2023-2024學(xué)年四川省成都市高二上學(xué)期九月調(diào)研考試（校級(jí)聯(lián)考）數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat21頁(yè)2023-2024學(xué)年四川省成都市高二上學(xué)期九月調(diào)研考試（校級(jí)聯(lián)考）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間點(diǎn)關(guān)于面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系求解.【詳解】由空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，可得點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B．2．下列說(shuō)法正確的是（

）A．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體B．有2個(gè)面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺(tái)C．多面體至少有5個(gè)面D．六棱柱有6條側(cè)棱，6個(gè)側(cè)面，側(cè)面均為平行四邊形【答案】D【分析】根據(jù)多面體、棱柱和棱臺(tái)的定義判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)：各側(cè)面都是正方形的四棱柱，可以是底面為菱形的直棱柱，不一定是正方體，故A錯(cuò)；B選項(xiàng)：有2個(gè)面平行，其余各面都是梯形，但若是各側(cè)棱的延長(zhǎng)線不能交于一點(diǎn)，則該幾何體不是棱臺(tái)，故B錯(cuò)；C選項(xiàng)：多面體是指四個(gè)或四個(gè)以上多邊形所圍成的立體，故C錯(cuò)；D選項(xiàng)：根據(jù)棱柱的定義可知六棱柱有6條側(cè)棱，6個(gè)側(cè)面，側(cè)面均為平行四邊形，故D正確.故選：D.3．設(shè)直線，平面，則下列條件能推出的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】B【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A.，且，由于無(wú)法得知是否相交，所以不能得到，對(duì)于B.，且，則，故B正確，對(duì)于C.，且，此時(shí)可能相交，對(duì)于D.，且，則可能相交，故選：B4．已知，若直線過(guò)點(diǎn)，則的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出直線的斜率，即可求得答案.【詳解】斜率存在，設(shè)直線的傾斜角為，則由題意，故，則，故的傾斜角為．故選：A．5．利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽查某工廠的100件產(chǎn)品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余為不合格品，現(xiàn)在這個(gè)工廠隨機(jī)抽查一件產(chǎn)品，設(shè)事件A為“是一等品”，B為“是合格品”，C為“是不合格品”，則下列結(jié)果錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合互斥事件的定義，以及頻率與頻數(shù)的關(guān)系，即可求解．【詳解】解：由題意可知，A，B，C為互斥事件，，，故B正確，C錯(cuò)誤，抽查某工廠的100件產(chǎn)品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余為不合格品，則，，故A正確，，故D正確．故選：C．6．已知點(diǎn)是直線：和：的交點(diǎn)，點(diǎn)是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意分析可知點(diǎn)的軌跡是以的中點(diǎn)，半徑的圓，結(jié)合圓的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)橹本€：，即，令，解得，可知直線過(guò)定點(diǎn)，同理可知：直線過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)?，可知，所以直線與直線的交點(diǎn)的軌跡是以的中點(diǎn)，半徑的圓，因?yàn)閳A的圓心，半徑，所以的最大值是.故選：B.7．已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先對(duì)所求式子配方整理，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，求直線上一點(diǎn)，到直線同側(cè)的兩點(diǎn)間的距離之和的最小值，就是將軍飲馬求最值問(wèn)題，先對(duì)其中一點(diǎn)作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)一步把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，求兩點(diǎn)間的距離，求解即可.【詳解】該式子是表示點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和，又，上述式子表示直線上的點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和的最小值（如圖）.

設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則有，解得，即，所以，所以直線上的點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和的最小值為.故選：D.8．直觀想象是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，某位教師為了培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，在課堂上提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：現(xiàn)有10個(gè)直徑為4的小球，全部放進(jìn)棱長(zhǎng)為a的正四面體盒子中，則a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析10個(gè)小球在正四面體內(nèi)的位置情況，把正四面體的高用小球半徑與正四面體的棱長(zhǎng)表示，列等式即可求解.【詳解】我們先來(lái)證明如下引理：如下圖所示：

設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為，面，，所以，，顯然為面的重心，所以，由勾股定理可得面,所以正四面體的高等于其棱長(zhǎng)的面倍.接下來(lái)我們來(lái)解決此題：如下圖所示：

