線段的長度的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．下面四個結(jié)論正確的是（

）A．向量，若，則．B．若空間四個點，，則三點共線．C．已知向量，，若，則為鈍角．D．已知是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底；10．是空氣質(zhì)量的一個重要指標(biāo),我國標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值,即日均值在以下空氣質(zhì)量為一級,在之間空氣質(zhì)量為二級,在以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).如圖是某地11月1日到10日日均值（單位:）的統(tǒng)計數(shù)據(jù),則下列敘述不正確的是（

）A．從5日到9日,日均值逐漸降低B．這10天中日均值的平均數(shù)是49.3C．這10天的日均值的中位數(shù)是45D．從這10天的日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機抽出一天的數(shù)據(jù),空氣質(zhì)量為一級的概率是11．下列敘述正確的是（

）A．互斥事件不一定是對立事件，但是對立事件一定是互斥事件B．甲?乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率為，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿镃．從裝有個紅球和個黑球的口袋內(nèi)任取個球，至少有一個黑球與至少有一個紅球是兩個互斥而不對立的事件D．在件產(chǎn)品中，有件一等品和件二等品，從中任取件，那么事件“至多一件一等品”的概率為12．已知三棱柱為正三棱柱，且，，是的中點，點是線段上的動點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．正三棱柱外接球的表面積為B．若直線與底面所成角為，則的取值范圍為C．若，則異面直線與所成的角為D．若過且與垂直的截面與交于點，則三棱錐的體積的最小值為三、填空題13．用分層抽樣的方法從某校高中學(xué)生中抽取一個容量為45的樣本，其中高二年級有學(xué)生600人，抽取了15人.則該校高中學(xué)生總數(shù)是人.14．已知事件A，B，C兩兩互斥，且，，，則．15．在△中，是邊上一點，且，是上的一點，若，則實數(shù)的值為．16．如圖，邊長為1的正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直，動點M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM＝BN＝a（0＜a＜）．則下列結(jié)論：①當(dāng)a＝時，ME與CN相交；②MN始終與平面BCE平行；③異面直線AC與BF所成的角為45°；④MN的最小值為．正確的序號是．四、解答題17．設(shè)A，B，C，D為平面內(nèi)的四點，且.(1)若，求D點的坐標(biāo)；(2)設(shè)向量，若向量與平行，求實數(shù)k的值.18．三棱臺中，若面，分別是中點.(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離．19．某校從高二年級學(xué)生中隨機抽取40名學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，后得到如圖的頻率分布直方圖.(1)求抽取的40名學(xué)生同學(xué)的成績的中位數(shù)；(2)若該校高二年級共有學(xué)生560人，試估計該校高二年級期中考試數(shù)學(xué)成績不低于80分的人數(shù)；(3)若從數(shù)學(xué)成績在與兩個分數(shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機選取兩名學(xué)生，求這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不小于10的概率.20．某高校自主招生考試分筆試與面試兩部分，每部分考試成績只記“通過”與“不通過”，兩部分考試都“通過”者，則考試“通過”，并給予錄取.甲?乙兩人在筆試中“通過”的概率依次為，在面試中“通過”的概率依次為，筆試和面試是否“通過”是獨立的，那么(1)甲?乙兩人都參加此高校的自主招生考試，誰獲得錄取的可能性大？(2)甲?乙兩人都參加此高校的自主招生考試，求恰有一人獲得錄取的概率.21．如圖所示，在四棱錐中，平面，，，且，，，為上一點.

(1)求證：；(2)若為的中點，求與平面所成角的正弦值.22．如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點，四棱錐的體積為．(1)若為棱的中點，求證：平面；(2)在棱上是否存在點，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，指出點的位置并給以證明；若不存在，請說明理由.1．C【分析】利用向量線性運算的坐標(biāo)表示計算.【詳解】向量，向量，則.故選：C2．D【分析】總的可能的結(jié)果為“兩本政治”，“兩本數(shù)學(xué)”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”，然后寫出各個事件包含的事件，結(jié)合互斥事件與對立事件的概念，即可得出答案.【詳解】從裝有2本數(shù)學(xué)和2本政治的四本書內(nèi)任取2本書，可能的結(jié)果有：“兩本政治”，“兩本數(shù)學(xué)”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”，“至少有一本政治”包含事件：“兩本政治”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”.對于A，事件“至少有一本政治”與事件“都是數(shù)學(xué)”是對立事件，故A錯誤；對于B，事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”，兩個事件是包含關(guān)系，不是互斥事件，故B錯誤；對于C，事件“至少有一本數(shù)學(xué)”包含事件：“兩本數(shù)學(xué)”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”，因此兩個事件都包含事件“一本數(shù)學(xué)一本政治”，不是互斥事件，故C錯誤；對于D，“恰有1本政治”表示事件“一本數(shù)學(xué)一本政治”，與事件“恰有2本政治”是互斥事件，但是不對立，故D正確.故選:D.3．C【分析】由空間向量的線性運算，，再轉(zhuǎn)化為用表示即得解【詳解】由題意，=+=×(+)+×=故選：C4．D【分析】根據(jù)空間向量的投影向量公式進行求解.【詳解】，故在上的投影向量為.故選：D5．C【分析】A選項，分和兩種情況，結(jié)合線面垂直得到面面垂直；B選項，作出輔助線，得到線面垂直，得到面面垂直；C選項，舉出反例；D選項，證明出，結(jié)合，所以，D正確.【詳解】A選項，如圖1，當(dāng)，時，因為，所以，如圖2，當(dāng)時，因為，，設(shè)，過點作，則，且因為，所以，所以，A正確；B選項，如圖3，若，，所以，因為，故存在，使得，且，則，因為，所以，因為，故，B正確；則C選項，如圖4，滿足，，，但不滿足，C錯誤；D選項，如圖5，因為，，所以，又，所以，故D正確.故選：C6．D【分析】列舉法求得選物理和歷史的所有種數(shù)，再利用古典概型求解【詳解】在2（物理，歷史）選（化學(xué)、生物、地理、政治）選2中，選物理的有6種，分別為：物化生、物化地、物化政、物生地、物生政、物地政，同時，選歷史的也有6種，共計12種，其中選擇物化生的有1種，某考生選擇物化生的概率是.故選：D7．B【分析】連接交于點，連接，得到（補角）是異面直線與所成角求解．【詳解】解：如圖所示：

