2023-2024學(xué)年河北省滄州市泊頭市高二上冊9月月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年河北省滄州市泊頭市高二上冊9月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（每題5分，共40分）1．兩條平行直線：與：之間的距離是（

）A．0 B． C．1 D．2．如圖，在平行六面體中，M在AC上，且，N在上，且．設(shè)，，，則A． B．C． D．3．如圖，在直三棱柱中，D為棱的中點(diǎn)，，，，則異面直線CD與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．4．直線的傾斜角的取值范圍是（）A． B．C． D．5．如圖，在四棱錐中，平面，，，，已知Q是棱上靠近點(diǎn)P的四等分點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為（

）．A． B． C． D．6．下列關(guān)于空間向量的命題中，錯誤的是（

）A．若向量、與空間任意向量都不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則；B．若非零向量、、滿足，，則有；C．若、、是空間向量的一組基底，且，則A、B、C、D四點(diǎn)共面；D．若向量、、是空間向量的一組基底，則、、也是空間向量的一組基底．7．若函數(shù)的圖象與直線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．． C． D．8．已知實(shí)數(shù)滿足曲線的方程，則下列選項(xiàng)錯誤的是（

）A．的最大值是B．的最大值是C．的最小值是D．過點(diǎn)作曲線的切線，則切線方程為二、多選題（每題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．）9．已知直線，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則或C．當(dāng)時(shí)，是直線的方向向量D．原點(diǎn)到直線的最大距離為10．下列結(jié)論正確的是（

）A．與圓相切，且在軸、軸上的截距相等的直線有兩條B．若直線經(jīng)過第三象限，則，C．圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1D．若向量，則稱為在基底下的坐標(biāo)，已知在單位正交基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為11．已知圓，直線，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動，直線，分別切圓C于點(diǎn)A，B.則下列說法正確的是（

）A．四邊形的面積最小值為B．M為圓C上一動點(diǎn)，則最小值為C．最短時(shí)，弦直線方程為D．最短時(shí)，弦長為12．正方體的棱長為2，且，過P作垂直于平面的直線l，分別交正方體的表面于M，N兩點(diǎn).下列說法不正確的是（

）A．平面B．四邊形面積的最大值為C．若四邊形的面積為，則D．若，則四棱錐的體積為三、填空題（每題5分，共20分．16題第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分）13．已知直線過點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到直線的距離為.14．已知直線：與圓交于兩點(diǎn)，則.15．已知圓及點(diǎn)，設(shè)分別是直線和圓上的動點(diǎn)，則的最小值為.16．在棱長為6的正方體中，，點(diǎn)P在正方體的表面上移動，且滿足，當(dāng)P在上時(shí)，；滿足條件的所有點(diǎn)P構(gòu)成的平面圖形的周長為.四、解答題（17題10分，18-22題每題12分，共70分）17．已知空間中三點(diǎn)，，(1)若，且，求向量；(2)若點(diǎn)在平面上，求m的值．18．直線過點(diǎn)且與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)．(1)若直線與直線垂直，求直線的方程；(2)如圖，若，過點(diǎn)P作平行于x軸的直線交y軸于點(diǎn)M，動點(diǎn)E、F分別在線段和上，若直線平分直角梯形的面積，求證：直線必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．19．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱的長為2，且與、的夾角都等于60°，M在棱上，，設(shè)，，．(1)試用，，表示出向量；(2)求．20．已知圓，過點(diǎn)的直線與圓相交于不重合的A，B兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且A，B，O三點(diǎn)構(gòu)成三角形．

(1)求直線l的斜率的取值范圍；(2)的面積為，求的最大值，并求取得最大值時(shí)的值．21．已知四邊形ABCD為平行四邊形，E為CD的中點(diǎn)，AB=4，為等邊三角形，將三角形ADE沿AE折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且平面平面ABCE.(1)求證：；(2)試判斷在線段PB上是否存在點(diǎn)F，使得平面AEF與平面AEP的夾角為45°.若存在，試確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請說明理由.22．如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，設(shè)的二面角為.

