初中數學幾何模型大全(精心整理)

三線八角同位角找F型內錯角找Z型同旁內角找U型拐角模型1.鋸齒形∠2=∠1+∠3∠1+∠2=∠3+∠42.鷹嘴型鷹嘴+小=大∠2=∠1+∠3∠2=∠1+∠33.鉛筆頭型∠1+∠2+∠3=360°∠1+∠2+∠3+∠4=540°180×（n-1）等積變換模型S△ACD=S△BCD八字模型∠A+∠B=∠C+∠DAD+BC>AB+CD飛鏢模型∠D=∠B+∠C+∠AAB+AC>BD+CD內內角平分線模型∠D=90°+12內外角平分線模型∠D=12∠A外外角平分線模型∠D=90°-12平行平分出等腰模型HG=HM等面積模型D是BC的中點S△ABD=S△ACD倍長中線模型：D是BC的中點S△FBD=S△ECD角平分線構造全等模型角平分線垂直兩邊角平分線垂直中間角平分線構造軸對稱以角平分線為軸在角兩邊進行截長補短或者作邊的垂線，形成對稱全等。兩邊進行邊或者角的等量代換，垂直也可以做為軸進行對稱全等。三垂模型拉手模型大小等邊三角形虛線相等且夾角為60°大小等腰三角形頂角為a，虛線相等，且夾角為a大小等腰直角三角形虛線相等且夾角為90°大小正方形虛線相等，且夾角為90°半角模型正方形ABCD∠EDF=45°得：EF=AE+CFCD=AD,∠ADC=90°,∠EDF=45°,∠A+∠C=180°得：EF=AE+CFAB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=12∠得：EF=BE+DFAB=AC,∠BAC=90°，∠DAE=45°得：DE2=BD2+CE2△CEF為直角三角形上圖依次是45°、30°、22.5°、15°及有一個角是30°直角三角形的對稱（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等邊三角形、對稱全等。旋轉全等模型半角：有一個角含1/2角及相鄰線段自旋轉：有一對相鄰等線段，需要構造旋轉全等共旋轉：有兩對相鄰等線段，直接尋找旋轉全等中點旋轉：倍長中點相關線段轉換成旋轉全等問題說明：旋轉半角的特征是相鄰等線段所成角含一個二分之一角，通過旋轉將另外兩個和為二分之一的角拼接在一起，成對稱全等。構造方法：遇60度旋60度，造等邊三角形；；遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋頂點，造旋轉全等；遇中點旋180度，造中心對稱說明：旋轉中所成的全等三角形，第三邊所成的角是一個經常考察的內容。通過“8”字模型可以證明。說明：模型變形主要是兩個正多邊形或者等腰三角形的夾角的變化，另外是等腰直角三角形與正方形的混用。當遇到復雜圖形找不到旋轉全等時，先找兩個正多邊形或者等腰三角形的公共頂點，圍繞公共頂點找到兩組相鄰等線段，分組組成三角形證全等。說明：兩個正方形、兩個等腰直角三角形或者一個正方形一個等腰直角三角形及兩個圖形頂點連線的中點，證明另外兩個頂點與中點所成圖形為等腰直角三角形。證明方法是倍長所要證等腰直角三角形的一直角邊，轉化成要證明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋轉頂點，通過證明旋轉全等三角形證明倍長后的大三角形為等腰直角三角形從而得證。將軍飲馬問題PA+PB的最小值已知點C.求CA+CB+AB和為最小值已知點B.求CA+CB+AB和為最小值已知AB.求作四邊形使得周長最小。已知A.D兩點.求作AB+BC+CD和最小。已知點A,B,D.求作四邊形周長最小.已知點AB,求作五邊形周長最小。求作六邊形周長最小值.對稱最值(點到直線垂線段最短)說明：通過對稱進行等量代換，轉換成兩點間距離及點到直線距離。旋轉最值(共線有最值)說明：找到與所要求最值相關成三角形的兩個定長線段，定長線段的和為最大值，定長線段的差為最小值。剪拼模型三角形→四邊形四邊形→四邊形說明：剪拼主要是通過中點的180度旋轉及平移改變圖形的形狀。

矩形→正方形說明：通過射影定理找到正方形的邊長，通過平移與旋轉完成形狀改變正方形+等腰直角三角形→正方形面積等分費馬點模型：點0到三個定點的距離和最小。中位線模型：DE//BCDE=12B直角三角形斜邊中線模型DB=12平移構造全等旋轉半角模型對稱構造全等模型對稱半角模型射影定理模型①CD2=AD·DB；②BC2=BD·BA；③AC2=AD·AB；④AC·BC=AB·CD相似八大模型旋轉相似模型兩個等腰直角三角形成旋轉全等，兩個有一個角是300角的直角三角形成旋轉相似。兩個任意相似三角形旋轉成一定角度，成旋轉相似。第三邊所成夾角符合旋轉“8”字的規(guī)律。相似模型注意邊和角的對應，相等線段或者相等比值在證明相似中起到通過等量代換來構造相似三角形的作用。說明：（1）三垂直到一線三等角的演變，三等角以30度、45度、60度形式出現的居多。（2）內外角平分線定理到射影定理的演變，注意之間的相同與不同之處。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推廣到圓冪定理）之間的比值可以轉換成乘積，通過等線段、等比值、等乘積進行代換，進行證明得到需要的結論。