2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高二上冊9月月考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高二上冊9月月考數(shù)學(xué)模擬試題第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題分別給出四個(gè)選項(xiàng)，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）1．空間向量（

）A． B． C． D．2．點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面對稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．3．設(shè)向量不共面，則下列可作為空間的一個(gè)基底的是（

）A． B．C． D．4．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．5．如圖，平行六面體中，AC與BD的交點(diǎn)為M，設(shè)，，，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B．C． D．6．已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．如圖，在一個(gè)的二面角的棱上，有兩個(gè)點(diǎn)A、B，AC、BD分別是在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)垂直于AB的線段，且，，，則CD的長為（

）cm．

A． B． C．5 D．8．如圖，在三棱錐中，，平面ABC，于點(diǎn)E，M是AC的中點(diǎn)，，則的最小值為（

）

A． B． C． D．二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．空間直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)到下列各點(diǎn)的距離不大于的是（

）A． B． C． D．10．以下關(guān)于向量的說法正確的有（

）A．若空間向量，，滿足，則B．若空間向量，，滿足，則C．若空間向量，滿足，，則D．若空間向量，滿足，，則11．已知向量，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．不存在實(shí)數(shù)，使得D．若，則12．布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚是在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1）.把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的棱長為1，則A．B．若為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為2C．點(diǎn)到直線的距離是D．異面直線與所成角的正切值為第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三．填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知向量，，且，則．14．已知向量，，，若，，共面，則x等于．15．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則的值為．16．三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，，點(diǎn)Q為平面ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，記直線PQ與直線AB的所成角為，則的取值范圍為.四．解答題（本大題共6題，滿分70分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程和演算步驟）17．如圖，在長方體中，，，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)．(1)證明：；(2)求平面的法向量．18．如圖，四棱錐中，四邊形ABCD為梯形，，，，，，M，N分別是PD，PB的中點(diǎn)．(1)求證：直線平面ABCD；(2)求平面MCN與平面ABCD夾角的余弦值．19．如圖，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，，.

(1)求直線與平面的夾角；(2)求點(diǎn)到平面的距離.20．空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜60°坐標(biāo)系”.我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60°坐標(biāo)系”下向量的斜60°坐標(biāo)：分別為“斜60°坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（x軸?y軸?z軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）相對應(yīng)，稱向量的斜60°坐標(biāo)為[x，y，z]，記作.(1)若，，求的斜60°坐標(biāo)；(2)在平行六面體中，AB=AD=2，AA1=3，，如圖，以為基底建立“空間斜60°坐標(biāo)系”.①若，求向量的斜坐標(biāo)；②若，且，求.21．如圖，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，，平面．(1)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：平面；(2)棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由．22．如圖，圓錐SO，S為頂點(diǎn)，是底面的圓心，為底面直徑，，圓錐高點(diǎn)P在高SO上，是圓錐SO底面的內(nèi)接正三角形.

(1)若，證明:平面(2)點(diǎn)P在高SO上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)和平面所成角的正弦值最大時(shí)，求三棱錐的體積.1．D【分析】利用向量的加減法則即可求解.【詳解】故選：D2．B【分析】利用空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱特征判定即可.【詳解】關(guān)于坐標(biāo)平面對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)變換為其相反數(shù)，縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)不變.即點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面對稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)為.故選：B3．C【分析】依次判斷四個(gè)選項(xiàng)中三個(gè)向量是否共面即可【詳解】選項(xiàng)A：由于，三個(gè)向量共面，故不能作為空間的一個(gè)基底；選項(xiàng)B：由于，三個(gè)向量共面，故不能作為空間的一個(gè)基底；選項(xiàng)C：若三個(gè)向量共面，則存在，使得，則向量共面，矛盾，故三個(gè)向量不共面，因此可以作為空間的一個(gè)基底；選項(xiàng)D：由于，三個(gè)向量共面，故不能作為空間的一個(gè)基底；故選：C4．C【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和定義，結(jié)合投影向量進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榭臻g向量，，所以向量在向量上的投影向量為：，故選：C5．C【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解即可．【詳解】由已知得，故選：C．6．C【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合空間向量模的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：，．故當(dāng)時(shí)，有最小值等于，故選：C．7．D【分析】利用空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律求解.【詳解】由題可得，,所以，所以,故選:D.8．A【分析】首先根據(jù)垂直關(guān)系證明，再轉(zhuǎn)化向量表示，最后結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】連結(jié)，因?yàn)槠矫?，平面?/p>