(1)當(dāng)時(shí)，求的體積；(2)設(shè)N為的中點(diǎn)，，求的取值范圍.1．B【分析】利用平行線間距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，兩平行線間的距離為，故選：B2．A利用向量回路方法運(yùn)算求解即可.【詳解】解：因?yàn)镸在AC上，且，N在上，且，所以，，在平行六面體中，，，，所以，，所以，故選：A．本題考查空間向量的線性運(yùn)算，利用向量回路方法是常用的方法.3．A【分析】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.運(yùn)用異面直線的空間向量求解方法，可求得答案.【詳解】解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知可得，，，，則，，所以.又因?yàn)楫惷嬷本€所成的角的范圍為，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.4．B【分析】設(shè)直線的傾斜角為.由已知，可推得.分兩種情況時(shí)以及時(shí)，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)求解即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為.因?yàn)?，，，所以?又，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，解，可得；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，解，可得.綜上所述，.故選：B.5．C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)、的坐標(biāo)，求出平面的法向量，最后求出與平面所成角的正弦值.【詳解】平面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，..易知平面的法向量.設(shè)與平面所成角為，則.故選：C.6．B【分析】根據(jù)向量的性質(zhì)判斷A、B；由基底的定義，結(jié)合向量共面定理判斷C、D.【詳解】A：若向量、與空間任意向量都不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則它們與空間任意向量都共面，則必共線，即，對；B：當(dāng)所成平面與垂直時(shí)，不一定成立，錯；C：由題設(shè)，即，所以A、B、C、D四點(diǎn)共面，對；D：若、、不是空間向量的一組基底，即它們共面，結(jié)合向量加法的幾何意義知：向量、、必共面，與向量、、是空間向量的一組基底矛盾，對；故選：B7．A【分析】作出函數(shù)的圖象，利用直線與圓的位置關(guān)系求解.【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：由圖象知：當(dāng)直線過點(diǎn)A（-1，0）時(shí)，m=1；當(dāng)直線與半圓相切時(shí)：，解得或（舍去）；因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與直線有公共點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：A8．C【分析】選項(xiàng)A轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離公式的平方即可求解；選項(xiàng)B轉(zhuǎn)化為斜率即可求解；選項(xiàng)C轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離的倍即可求解；選項(xiàng)D設(shè)出切線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離為半徑即可求解【詳解】的方程可化為，它表示圓心，半徑為的圓.對選項(xiàng)A：表示圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方，故它的最大值為，A正確；對選項(xiàng)B：表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的連線的斜率，由圓心到直線的距離，可得，B正確；對選項(xiàng)C：表示圓上任意一點(diǎn)到直線的距離的倍，圓心到直線的距離，所以其最小值為，故C錯誤；對選項(xiàng)D：設(shè)過點(diǎn)作曲線的切線，則其斜率存在，故可設(shè)切線方程為，由，解得，故切線方程為，故D正確.故選：C.9．AD【分析】根據(jù)垂直關(guān)系計(jì)算得到A正確；當(dāng)時(shí)，兩條直線重合，B錯誤；計(jì)算斜率得到C錯誤；過定點(diǎn)，最大距離為，計(jì)算得到D正確，得到答案.【詳解】對選項(xiàng)A：，則，解得，正確；對選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，兩條直線重合，錯誤；對選項(xiàng)C：時(shí)，，斜率為，的方向向量是，錯誤；對選項(xiàng)D：過定點(diǎn)，故原點(diǎn)到直線的最大距離為，正確.故選：AD10．CD【分析】根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)，可判斷A；根據(jù)直線一般式方程舉反例，可判斷B；根據(jù)計(jì)算圓心到直線的距離，可判斷C；根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示的定義，可判斷D.【詳解】對于A，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，直線方程為或，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或0（舍去），直線方程為，綜上所述，與圓相切，且在軸?軸上的截距相等的直線有三條，A選項(xiàng)錯誤；對B，當(dāng)，時(shí)，也滿足直線經(jīng)過第三象限，故B錯誤；對C，圓的圓心為，半徑為2，圓心到直線的距離為，所以圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，C選項(xiàng)正確；對D，由題，在單位正交基底下的坐標(biāo)為，則有，設(shè)，，，解得，即，在基底下的坐標(biāo)為，故D正確.故選：CD.11．ACD【分析】根據(jù)已知，結(jié)合圖形，利用直角三角形、圓的性質(zhì)、直線方程以及點(diǎn)到直線的距離公式、勾股定理計(jì)算求解.【詳解】對于A，由切線長定理可得，又因?yàn)?，所以，所以四邊形的面積，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取最小值，且，所以四邊形的面積的最小值為，故A正確；對于B，因?yàn)椋宰钚≈禐?，故B錯誤；對于C，由題意可知點(diǎn)，，在以為直徑的圓上，設(shè)，其圓的方程為：，化簡為，與方程相減可得：，則直線的方程為，當(dāng)最短時(shí)，，則，解得，故直線的方程為，故C正確；對于D，當(dāng)最短時(shí)，圓心C到直線的距離，所以弦長為，故D正確.故選：ACD.