相似證明中最常用的輔助線是做平行，根據題目的條件或者結論的比值來做相應的平行線。二次函數中平行四邊形存在性模型手拉手模型旋轉型全等等邊三角形【條件】：△OAB和△OCD均為等邊三角形；【結論】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AED等腰直角三角形【條件】：△OAB和△OCD均為等腰直角三角形；【結論】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠AED頂角相等的兩任意等腰三角形【條件】：△OAB和△OCD均為等腰三角形；且∠COD=∠AOB【結論】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=∠AOB；③OE平分∠AED模型二：手拉手模型旋轉型相似一般情況【條件】：CD∥AB，將△OCD旋轉至右圖的位置【結論】：①右圖中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延長AC交BD于點E，必有∠BEC=∠BOA特殊情況【條件】：CD∥AB，∠AOB=90°將△OCD旋轉至右圖的位置【結論】：①右圖中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延長AC交BD于點E，必有∠BEC=∠BOA；③tan∠OCD；④BD⊥AC；⑤連接AD、BC，必有；⑥模型三、對角互補模型全等型-90°【條件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOB【結論】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③證明提示：①作垂直，如圖2，證明△CDM≌△CEN②過點C作CF⊥OC，如圖3，證明△ODC≌△FEC※當∠DCE的一邊交AO的延長線于D時（如圖4）：以上三個結論：①CD=CE；②OE-OD=OC；③全等型-120°【條件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC平分∠AOB【結論】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③證明提示：①可參考“全等型-90°”證法一；②如右下圖：在OB上取一點F，使OF=OC，證明△OCF為等邊三角形。全等型-任意角ɑ【條件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE；【結論】：①OC平分∠AOB；②OD+OE=2OC·cosɑ；③※當∠DCE的一邊交AO的延長線于D時（如右下圖）：原結論變成：①；②；③?？蓞⒖忌鲜龅冖诜N方法進行證明。請思考初始條件的變化對模型的影響。對角互補模型總結：①常見初始條件：四邊形對角互補，注意兩點：四點共圓有直角三角形斜邊中線；②初始條件“角平分線”與“兩邊相等”的區(qū)別；③注意OC平分∠AOB時，∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB如何引導？模型四：角含半角模型90°角含半角模型90°1【條件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【結論】：①EF=DF+BE；②△CEF的周長為正方形ABCD周長的一半；也可以這樣：【條件】：①正方形ABCD；②EF=DF+BE；【結論】：①∠EAF=45°；角含半角模型90°2【條件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【結論】：①EF=DF-BE；角含半角模型90°3【條件】：①Rt△ABC；②∠DAE=45°；【結論】：（如圖1）若∠DAE旋轉到△ABC外部時，結論仍然成立（如圖2）角含半角模型90°變形【條件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【結論】：△AHE為等腰直角三角形；證明：連接AC（方法不唯一）∵∠DAC=∠EAF=45°，∴∠DAH=∠CAE，又∵∠ACB=∠ADB=45°；∴△DAH∽△CAE，∴∴△AHE∽△ADC，∴△AHE為等腰直角三角形模型五：倍長中線類模型倍長中線類模型1【條件】：①矩形ABCD；②BD=BE；③DF=EF；【結論】：AF⊥CF模型提取：①有平行線AD∥BE；②平行線間線段有中點DF=EF；可以構造“8”字全等△ADF≌△HEF。倍長中線類模型2【條件】：①平行四邊形ABCD；②BC=2AB；③AM=DM；④CE⊥AB；【結論】：∠EMD=3∠MEA輔助線：有平行AB∥CD，有中點AM=DM，延長EM，構造△AME≌△DMF，連接CM構造等腰△EMC，等腰△MCF。