連接交于點，連接，因為,所以（補角）是異面直線與所成角．因為平面，平面，所以，又因為四邊形為菱形，所以，又，所以平面PBD，又平面PBD，所以，則為直角三角形，設(shè)，在中，，所以，故選：B．8．D以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點，根據(jù)得出、滿足的關(guān)系式，并求出的取值范圍，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得的最大值.【詳解】如下圖所示，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點、、，設(shè)點，，，，，得，由，得，得，，，當(dāng)時，取得最大值.故選：D.本題考查立體幾何中線段長度最值的計算，涉及利用空間向量法處理向量垂直問題，考查計算能力，屬于中等題.9．ABD【分析】由空間向量的數(shù)量積及其運算性質(zhì)可判斷AC，由空間向量的基本定理與共線定理以及向量基底可判斷BD.【詳解】對于A：因為，，則，故A正確；對于B：因為，則，即，又與有公共點，所以三點共線，故B正確；對于C：若為鈍角：則，且與不共線，由得，當(dāng)時與平行時，，由與不共線得，于是得當(dāng)且時，為鈍角，故C錯誤；對于D：是空間的一組基底，則向量不共面，由，所以也不共面，故也是空間的一組基底，故D正確，故選：ABD10．C【分析】根據(jù)折線圖可知選項A正確,根據(jù)平均數(shù)的計算公式可知選項B正確,將10天的日均值從小到大排列,取中間兩數(shù)的平均數(shù)可知選項C錯誤,數(shù)出日均值在以下的天數(shù),根據(jù)概率計算公式可知選項D正確.【詳解】解:由圖可知從5日到9日,日均值逐漸降低，故選項A正確;由圖平均數(shù)為，故選項B正確;由圖可知這10天的數(shù)據(jù)從小到大排列為：30,32,33,34,45,49,57,58,73,82，故中位數(shù)為:，故選項C錯誤;由數(shù)據(jù)可知,10天中日均值以下有4天，故空氣質(zhì)量為一級的概率是，故選項D正確.故選：C11．ABD【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義判斷AC選項，根據(jù)概率的基本性質(zhì)求BD選項.【詳解】對于A選項：互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，它可以同時不發(fā)生，對立事件是必有一個發(fā)生的互斥事件，A正確；對于B選項：甲不輸?shù)氖录窍鲁珊推宓氖录c甲獲勝的事件和，它們互斥，則甲不輸?shù)母怕蕿?，B正確；對于C選項：由給定條件知，至少有一個黑球與至少有一個紅球這兩個事件都含有一紅一黑的兩個球這一基本事件，即它們不互斥，C錯誤；對于D選項：5件產(chǎn)品中任取兩件有10個基本事件，它們等可能，其中“至多一件一等品”的對立事件為“恰兩件一等品”，有3個基本事件，從而所求概率為，D正確.故選：ABD.12．AD【分析】選項：先求外接圓的半徑，根據(jù)勾股定理求外接球的半徑，從而求表面積；選項：確定出點與重合時，最??；點與重合時，最大，然后在直角三角形中求其正弦值；選項：將正三棱柱補成直四棱柱，然后找異面直線與所成的角；選項：把三棱錐的體積最小，轉(zhuǎn)化為三棱錐的體積最大，然后根據(jù)到平面距離的最大值求三棱錐的體積的最小值.【詳解】選項：因為外接圓的半徑，，所以正三棱柱外接球的半徑，所以外接球的表面積為，故項正確；選項：取的中點，連接，，，，由正三棱柱的性質(zhì)可知平面平面，所以當(dāng)點與重合時，最小，當(dāng)點與重合時，最大，所以，故錯誤；選項：將正三棱柱補成如圖所示的直四棱柱，則(或其補角)為異面直線與所成的角，易得，，所以，故項錯誤；選項：如圖所示，因為，所以要使三棱錐的體積最小，則三棱錐的體積最大，設(shè)的中點為，作出截面如圖所示，因為，所以在以為直徑的圓上，所以點到底面距離的最大值為，所以三棱錐的體積的最小值為，故項正確.故選.平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面直線所成的角．13．1800【分析】利用比例求出學(xué)生總數(shù).【詳解】，故該校高中學(xué)生總數(shù)是1800人.故180014．0.9##【分析】由互斥事件與對立事件的相關(guān)公式求解【詳解】由題意得，則．故0.915．【詳解】分析：根據(jù)向量的加減運算法則，通過，把用和表示出來，可得m的值．