難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于C的判斷，解答時(shí)要注意結(jié)合圓的公共弦方程的求解，求出直線AB方程，然后利用垂徑定理求出弦長.12．ACD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量坐標(biāo)表示求解.【詳解】因?yàn)榕c不垂直.所以與平面不垂直.A不正確.如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.因?yàn)?所以.因?yàn)槠矫?，所以，則，.若平面，則，即，，；若平面.則，即，，.因?yàn)?，所以四邊形的面積當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，且最大值為，點(diǎn)B到直線的距離為，即點(diǎn)B到平面的距離為，故四棱錐的體積，B正確，D不正確.若四邊形的面積為.則或，解得或，C不正確.13．【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的單位化公式，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】取直線的方向向量為，因?yàn)?，，所以，，，，所以點(diǎn)到直線的距離為.故答案為.14．【分析】根據(jù)題意，利用圓的弦長公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】由圓，可得圓心坐標(biāo)為，半徑為，又由圓心到直線的距離為，根據(jù)圓的弦長公式，可得.故答案為.15．##【分析】先求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，從而將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，由此利用點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最小距離即可得解.【詳解】因?yàn)閳A，所以圓心，半徑為，所以圓心到直線的距離為，則直線與圓相離，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，則，結(jié)合圖像，可知，又到圓上點(diǎn)的最短距離為，所以，則，所以的最小值為.故答案為..16．【分析】取上的點(diǎn)分別為，連接，使得，得到四邊形為梯形，得到點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為梯形，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，求得點(diǎn)為位置，進(jìn)而求得和點(diǎn)的軌跡梯形的周長.【詳解】如圖所示，取上的點(diǎn)分別為，連接，使得，所以四點(diǎn)共面，且四邊形為梯形，因?yàn)?，且，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，同理可證：平面，因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)辄c(diǎn)在正方體的表面上移動，且，所以點(diǎn)的運(yùn)動的軌跡為梯形，由正方體的棱長為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以，所以?dāng)點(diǎn)在上時(shí)，可得，又因?yàn)?，，所以梯形為等腰梯形，所以梯形的周長為.故；.

17．(1)，或.(2)【分析】（1）可求.由已知可設(shè)，通過解出，代入即可；（2）由已知得，四點(diǎn)共面，則存在唯一一組實(shí)數(shù)對，使得成立，代入坐標(biāo)得到方程組，求解即可得到m的值.【詳解】（1）由已知得，，因?yàn)?，設(shè)，則，所以，或.（2）由已知得，，點(diǎn)在平面ABC上，則存在唯一一組實(shí)數(shù)對，使得成立，即，解得，所以18．(1)(2)證明見解析；定點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直可求得直線的斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程即可求出直線的方程；（2）分別設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由向量可解得，利用梯形的面積可得的坐標(biāo)需滿足，分情況討論直線方程即可知其過定點(diǎn).【詳解】（1）易知直線的斜率為，設(shè)直線的斜率為，由兩直線垂直可得，解得；又過點(diǎn)，所以，即，所以直線的方程為.（2）證明：設(shè)，又，可得；由可得，解得；易知，，所以梯形的面積為，可得梯形的面積為6，不妨設(shè)，可得，即；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，將代入上式可得，由可得，即不論為何值時(shí)，直線恒過定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過點(diǎn)；綜上可知，直線必過定點(diǎn).19．(1)；(2)【分析】（1）由向量對應(yīng)線段的位置關(guān)系，結(jié)合向量加減、數(shù)乘的幾何意義用，，表示出即可；（2）應(yīng)用數(shù)量積的運(yùn)算律及其定義求即可.【詳解】（1）由圖知：，，.（2）.20．(1)(2)的最大值為2，取得最大值時(shí)．【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)直線的方程：，可以考慮求得圓心到直線的距離，然后由直線與圓相交列出不等式，或者聯(lián)立直線與圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理列出不等式，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分別結(jié)合弦長公式與點(diǎn)到直線的距離公式，表示出的面積，結(jié)合函數(shù)的最值即可得到結(jié)果.【詳解】（1）解法一；設(shè)直線的斜率為，則直線的方程：，由題意知：圓心到直線的距離，因?yàn)橹本€與圓相交于不重合的兩點(diǎn)，且三點(diǎn)構(gòu)成三角形，所以．得，解得且，所以的取值范圍為．解法二：設(shè)直線的斜率為，則直線的方程：，聯(lián)立，化簡得：．，得，因?yàn)槿c(diǎn)構(gòu)成三角形，所以，所以的取值范圍為．（2）直線，即，點(diǎn)到直線距離：，所以．所以且．設(shè)，則，所以．所以當(dāng)，即，即時(shí)，．所以的最大值為2，取得最大值時(shí)．21．(1)證明見解析(2)存在，點(diǎn)F為線段PB的靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)【分析】（1）由BE⊥AE結(jié)合平面AEP⊥平面ABCE得出BE⊥平面APE，再由線面垂直的定義得出；（2）以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，且為等邊三角形，所以∠BCE=120o.又E為CD的中點(diǎn)，所以CE=ED=DA=CB，即為等腰三角形，所以∠CEB=30o.所以∠AEB=180o－∠AED－∠BEC=90o，即BE⊥AE.又因?yàn)槠矫鍭EP⊥平面ABCE，平面平面AB