初中數(shù)學(xué)幾何模型大全(精心整理)

三線(xiàn)八角同位角找F型內(nèi)錯(cuò)角找Z型同旁?xún)?nèi)角找U型拐角模型1.鋸齒形∠2=∠1+∠3∠1+∠2=∠3+∠42.鷹嘴型鷹嘴+小=大∠2=∠1+∠3∠2=∠1+∠33.鉛筆頭型∠1+∠2+∠3=360°∠1+∠2+∠3+∠4=540°180×（n-1）等積變換模型S△ACD=S△BCD八字模型∠A+∠B=∠C+∠DAD+BC>AB+CD飛鏢模型∠D=∠B+∠C+∠AAB+AC>BD+CD內(nèi)內(nèi)角平分線(xiàn)模型∠D=90°+12內(nèi)外角平分線(xiàn)模型∠D=12∠A外外角平分線(xiàn)模型∠D=90°-12平行平分出等腰模型HG=HM等面積模型D是BC的中點(diǎn)S△ABD=S△ACD倍長(zhǎng)中線(xiàn)模型：D是BC的中點(diǎn)S△FBD=S△ECD角平分線(xiàn)構(gòu)造全等模型角平分線(xiàn)垂直兩邊角平分線(xiàn)垂直中間角平分線(xiàn)構(gòu)造軸對(duì)稱(chēng)以角平分線(xiàn)為軸在角兩邊進(jìn)行截長(zhǎng)補(bǔ)短或者作邊的垂線(xiàn)，形成對(duì)稱(chēng)全等。兩邊進(jìn)行邊或者角的等量代換，垂直也可以做為軸進(jìn)行對(duì)稱(chēng)全等。三垂模型拉手模型大小等邊三角形虛線(xiàn)相等且?jiàn)A角為60°大小等腰三角形頂角為a，虛線(xiàn)相等，且?jiàn)A角為a大小等腰直角三角形虛線(xiàn)相等且?jiàn)A角為90°大小正方形虛線(xiàn)相等，且?jiàn)A角為90°半角模型正方形ABCD∠EDF=45°得：EF=AE+CFCD=AD,∠ADC=90°,∠EDF=45°,∠A+∠C=180°得：EF=AE+CFAB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=12∠得：EF=BE+DFAB=AC,∠BAC=90°，∠DAE=45°得：DE2=BD2+CE2△CEF為直角三角形上圖依次是45°、30°、22.5°、15°及有一個(gè)角是30°直角三角形的對(duì)稱(chēng)（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等邊三角形、對(duì)稱(chēng)全等。旋轉(zhuǎn)全等模型半角：有一個(gè)角含1/2角及相鄰線(xiàn)段自旋轉(zhuǎn)：有一對(duì)相鄰等線(xiàn)段，需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等共旋轉(zhuǎn)：有兩對(duì)相鄰等線(xiàn)段，直接尋找旋轉(zhuǎn)全等中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：倍長(zhǎng)中點(diǎn)相關(guān)線(xiàn)段轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)全等問(wèn)題說(shuō)明：旋轉(zhuǎn)半角的特征是相鄰等線(xiàn)段所成角含一個(gè)二分之一角，通過(guò)旋轉(zhuǎn)將另外兩個(gè)和為二分之一的角拼接在一起，成對(duì)稱(chēng)全等。構(gòu)造方法：遇60度旋60度，造等邊三角形；；遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋頂點(diǎn)，造旋轉(zhuǎn)全等；遇中點(diǎn)旋180度，造中心對(duì)稱(chēng)說(shuō)明：旋轉(zhuǎn)中所成的全等三角形，第三邊所成的角是一個(gè)經(jīng)?？疾斓膬?nèi)容。通過(guò)“8”字模型可以證明。說(shuō)明：模型變形主要是兩個(gè)正多邊形或者等腰三角形的夾角的變化，另外是等腰直角三角形與正方形的混用。當(dāng)遇到復(fù)雜圖形找不到旋轉(zhuǎn)全等時(shí)，先找兩個(gè)正多邊形或者等腰三角形的公共頂點(diǎn)，圍繞公共頂點(diǎn)找到兩組相鄰等線(xiàn)段，分組組成三角形證全等。說(shuō)明：兩個(gè)正方形、兩個(gè)等腰直角三角形或者一個(gè)正方形一個(gè)等腰直角三角形及兩個(gè)圖形頂點(diǎn)連線(xiàn)的中點(diǎn)，證明另外兩個(gè)頂點(diǎn)與中點(diǎn)所成圖形為等腰直角三角形。