10個(gè)直徑為4的小球放進(jìn)棱長(zhǎng)為a的正四面體中，成三棱錐形狀，有3層，則從上到下每層的小球個(gè)數(shù)依次為：1，，個(gè)，當(dāng)a取最小值時(shí)，從上到下每層放在邊緣的小球都與正四面體的側(cè)面相切，底層的每個(gè)球都與正四面體底面相切，任意相鄰的兩個(gè)小球都外切，位于每層正三角狀頂點(diǎn)的所有上下相鄰小球的球心連線為一個(gè)正四面體，則該正四面體的棱長(zhǎng)為，可求得其高為，所以正四面體的高為，進(jìn)而可求得其棱長(zhǎng)a的最小值為．故選：B.二、多選題9．若直線：在軸和軸上的截距相等，則直線的斜率為（

）A． B．1 C． D．2【答案】AC【分析】求出直線的橫縱截距，并求出a值，再求出直線的斜率作答.【詳解】依題意，，直線：在軸和軸上的截距分別為和，因此，解得或，所以直線的斜率為或.故選：AC10．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》第五卷“商功”中，把底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽(yáng)馬”.今有“陽(yáng)馬”平面分別為棱的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．平面 B．平面C．平面平面 D．平面平面【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)中位線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；B選項(xiàng)，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到，然后根據(jù)線面垂直的判定定理得到平面，再結(jié)合，即可得到平面；C選項(xiàng)，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，垂直交線，若平面平面，則平面，而不垂直平面，故可說(shuō)明平面平面不成立；D選項(xiàng)，根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到，即可得到平面，然后根據(jù)面面垂直的判定定理證明即可.【詳解】

A選項(xiàng)：連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以∥平面，故A正確；B選項(xiàng)：連接，因?yàn)?，四邊形為矩形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，又，所以平面，故B正確；C選項(xiàng)：設(shè)，則為中點(diǎn)，由題意得，所以，取中點(diǎn)，連接，所以，設(shè)，則，，，因?yàn)?，所以與不垂直，即與不垂直，不垂直平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，所以平面與平面不垂直，故C錯(cuò).D選項(xiàng)：因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，故D正確.故選：ABD.11．（多選題）已知向量滿足.設(shè)，則（）A．的最小值為B．的最小值為C．的最大值為D．無(wú)最大值【答案】BD【分析】利用平方的方法化簡(jiǎn)已知條件，先求得，然后建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得點(diǎn)的軌跡，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求得正確答案.【詳解】因?yàn)椋?又，所以，解得，因?yàn)椋?建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，因?yàn)椋?，整理得，即點(diǎn)的軌跡是：圓心為，半徑為的圓，設(shè)，則點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則，令點(diǎn)到直線的距離為，則，無(wú)最大值.故選：BD12．三棱錐的各頂點(diǎn)均在半徑為2的球O表面上，，，則（

）A．有且僅有2個(gè)點(diǎn)P滿足B．有且僅有2個(gè)點(diǎn)P滿足與所成角為C．的最大值為D．的最大值為【答案】AC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用方程組的思想進(jìn)行求解方程的個(gè)數(shù)，從而判斷A、B兩個(gè)選項(xiàng)的正誤；運(yùn)用函數(shù)思想借助三角換元法判斷C、D兩個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

故有，，，設(shè)，球心，因?yàn)槿忮F的各頂點(diǎn)均在半徑為2的球O表面上，所以有，即，解得，即，因?yàn)辄c(diǎn)在球面上，所以，即，因?yàn)椋?，由，，?lián)立方程組得，化簡(jiǎn)得，即有，選項(xiàng)A：，，因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，所以，所以，化?jiǎn)得，因?yàn)?，所以?）有兩解，故A選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B：因?yàn)榕c所成角為60°，所以，所以，解得，又，所以，所以，化簡(jiǎn)得，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以此時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的解為或，此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有四個(gè)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：因?yàn)?，且，所以，化?jiǎn)得，即，設(shè)，即，故，（其中），所以當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：由選項(xiàng)C得，所以所以當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AC.三、填空題13．已知直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍為.【答案】【分析】由直線與圓的位置關(guān)系數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可.【詳解】，即過(guò)定點(diǎn)，，即曲線為原點(diǎn)為圓心，2為半徑的半圓，如圖所示，設(shè)與曲線切于點(diǎn)C，曲線與橫軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，