（通過構造8字全等線段數量及位置關系，角的大小轉化）模型六：相似三角形360°旋轉模型（1）相似三角形（等腰直角）360°旋轉模型倍長中線法【條件】：①△ADE、△ABC均為等腰直角三角形；②EF=CF；【結論】：①DF=BF；②DF⊥BF輔助線：延長DF到點G，使FG=DF，連接CG、BG、BD，證明△BDG為等腰直角三角形；突破點：△ABD≌△CBG；難點：證明∠BAO=∠BCG（2）相似三角形（等腰直角）360°旋轉模型補全法【條件】：①△ADE、△ABC均為等腰直角三角形；②EF=CF；【結論】：①DF=BF；②DF⊥BF輔助線：構造等腰直角△AEG、△AHC；輔助線思路：將DF與BF轉化到CG與EF。任意相似直角三角形360°旋轉模型補全法【條件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；【結論】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO輔助線：延長BA到G，使AG=AB，延長CD到點H使DH=CD，補全△OGB、△OCH構造旋轉模型。轉化AE與DE到CG與BH，難點在轉化∠AED。任意相似直角三角形360°旋轉模型倍長法【條件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；【結論】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO輔助線：延長DE至M，使ME=DE，將結論的兩個條件轉化為證明△AMD∽△ABO，此為難點，將△AMD∽△ABC繼續(xù)轉化為證明△ABM∽△AOD，使用兩邊成比例且夾角相等，此處難點在證明∠ABM=∠AOD最短路程模型最短路程模型一（將軍飲馬類）總結：右四圖為常見的軸對稱類最短路程問題，最后都轉化到：“兩點之間，線段最短：解決；特點：①動點在直線上；②起點，終點固定最短路程模型二（點到直線類1）【條件】：①OC平分∠AOB；②M為OB上一定點；③P為OC上一動點；④Q為OB上一動點；【問題】：求MP+PQ最小時，P、Q的位置？輔助線：將作Q關于OC對稱點Q’，轉化PQ’=PQ，過點M作MH⊥OA，則MP+PQ=MP+PQ’MH(垂線段最短）最短路程模型二（點到直線類2）【條件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n）【問題】：n為何值時，最??？求解方法：①x軸上取C(2,0),使sin∠OAC=；②過B作BD⊥AC，交y軸于點E，即為所求；③tan∠EBO=tan∠OAC=，即E（0，1）最短路程模型三（旋轉類最值模型）【條件】：①線段OA=4，OB=2；②OB繞點O在平面內360°旋轉；【問題】：AB的最大值，最小值分別為多少？【結論】：以點O為圓心，OB為半徑作圓，如圖所示，將問題轉化為“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”。最大值：OA+OB；最小值：OA-OB【條件】：①線段OA=4，OB=2；②以點O為圓心，OB，OC為半徑作圓；③點P是兩圓所組成圓環(huán)內部（含邊界）一點；【結論】：若PA的最大值為10，則OC=6；若PA的最小值為1，則OC=3；若PA的最小值為2，則PC的取值范圍是0<PC<2【條件】：①Rt△OBC，∠OBC=30°；②OC=2；③OA=1；④點P為BC上動點（可與端點重合）；⑤△OBC繞點O旋轉【結論】：PA最大值為OA+OB=；PA的最小值為如下圖，圓的最小半徑為O到BC垂線段長。模型八：二倍角模型【條件】：在△ABC中，∠B=2∠C；輔助線：以BC的垂直平分線為對稱軸，作點A的對稱點A’，連接AA’、BA’、CA’、則BA=AA’=CA’(注意這個結論）此種輔助線作法是二倍角三角形常見的輔助線作法之一，不是唯一作法。模型九：相似三角形模型A字型8字型A字型相似三角形模型--基本型平行類：DE∥BC；結論：(注意對應邊要對應）相似三角形模型斜交型【條件】：如右圖，∠AED=∠ACB=90°；【結論】：AE×AB=AC×AD【條件】：如右圖，∠ACE=∠ABC；【結論】：AC2=AE×AB第四個圖還存在射影定理：AE×EC=BC×AC；BC2=BE×BA；CE2=AE×BE；相似三角形模型一線三等角型【條件】：（1）圖：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°；（2）圖：∠ABC=∠ACE=∠CDE=60°；（3）圖：∠ABC=∠ACE=∠CDE=45°；【結論】：①△ABC∽△CDE；②AB×DE=BC×CD；一線三等角模型也經常用來建立方程或函數關系。相似三角形模型圓冪定理型【條件】：（2）圖：PA為圓的切線；【結論】：（1）圖：PA×PB=PC×PD；（2）圖：PA2=PC×PB;（3）圖：PA×PB=PC×PD；以上結論均可以通過相似三角形進行證明。全等變換平移：平行等線段（平行四邊形）對稱：角平分線或垂直或半角旋轉：相鄰等線段繞公共頂點旋轉 對稱全等模型說明：以角平分線為軸在角兩邊進行截長補短或者作邊的垂線，形成對稱全等。兩邊進行邊或者角的等量代換，產生聯系。