證明方法是倍長(zhǎng)所要證等腰直角三角形的一直角邊，轉(zhuǎn)化成要證明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)，通過(guò)證明旋轉(zhuǎn)全等三角形證明倍長(zhǎng)后的大三角形為等腰直角三角形從而得證。將軍飲馬問(wèn)題PA+PB的最小值已知點(diǎn)C.求CA+CB+AB和為最小值已知點(diǎn)B.求CA+CB+AB和為最小值已知AB.求作四邊形使得周長(zhǎng)最小。已知A.D兩點(diǎn).求作AB+BC+CD和最小。已知點(diǎn)A,B,D.求作四邊形周長(zhǎng)最小.已知點(diǎn)AB,求作五邊形周長(zhǎng)最小。求作六邊形周長(zhǎng)最小值.對(duì)稱(chēng)最值(點(diǎn)到直線(xiàn)垂線(xiàn)段最短)說(shuō)明：通過(guò)對(duì)稱(chēng)進(jìn)行等量代換，轉(zhuǎn)換成兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)到直線(xiàn)距離。旋轉(zhuǎn)最值(共線(xiàn)有最值)說(shuō)明：找到與所要求最值相關(guān)成三角形的兩個(gè)定長(zhǎng)線(xiàn)段，定長(zhǎng)線(xiàn)段的和為最大值，定長(zhǎng)線(xiàn)段的差為最小值。剪拼模型三角形→四邊形四邊形→四邊形說(shuō)明：剪拼主要是通過(guò)中點(diǎn)的180度旋轉(zhuǎn)及平移改變圖形的形狀。

矩形→正方形說(shuō)明：通過(guò)射影定理找到正方形的邊長(zhǎng)，通過(guò)平移與旋轉(zhuǎn)完成形狀改變正方形+等腰直角三角形→正方形面積等分費(fèi)馬點(diǎn)模型：點(diǎn)0到三個(gè)定點(diǎn)的距離和最小。中位線(xiàn)模型：DE//BCDE=12B直角三角形斜邊中線(xiàn)模型DB=12平移構(gòu)造全等旋轉(zhuǎn)半角模型對(duì)稱(chēng)構(gòu)造全等模型對(duì)稱(chēng)半角模型射影定理模型①CD2=AD·DB；②BC2=BD·BA；③AC2=AD·AB；④AC·BC=AB·CD相似八大模型旋轉(zhuǎn)相似模型兩個(gè)等腰直角三角形成旋轉(zhuǎn)全等，兩個(gè)有一個(gè)角是300角的直角三角形成旋轉(zhuǎn)相似。兩個(gè)任意相似三角形旋轉(zhuǎn)成一定角度，成旋轉(zhuǎn)相似。第三邊所成夾角符合旋轉(zhuǎn)“8”字的規(guī)律。相似模型注意邊和角的對(duì)應(yīng)，相等線(xiàn)段或者相等比值在證明相似中起到通過(guò)等量代換來(lái)構(gòu)造相似三角形的作用。說(shuō)明：（1）三垂直到一線(xiàn)三等角的演變，三等角以30度、45度、60度形式出現(xiàn)的居多。（2）內(nèi)外角平分線(xiàn)定理到射影定理的演變，注意之間的相同與不同之處。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推廣到圓冪定理）之間的比值可以轉(zhuǎn)換成乘積，通過(guò)等線(xiàn)段、等比值、等乘積進(jìn)行代換，進(jìn)行證明得到需要的結(jié)論。相似證明中最常用的輔助線(xiàn)是做平行，根據(jù)題目的條件或者結(jié)論的比值來(lái)做相應(yīng)的平行線(xiàn)。二次函數(shù)中平行四邊形存在性模型手拉手模型旋轉(zhuǎn)型全等等邊三角形【條件】：△OAB和△OCD均為等邊三角形；【結(jié)論】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AED等腰直角三角形【條件】：△OAB和△OCD均為等腰直角三角形；【結(jié)論】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠AED頂角相等的兩任意等腰三角形【條件】：△OAB和△OCD均為等腰三角形；且∠COD=∠AOB【結(jié)論】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=∠AOB；③OE平分∠AED模型二：手拉手模型旋轉(zhuǎn)型相似一般情況【條件】：CD∥AB，將△OCD旋轉(zhuǎn)至右圖的位置【結(jié)論】：①右圖中