則，，故.故答案為：.14．一組數(shù)據(jù)的平均值為3，方差為1，記的平均值為a，方差為b，則.【答案】【分析】利用平均數(shù)和方差的運(yùn)算性質(zhì)可求出值，再求即可.【詳解】因?yàn)橐唤M數(shù)據(jù)的平均值為3，方差為1，所以的平均值為，方差為，所以，，所以.故答案為:15．三棱錐中，兩兩垂直，，點(diǎn)M為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，記直線與直線的所成角的余弦值的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)已知條件先確定出在平面內(nèi)的軌跡，然后通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)兩直線方向向量夾角的余弦值結(jié)合三角函數(shù)值的范圍，計(jì)算出兩直線所成角的余弦值的取值范圍.【詳解】因?yàn)閮蓛纱怪保?，所以由勾股定理可知，所以三棱錐為正三棱錐，記在底面內(nèi)的投影為，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以的軌跡是以為圓心半徑為的圓，取中點(diǎn)，連接，可知經(jīng)過(guò)點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：設(shè)，，，所以，所以，設(shè)直線與直線的所成角為.所以故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：異面直線所成角的余弦值的向量求法：（1）先分別求解出兩條異面直線的一個(gè)方向向量；（2）計(jì)算出兩個(gè)方向向量夾角的余弦值；（3）根據(jù)方向向量夾角的余弦值的絕對(duì)值等于異面直線所成角的余弦值求解出結(jié)果.16．函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【分析】設(shè)，，得到為單位圓上的動(dòng)點(diǎn)；令，根據(jù)直線斜率的坐標(biāo)運(yùn)算得到表示該單位圓上的點(diǎn)與點(diǎn)所在直線的斜率，將其轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)的直線與單位圓有交點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，聯(lián)立方程消得到關(guān)于的一元二次方程，令求得的范圍，從而求解.【詳解】由題意得：，設(shè)，，則，所以為單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，且，令，即表示該單位圓上的點(diǎn)與點(diǎn)所在直線的斜率.如圖：