垂直也可以做為軸進行對稱全等。對稱半角模型說明：上圖依次是45°、30°、22.5°、15°及有一個角是30°直角三角形的對稱（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等邊三角形、對稱全等。旋轉全等模型半角：有一個角含1/2角及相鄰線段自旋轉：有一對相鄰等線段，需要構造旋轉全等共旋轉：有兩對相鄰等線段，直接尋找旋轉全等中點旋轉：倍長中點相關線段轉換成旋轉全等問題旋轉半角模型說明：旋轉半角的特征是相鄰等線段所成角含一個二分之一角，通過旋轉將另外兩個和為二分之一的角拼接在一起，成對稱全等。自旋轉模型構造方法：遇60度旋60度，造等邊三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋頂點，造旋轉全等遇中點旋180度，造中心對稱共旋轉模型說明：旋轉中所成的全等三角形，第三邊所成的角是一個經?？疾斓膬热荨Ｍㄟ^“8”字模型可以證明模型變形說明：模型變形主要是兩個正多邊形或者等腰三角形的夾角的變化，另外是等腰直角三角形與正方形的混用。當遇到復雜圖形找不到旋轉全等時，先找兩個正多邊形或者等腰三角形的公共頂點，圍繞公共頂點找到兩組相鄰等線段，分組組成三角形證全等。中點旋轉：說明：兩個正方形、兩個等腰直角三角形或者一個正方形一個等腰直角三角形及兩個圖形頂點連線的中點，證明另外兩個頂點與中點所成圖形為等腰直角三角形。證明方法是倍長所要證等腰直角三角形的一直角邊，轉化成要證明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋轉頂點，通過證明旋轉全等三角形證明倍長后的大三角形為等腰直角三角形從而得證。幾何最值模型對稱最值(兩點間線段最短)對稱最值(點到直線垂線段最短)說明：通過對稱進行等量代換，轉換成兩點間距離及點到直線距離。旋轉最值(共線有最值)說明：找到與所要求最值相關成三角形的兩個定長線段，定長線段的和為最大值，定長線段的差為最小值。剪拼模型三角形→四邊形四邊形→四邊形說明：剪拼主要是通過中點的180度旋轉及平移改變圖形的形狀。矩形→正方形說明：通過射影定理找到正方形的邊長，通過平移與旋轉完成形狀改變正方形+等腰直角三角形→正方形面積等分旋轉相似模型兩個等腰直角三角形成旋轉全等，兩個有一個角是300角的直角三角形成旋轉相似。兩個任意相似三角形旋轉成一定角度，成旋轉相似。第三邊所成夾角符合旋轉“8”字的規(guī)律。相似模型說明：注意邊和角的對應，相等線段或者相等比值在證明相似中起到通過等量代換來構造相似三角形的作用。說明：（1）三垂直到一線三等角的演變，三等角以30度、45度、60度形式出現的居多。（2）內外角平分線定理到射影定理的演變，注意之間的相同與不同之處。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推廣到圓冪定理）之間的比值可以轉換成乘積，通過等線段、等比值、等乘積進行代換，進行證明得到需要的結論。說明：相似證明中最常用的輔助線是做平行，根據題目的條件或者結論的比值來做相應的平行線。經典難題（一）1、已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．AFAFGCEBODAPCDAPCDB求證：△PBC是正三角形．（初二）D2C2B2A2D1C1B1CBDAA13、如圖，已知四邊形ABCD、A1B1C1DD2C2B2A2D1C1B1CBDAA1求證：四邊形A2B2C2D2是正方形．（初二）ANANFECDMB求證：∠DEN＝∠F．經典難題（二）1、已知：△ABC中，H為垂心（各邊高線的交點），O為外心，且OM⊥BC于M．·A·ADHEMCBO（2）若∠BAC＝600，求證：AH＝AO．·GAODB·GAODBECQPNM求證：AP＝AQ．3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內，則由此可得以下命題：設MN是圓O的弦，過MN的中點A任作兩弦BC、DE，設CD、EB分別交MN于P、Q．·O·OQPBDECNM·A4、如圖，分別以△ABC的AC和BC為一邊，在△ABC的外側作正方形ACDE和正方形CBFG，點P是EF的中點．PCPCGFBQADE經典難題（三）1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE與CD相交于F．AFAFDECB2、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直線EC交DA延長線于F．求證：AE＝AF．（初二）EEDACBF3、設P是正方形ABCD一邊BC上的任一點，PF⊥AP，CF平分∠DCE．DFEDFEPCBAODODBFAECP經典難題（四）1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形內一點，PA＝3，PB＝4，PC＝5．APAPCB2、設P是平行四邊形ABCD內部的一點，且∠PBA＝∠PDA．