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延長(zhǎng)AC交BD于點(diǎn)E，必有∠BEC=∠BOA特殊情況【條件】：CD∥AB，∠AOB=90°將△OCD旋轉(zhuǎn)至右圖的位置【結(jié)論】：①右圖中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延長(zhǎng)AC交BD于點(diǎn)E，必有∠BEC=∠BOA；③tan∠OCD；④BD⊥AC；⑤連接AD、BC，必有；⑥模型三、對(duì)角互補(bǔ)模型全等型-90°【條件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOB【結(jié)論】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③證明提示：①作垂直，如圖2，證明△CDM≌△CEN②過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OC，如圖3，證明△ODC≌△FEC※當(dāng)∠DCE的一邊交AO的延長(zhǎng)線(xiàn)于D時(shí)（如圖4）：以上三個(gè)結(jié)論：①CD=CE；②OE-OD=OC；③全等型-120°【條件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC平分∠AOB【結(jié)論】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③證明提示：①可參考“全等型-90°”證法一；②如右下圖：在OB上取一點(diǎn)F，使OF=OC，證明△OCF為等邊三角形。全等型-任意角ɑ【條件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE；【結(jié)論】：①OC平分∠AOB；②OD+OE=2OC·cosɑ；③※當(dāng)∠DCE的一邊交AO的延長(zhǎng)線(xiàn)于D時(shí)（如右下圖）：原結(jié)論變成：①；②；③。可參考上述第②種方法進(jìn)行證明。請(qǐng)思考初始條件的變化對(duì)模型的影響。對(duì)角互補(bǔ)模型總結(jié)：①常見(jiàn)初始條件：四邊形對(duì)角互補(bǔ)，注意兩點(diǎn)：四點(diǎn)共圓有直角三角形斜邊中線(xiàn)；②初始條件“角平分線(xiàn)”與“兩邊相等”的區(qū)別；③注意OC平分∠AOB時(shí)，∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB如何引導(dǎo)？模型四：角含半角模型90°角含半角模型90°1【條件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【結(jié)論】：①EF=DF+BE；②△CEF的周長(zhǎng)為正方形ABCD周長(zhǎng)的一半；也可以這樣：【條件】：①正方形ABCD；②EF=DF+BE；【結(jié)論】：①∠EAF=45°；角含半角模型90°2【條件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【結(jié)論】：①EF=DF-BE；角含半角模型90°3【條件】：①Rt△ABC；②∠DAE=45°；【結(jié)論】：（如圖1）若∠DAE旋轉(zhuǎn)到△ABC外部時(shí)，結(jié)論仍然成立（如圖2）角含半角模型90°變形【條件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【結(jié)論】：△AHE為等腰直角三角形；證明：連接AC（方法不唯一）∵∠DAC=∠EAF=45°，∴∠DAH=∠CAE，又∵∠ACB=∠ADB=45°；∴△DAH∽△CAE，∴∴△AHE∽△ADC，∴△AHE為等腰直角三角形模型五：倍長(zhǎng)中線(xiàn)類(lèi)模型倍長(zhǎng)中線(xiàn)類(lèi)模型1【條件】：①矩形ABCD；②BD=BE；③DF=EF；【結(jié)論】：AF⊥CF模型提取：①有平行線(xiàn)AD∥BE；②平行線(xiàn)間線(xiàn)段有中點(diǎn)DF=EF；可以構(gòu)造“8”字全等△ADF≌△HEF。