所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，又，所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的最小值為.故選：A9．ABD【分析】根據(jù)空間兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，故A正確，，故B正確，，故D正確，，故C錯(cuò)誤．故選：ABD10．BD【分析】根據(jù)空間向量模的性質(zhì)、相等向量、共線向量的定義逐一判斷即可.【詳解】A：若，顯然滿足，但是不滿足，因此本選項(xiàng)不正確；B：兩個(gè)空間向量相等，它們的模顯然相等，因此本選項(xiàng)正確；C：若，且三向量不共面時(shí)，不一定成立，因此本選項(xiàng)不正確；D：由相等向量的定義可知，如果，，一定有，因此本選項(xiàng)正確，故選：BD11．ACD【分析】運(yùn)用空間向量的垂直、共線的表示及應(yīng)用，以及空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算、模的運(yùn)算，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A項(xiàng)，由可得，解得，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，由可得，解得，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則，所以不存在實(shí)數(shù)，使得，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，由可得，解得，所以，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.12．BCD【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則判斷A，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算B、C、D.【詳解】因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，，對于B：因?yàn)闉榫€段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，故B正確；對于C：，，所以點(diǎn)到直線的距離，故C正確；對于D：因?yàn)?，所以，所以，即異面直線與所成角的正切值為，故D正確；故選：BCD13．【分析】根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，且，所以，解得，，所?故答案為.14．1【分析】根據(jù)給定條件，利用空間共面向量定理求解作答.【詳解】向量，，，因，，共面，則存在實(shí)數(shù)使得，于是得，因此，解得，所以.故115．##-0.5【分析】，，兩兩成角，模都為1，以這三個(gè)向量為基底，進(jìn)行向量數(shù)量積運(yùn)算.【詳解】根據(jù)題意ABCD為正四面體，，，兩兩成角，,由，，所以．故16．【分析】根據(jù)已知條件先確定出在平面內(nèi)的軌跡，然后通過建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)兩直線方向向量夾角的余弦值結(jié)合三角函數(shù)值的范圍，計(jì)算出兩直線所成角的正弦值的取值范圍.【詳解】因?yàn)閮蓛纱怪?，且，所以由全等三角形可知，所以三棱錐為正三棱錐，記在底面內(nèi)的投影為，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以的軌跡是以為圓心半徑為的圓，取中點(diǎn)，連接，可知經(jīng)過點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：設(shè)，，所以，所以，所以，所以，且，所以，所以，故答案為.思路點(diǎn)睛：異面直線所成角的余弦值的向量求法：（1）先分別求解出兩條異面直線的一個(gè)方向向量；（2）計(jì)算出兩個(gè)方向向量夾角的余弦值；（3）根據(jù)方向向量夾角的余弦值的絕對值等于異面直線所成角的余弦值求解出結(jié)果.17．(1)證明見解析(2)法向量為，（答案不唯一）【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式、空間向量互相垂直的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)平面法向量的性質(zhì)，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）以D為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)，，所以，所以．（2），，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，平面的法向量為.18．(1)證明見解析(2)．【分析】（1）由M，N分別是PD，PB的中點(diǎn)可得，進(jìn)而可證直線平面；（2）以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求平面與平面得法向量，進(jìn)而求出，則平面與平面夾角的余弦值可得.【詳解】（1）連接BD，M，N分別是PD，PB的中點(diǎn)．，又平面，平面直線平面（2），，，,，,，兩兩之間互相垂直，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

,,,,又M，N分別是PD，PB的中點(diǎn)，，，,，，設(shè)平面的法向量為，由可得，解得，令可得法向量，,，平面，平面，為平面得法向量，，令平面與平面夾角為且為銳角，，平面與平面夾角的余弦值為.19．(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別寫出，點(diǎn)的坐標(biāo)和平面的法向量，利用空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，即可求得直線與平面的夾角.（2）根據(jù)空間直角坐標(biāo)系寫出，的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用空間向量求解點(diǎn)到平面的距離公式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)榱庑魏途匦嗡诘钠矫婊ハ啻怪?，所以易得平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸，過點(diǎn)且平行于的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

由已知得，，因?yàn)檩S垂直于平面，因此可令平面的一個(gè)法向量為，又，設(shè)直線與平面的夾角為，則有，即，所以直線與平面的夾角為.（2）由（1）空間直角坐標(biāo)系，得，，所以，，可設(shè)平面的法向量為，則，得，令，得，，即，又因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離為.20．(1)(2)①；②2【分析】（1）根據(jù)所給定義可得，，再根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）設(shè)分別為與同方向的單位向量，則，①根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則得到，即可得解；②依題意、且根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律得到方程，即可求出，再根據(jù)及向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得；【詳解】（1）解：由，，知，，所以，所以；（2）解：設(shè)分別為與同方向的單位向量，則，①②由題，因?yàn)椋?，由知?jiǎng)t21．(1)證明見解析(2)存在；【分析】（1）連接，可得四邊形是平行四邊形，或，從而，可證得平面；（2）取中點(diǎn)，連接，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量為，由二面角的余弦值為可得的值，可得的長．【詳解】（1）方法一：連接，由已知得，，且，所以四邊形是平行四邊形，即，又平面平面，所以平面．方法二：連接，由已知得，且，，即，又平面平面所以平面（2）取中點(diǎn)，連接，由題易得是正三角形，所以，即，由于平面，分別以為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，，假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，設(shè)平面的法向量，則，即，可取，又平面的法向量為，所以，解得：，由于二面角為銳角，則點(diǎn)在線段上，所以，即．故上存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，二面角的余弦值為．22．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意易證，，再根據(jù)線面垂直的判定即可證明平面.（2）首先點(diǎn)為原點(diǎn)，平行于方向?yàn)閤軸，以方向?yàn)閥軸，以方