求證：∠PAB＝∠PCB．（初二）PPADCB3、設ABCD為圓內接凸四邊形，求證：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）CCBDA4、平行四邊形ABCD中，設E、F分別是BC、AB上的一點，AE與CF相交于P，且AE＝CF．求證：∠DPA＝∠DPC．（初二）FFPDECBA經典難題（五）設P是邊長為1的正△ABC內任一點，L＝PA＋PB＋PC，求證：≤L＜2．AAPCB2、已知：P是邊長為1的正方形ABCD內的一點，求PA＋PB＋PC的最小值．ACACBPDACBPACBPDEDCBA4、如圖，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分別是AB、AC上的點，∠DCA＝30EDCBA經典難題（一）1.如下圖做GH⊥AB,連接EO。由于GOFE四點共圓，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得==,又CO=EO，所以CD=GF得證。2.如下圖做△DGC使與△ADP全等，可得△PDG為等邊△，從而可得△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150所以∠DCP=300，從而得出△PBC是正三角形3.如下圖連接BC1和AB1分別找其中點F,E.連接C2F與A2E并延長相交于Q點，連接EB2并延長交C2Q于H點，連接FB2并延長交A2Q于G點，由A2E=A1B1=B1C1=FB2，EB2=AB=BC=FC1，又∠GFQ+∠Q=900和∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2，可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2,從而可得∠A2B2C2=900，同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形。4.如下圖連接AC并取其中點Q，連接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，從而得出∠DEN＝∠F。經典難題（二）1.(1)延長AD到F連BF，做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD，可得BH=BF,從而可得HD=DF，又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)連接OB，OC,既得∠BOC=1200，從而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得證。3.作OF⊥CD，OG⊥BE，連接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。由于，由此可得△ADF≌△ABG，從而可得∠AFC=∠AGE。又因為PFOA與QGOA四點共圓，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ，∠AOP=∠AOQ，從而可得AP=AQ。4.過E,C,F點分別作AB所在直線的高EG，CI，FH。可得PQ=。由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。從而可得PQ==，從而得證。經典難題（三）1.順時針旋轉△ADE，到△ABG，連接CG.由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350從而可得B，G，D在一條直線上，可得△AGB≌△CGB。推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC為等邊三角形?！螦GB=300，既得∠EAC=300，從而可得∠AEC=750。又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可證：CE=CF。2.連接BD作CH⊥DE，可得四邊形CGDH是正方形。由AC=CE=2GC=2CH，可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，又∠FAE=900+450+150=1500，從而可知道∠F=150，從而得出AE=AF。3.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC為正方形。令AB=Y，BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。tan∠BAP=tan∠EPF==，可得YZ=XY-X2+XZ，即Z(Y-X)=X(Y-X)，既得X=Z，得出△ABP≌△PEF，得到PA＝PF，得證。經典難題（四）順時針旋轉△ABP600，連接PQ，則△PBQ是正三角形?？傻谩鱌QC是直角三角