倍長(zhǎng)中線(xiàn)類(lèi)模型2【條件】：①平行四邊形ABCD；②BC=2AB；③AM=DM；④CE⊥AB；【結(jié)論】：∠EMD=3∠MEA輔助線(xiàn)：有平行AB∥CD，有中點(diǎn)AM=DM，延長(zhǎng)EM，構(gòu)造△AME≌△DMF，連接CM構(gòu)造等腰△EMC，等腰△MCF。（通過(guò)構(gòu)造8字全等線(xiàn)段數(shù)量及位置關(guān)系，角的大小轉(zhuǎn)化）模型六：相似三角形360°旋轉(zhuǎn)模型（1）相似三角形（等腰直角）360°旋轉(zhuǎn)模型倍長(zhǎng)中線(xiàn)法【條件】：①△ADE、△ABC均為等腰直角三角形；②EF=CF；【結(jié)論】：①DF=BF；②DF⊥BF輔助線(xiàn)：延長(zhǎng)DF到點(diǎn)G，使FG=DF，連接CG、BG、BD，證明△BDG為等腰直角三角形；突破點(diǎn)：△ABD≌△CBG；難點(diǎn)：證明∠BAO=∠BCG（2）相似三角形（等腰直角）360°旋轉(zhuǎn)模型補(bǔ)全法【條件】：①△ADE、△ABC均為等腰直角三角形；②EF=CF；【結(jié)論】：①DF=BF；②DF⊥BF輔助線(xiàn)：構(gòu)造等腰直角△AEG、△AHC；輔助線(xiàn)思路：將DF與BF轉(zhuǎn)化到CG與EF。任意相似直角三角形360°旋轉(zhuǎn)模型補(bǔ)全法【條件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；【結(jié)論】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO輔助線(xiàn)：延長(zhǎng)BA到G，使AG=AB，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)H使DH=CD，補(bǔ)全△OGB、△OCH構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型。轉(zhuǎn)化AE與DE到CG與BH，難點(diǎn)在轉(zhuǎn)化∠AED。任意相似直角三角形360°旋轉(zhuǎn)模型倍長(zhǎng)法【條件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；【結(jié)論】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO輔助線(xiàn)：延長(zhǎng)DE至M，使ME=DE，將結(jié)論的兩個(gè)條件轉(zhuǎn)化為證明△AMD∽△ABO，此為難點(diǎn)，將△AMD∽△ABC繼續(xù)轉(zhuǎn)化為證明△ABM∽△AOD，使用兩邊成比例且?jiàn)A角相等，此處難點(diǎn)在證明∠ABM=∠AOD最短路程模型最短路程模型一（將軍飲馬類(lèi)）總結(jié)：右四圖為常見(jiàn)的軸對(duì)稱(chēng)類(lèi)最短路程問(wèn)題，最后都轉(zhuǎn)化到：“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短：解決；特點(diǎn)：①動(dòng)點(diǎn)在直線(xiàn)上；②起點(diǎn)，終點(diǎn)固定最短路程模型二（點(diǎn)到直線(xiàn)類(lèi)1）【條件】：①OC平分∠AOB；②M為OB上一定點(diǎn)；③P為OC上一動(dòng)點(diǎn)；④Q為OB上一動(dòng)點(diǎn)；【問(wèn)題】：求MP+PQ最小時(shí)，P、Q的位置？輔助線(xiàn)：將作Q關(guān)于OC對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q’，轉(zhuǎn)化PQ’=PQ，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥OA，則MP+PQ=MP+PQ’MH(垂線(xiàn)段最短）最短路程模型二（點(diǎn)到直線(xiàn)類(lèi)2）【條件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n）【問(wèn)題】：n為何值時(shí)，最??？求解方法：①x軸上取C(2,0),使sin∠OAC=；②過(guò)B作BD⊥AC，交y軸于點(diǎn)E，即為所求；③tan∠EBO=tan∠OAC=，即E（0，1）最短路程模型三（旋轉(zhuǎn)類(lèi)最值模型）【條件】：①線(xiàn)段OA=4，OB=2；②OB繞點(diǎn)O在平面內(nèi)360°旋轉(zhuǎn)；【問(wèn)題】：AB的最大值，最小值分別為多少？