設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，即直線與單位圓有交點(diǎn)，聯(lián)立，消整理得：，所以，化簡(jiǎn)得：，解得：，所以，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.四、解答題17．圓的圓心為，且過(guò)點(diǎn).(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與圓交兩點(diǎn)，且，求.【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用兩點(diǎn)間距離公式求出圓的半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求出圓心到直線的距離，利用垂徑定領(lǐng)列出方程，求出.【詳解】（1）設(shè)圓的半徑為，則，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）設(shè)圓心到直線的距離為，則，由垂徑定理得：，即，解得：或.18．某山村海拔較高，交通極為不便，被稱為“云端上的村莊”，系建檔立卡貧困村.民政部門為此組建了精準(zhǔn)扶貧隊(duì)對(duì)該村進(jìn)行定點(diǎn)幫扶，扶貧組在實(shí)地調(diào)研后，立足當(dāng)?shù)鬲?dú)特優(yōu)勢(shì)，大力發(fā)展鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，帶動(dòng)全村父老鄉(xiāng)親脫貧奔小康.為了解貧困戶的幫扶情況，該地民政部門從本村的貧困戶中隨機(jī)抽取100戶對(duì)去年的年收入進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查，得到如下表所示的頻數(shù)表：收入（千元）頻數(shù)151035201010(1)估計(jì)本村的貧困戶的年收入的眾數(shù)、第75百分位數(shù)；(2)用分層抽樣的方法從這100戶貧困戶抽取20戶貧困戶進(jìn)行幫扶，若再?gòu)某闃诱{(diào)查收入在和的貧困戶中隨機(jī)選取2戶作為重點(diǎn)幫扶對(duì)象，求至少有一戶來(lái)自收入在千元的概率；【答案】(1)11，13.5；(2).【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)表求眾數(shù)及百位數(shù)即可；（2）根據(jù)分層抽樣可得在和范圍抽取的貧困戶數(shù)分別為3戶和2戶，再利用古典概型計(jì)算概率即可.【詳解】（1）眾數(shù)為；由于前三組的頻率之和為，前四組的頻率之和為∴第75百分位數(shù)在第4組中，設(shè)第75百分位數(shù)為，則有：，解得：，即第75百分位數(shù)為13.5；（2）由頻數(shù)表及分層抽樣可知在收入范圍內(nèi)抽取的戶數(shù)為，在收入范圍內(nèi)抽取的戶數(shù)，記年收入在的3名貧困戶分別為A，，，年收入在的2名貧困戶分別為，，則從中隨機(jī)抽取2戶的所有可能結(jié)果為：，，，，，，，，，共10種，其中抽到至少有一名在的貧困戶的可能結(jié)果：，，，，，，有7種，故年收入在的貧困戶至少有1人被抽到的概率：.19．已知圓，直線．(1)若圓O的弦AB恰好被點(diǎn)平分，求弦AB所在直線的方程；(2)點(diǎn)Q是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)Q作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為C，D，求直線CD經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)；(3)過(guò)點(diǎn)作兩條相異的直線，分別與圓O相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，當(dāng)直線ME與直線MF的斜率互為倒數(shù)時(shí)，求證：線段EF的中點(diǎn)G在直線上．【答案】(1)(2)直線CD經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．(3)證明見解析【分析】(1)弦AB恰好被點(diǎn)平分,則,即可求得斜率,根據(jù)點(diǎn)斜式即可得弦AB所在直線的方程;(2)設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)題意可知O,C,Q,D四點(diǎn)共圓,且為直徑,求出新圓圓心和半徑,進(jìn)而求得新圓的方程,進(jìn)而求得直線CD的方程,即可得過(guò)的定點(diǎn),(3)設(shè)出三點(diǎn)坐標(biāo),及直線方程,得出點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而得到點(diǎn)坐標(biāo),求出橫坐標(biāo)的取值范圍,根據(jù)橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系即可得出軌跡方程.【詳解】（1）∵，∴，，即：弦AB所在直線的方程為．（2）直線l與圓O相離，令，線段OQ中點(diǎn)，O，C，Q，D四點(diǎn)位于圓上，CD是圓O與圓K的相交弦，故．即，由且得直線CD經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．（3）點(diǎn)M在圓O上，ME，MF是斜率互為倒數(shù)的兩條互異直線，設(shè)，代入，整理得，，，，∴，，，，故線段EF的中點(diǎn)G在直線上．20．如圖，在四棱錐中，，，點(diǎn)E是線段中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若，求二面角的余弦值【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用中位線定理與平行四邊形證得，從而利用線面平行的判定定理即可得證；（2）依題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭蔷€段中點(diǎn)，所以，，因?yàn)椋?，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?）因?yàn)槠矫嫫矫妫?，因?yàn)?，所以，所以兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

因?yàn)?，，不妨設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為，所以，結(jié)合圖形可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.21．圓，，過(guò)直線交圓于兩點(diǎn)，且在之間.(1)記三角形ABP與三角形ABC的面積分別為與，求的取值范圍;(2)若直線，分別交軸于兩點(diǎn)，，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）由面積大小恒正，結(jié)合基本不等式求目標(biāo)式的范圍，注意邊界值取值條件；（2）設(shè)直線方程及B、C點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線AB、AC方程求M、N坐標(biāo)，結(jié)合已知列方程，應(yīng)用韋達(dá)定理求直線的對(duì)應(yīng)斜率，即可得直線方程.【詳解】（1）若到直線距離為，則，故，根據(jù)圓的對(duì)稱性，討論直線從一條切線位置旋轉(zhuǎn)為一條過(guò)圓心直線的過(guò)程中，從逐漸變小為，對(duì)應(yīng)從0逐漸變大為，所以，故，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)在上遞減，在上遞增，則值域，所以的取值范圍為.（2）直線的斜率一定存在且不為0，設(shè)