詳解：如圖：∵，∴，則，又∵B，P，N三點共線，∴，故得m=．故答案為．點睛：點O是直線l外一點，點A，B是直線l上任意兩點，求證：直線上任意一點P，存在實數(shù)t，使得關(guān)于基底{OA,OB}的分析式為反之，若則A，P，B三點共線（特別地令t=,稱為向量中點公式）16．②④【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解.【詳解】由題意，以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由正方形，的邊長1，所以因為，所以，若與相交，則四點共面，又在平面，所以當(dāng)且僅當(dāng)在平面時，與相交，此時，故①錯誤；平面的法向量為，，，，所以MN始終與平面BCE平行，故②正確；，設(shè)異面直線與所成的角為，，所以異面直線AC與BF所成的角為，故③錯誤；，故④正確.故②④17．(1)；(2).【分析】（1）求出向量坐標(biāo)，再利用相等向量列出方程組，求解作答.（2）求出的坐標(biāo)，再利用向量線性運算的坐標(biāo)表示，及共線向量的坐標(biāo)表示求解作答.【詳解】（1）設(shè)，因為，于是，整理得，即有，解得，所以.（2）因為，所以，，因為向量與平行，因此，解得，所以實數(shù)k的值為.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接、，即可得到四邊形是平行四邊形，從而得到，即可得證；（2）方法一：幾何法，過作，垂足為，作，垂足為，連接，過作，垂足為，由線面垂直的性質(zhì)得到，再由，從而得到平面，再證明平面，從而求出，最后由點到平面的距離是到平面的距離的兩倍，即可得解；方法二：利用等體積法計算可得.【詳解】（1）連接、，由分別是的中點，根據(jù)中位線性質(zhì)，，且，由棱臺性質(zhì)，，于是，又由可知，四邊形是平行四邊形，則，又平面，平面，于是平面.（2）方法一：過作，垂足為，作，垂足為，連接，過作，垂足為.由題干數(shù)據(jù)可得，，，，根據(jù)勾股定理，，因為面，面，所以，所以，所以平面，又平面，則，又，，平面，于是平面.又平面，則，又，，平面，故平面，在中，，又，故點到平面的距離是到平面的距離的兩倍，即點到平面的距離是.方法二：過作，垂足為，作，垂足為，因為面，面，所以，所以，所以平面，由題干數(shù)據(jù)可得，，，，根據(jù)勾股定理，，設(shè)點到平面的距離為，則，，由，解得.19．(1)75分；(2)196；(3).【分析】（1）由各組的頻率和為1，求出，再利用中位數(shù)的定義可求得結(jié)果；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求出成績不低于80分的頻率，再乘以560可乘以所求的人數(shù)；（3）根據(jù)頻率分布直方圖求出數(shù)學(xué)成績在與兩個分數(shù)段內(nèi)的學(xué)生的頻率，從而可求出各段上的人數(shù)，然后列出所有的情況，以及兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不小于10的情況，再利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得，解得，因為前3組的頻率和，前4組的頻率和，所以中位數(shù)在第4組，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，所以中位數(shù)為75分；（2）由頻率分布直方圖可得成績不低于80分的頻率為，因為該校高二年級共有學(xué)生560人，所以該校高二年級期中考試數(shù)學(xué)成績不低于80分的人數(shù)約為（人）；（3）由頻率分布直方圖可得成績在內(nèi)的人數(shù)為人，記為，成績在內(nèi)的人數(shù)為人，記為，若從數(shù)學(xué)成績在與兩個分數(shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機選取兩名學(xué)生的所有情況有：，，，，共15種情況，其中兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不小于10的有：，，共8種，所以所求概率為.20．(1)甲獲得錄取的可能性大；(2).【分析】（1）利用獨立事件的乘法公式求出甲?乙兩人被錄取的概率并比較大小，即得結(jié)果.（2）應(yīng)用對立事件、獨立事件的概率求法，結(jié)合互斥事件的加法公式求恰有一人獲得錄取的概率.【詳解】（1）記“甲通過筆試”為事件，“甲通