【結(jié)論】：以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑作圓，如圖所示，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”。最大值：OA+OB；最小值：OA-OB【條件】：①線(xiàn)段OA=4，OB=2；②以點(diǎn)O為圓心，OB，OC為半徑作圓；③點(diǎn)P是兩圓所組成圓環(huán)內(nèi)部（含邊界）一點(diǎn)；【結(jié)論】：若PA的最大值為10，則OC=6；若PA的最小值為1，則OC=3；若PA的最小值為2，則PC的取值范圍是0<PC<2【條件】：①Rt△OBC，∠OBC=30°；②OC=2；③OA=1；④點(diǎn)P為BC上動(dòng)點(diǎn)（可與端點(diǎn)重合）；⑤△OBC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)【結(jié)論】：PA最大值為OA+OB=；PA的最小值為如下圖，圓的最小半徑為O到BC垂線(xiàn)段長(zhǎng)。模型八：二倍角模型【條件】：在△ABC中，∠B=2∠C；輔助線(xiàn)：以BC的垂直平分線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸，作點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A’，連接AA’、BA’、CA’、則BA=AA’=CA’(注意這個(gè)結(jié)論）此種輔助線(xiàn)作法是二倍角三角形常見(jiàn)的輔助線(xiàn)作法之一，不是唯一作法。模型九：相似三角形模型A字型8字型A字型相似三角形模型--基本型平行類(lèi)：DE∥BC；結(jié)論：(注意對(duì)應(yīng)邊要對(duì)應(yīng)）相似三角形模型斜交型【條件】：如右圖，∠AED=∠ACB=90°；【結(jié)論】：AE×AB=AC×AD【條件】：如右圖，∠ACE=∠ABC；【結(jié)論】：AC2=AE×AB第四個(gè)圖還存在射影定理：AE×EC=BC×AC；BC2=BE×BA；CE2=AE×BE；相似三角形模型一線(xiàn)三等角型【條件】：（1）圖：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°；（2）圖：∠ABC=∠ACE=∠CDE=60°；（3）圖：∠ABC=∠ACE=∠CDE=45°；【結(jié)論】：①△ABC∽△CDE；②AB×DE=BC×CD；一線(xiàn)三等角模型也經(jīng)常用來(lái)建立方程或函數(shù)關(guān)系。相似三角形模型圓冪定理型【條件】：（2）圖：PA為圓的切線(xiàn)；【結(jié)論】：（1）圖：PA×PB=PC×PD；（2）圖：PA2=PC×PB;（3）圖：PA×PB=PC×PD；以上結(jié)論均可以通過(guò)相似三角形進(jìn)行證明。全等變換平移：平行等線(xiàn)段（平行四邊形）對(duì)稱(chēng)：角平分線(xiàn)或垂直或半角旋轉(zhuǎn)：相鄰等線(xiàn)段繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 對(duì)稱(chēng)全等模型說(shuō)明：以角平分線(xiàn)為軸在角兩邊進(jìn)行截長(zhǎng)補(bǔ)短或者作邊的垂線(xiàn)，形成對(duì)稱(chēng)全等。兩邊進(jìn)行邊或者角的等量代換，產(chǎn)生聯(lián)系。垂直也可以做為軸進(jìn)行對(duì)稱(chēng)全等。對(duì)稱(chēng)半角模型說(shuō)明：上圖依次是45°、30°、22.5°、15°及有一個(gè)角是30°直角三角形的對(duì)稱(chēng)（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等邊三角形、對(duì)稱(chēng)全等。旋轉(zhuǎn)全等模型半角：有一個(gè)角含1/2角及相鄰線(xiàn)段自旋轉(zhuǎn)：有一對(duì)相鄰等線(xiàn)段，需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等共旋轉(zhuǎn)：有兩對(duì)相鄰等線(xiàn)段，直接尋找旋轉(zhuǎn)全等中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：倍長(zhǎng)中點(diǎn)相關(guān)線(xiàn)段轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)全等問(wèn)題旋轉(zhuǎn)半角模型說(shuō)明：旋轉(zhuǎn)半角的特征是相鄰等線(xiàn)段所成角含一個(gè)二分之一角，通過(guò)旋轉(zhuǎn)將另外兩個(gè)和為二分之一的角拼接在一起，成對(duì)稱(chēng)全等。自旋轉(zhuǎn)模型構(gòu)造方法：遇60度旋60度，造等邊三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋頂點(diǎn)，造旋轉(zhuǎn)全等遇中點(diǎn)旋180度，造中心對(duì)稱(chēng)共旋轉(zhuǎn)模型說(shuō)明：旋轉(zhuǎn)中所成的全等三角形，第三邊所成的角是一個(gè)經(jīng)?？疾斓膬?nèi)容。通過(guò)“8”字模型可以證明模型變形說(shuō)明：模型變形主要是兩個(gè)正多邊形或者等腰三角形的夾角的變化，另外是等腰直角三角形與正方形的混用。當(dāng)遇到復(fù)雜圖形找不到旋轉(zhuǎn)全等時(shí)，先找兩個(gè)正多邊形或者等腰三角形的公共頂點(diǎn)，圍繞公共頂點(diǎn)找到兩組相鄰等線(xiàn)段，分組組成三角形證全等。中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：說(shuō)明：兩個(gè)正方形、兩個(gè)等腰直角三角形或者一個(gè)正方形一個(gè)等腰直角三角形及兩個(gè)圖形頂點(diǎn)連線(xiàn)的中點(diǎn)，證明另外兩個(gè)頂點(diǎn)與中點(diǎn)所成圖形為等腰直角三角形。證明方法是倍長(zhǎng)所要證等腰直角三角形的一直角邊，轉(zhuǎn)化成要證明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)，通過(guò)證明旋轉(zhuǎn)全等三角形證明倍長(zhǎng)后的大三角形為等腰直角三角形從而得證。幾何最值模型對(duì)稱(chēng)最值(兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短)對(duì)稱(chēng)最值(點(diǎn)到直線(xiàn)垂線(xiàn)段最短)說(shuō)明：通過(guò)對(duì)稱(chēng)進(jìn)行等量代換，轉(zhuǎn)換成兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)到直線(xiàn)距離。旋轉(zhuǎn)最值(共線(xiàn)有最值)說(shuō)明：找到與所要求最值相關(guān)成三角形的兩個(gè)定長(zhǎng)線(xiàn)段，定長(zhǎng)線(xiàn)段的和為最大值，定長(zhǎng)線(xiàn)段的差為最小值。剪拼模型三角形→四邊形四邊形→四邊形說(shuō)明：剪拼主要是通過(guò)中點(diǎn)的180度旋轉(zhuǎn)及平移改變圖形的形狀。矩形→正方形說(shuō)明：通過(guò)射影定理找到正方形的邊長(zhǎng)，通過(guò)平移與旋轉(zhuǎn)完成形狀改變正方形+等腰直角三角形→正方形面積等分旋轉(zhuǎn)相似模型兩個(gè)等腰直角三角形成旋轉(zhuǎn)全等，兩個(gè)有一個(gè)角是300角的直角三角形成旋轉(zhuǎn)相似。兩個(gè)任意相似三角形旋轉(zhuǎn)成一定角度，成旋轉(zhuǎn)相似。第三邊所成夾角符合旋轉(zhuǎn)“8”字的規(guī)律。相似模型說(shuō)明：注意邊和角的對(duì)應(yīng)，相等線(xiàn)段或者相等比值在證明相似中起到通過(guò)等量代換來(lái)構(gòu)造相似三角形的作用。說(shuō)明：（1）三垂直到一線(xiàn)三等角的演變，三等角以30度、45度、60度形式出現(xiàn)的居多。（2）內(nèi)外角平分線(xiàn)定理到射影定理的演變，注意之間的相同與不同之處。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推廣到圓冪定理）之間的比值可以轉(zhuǎn)換成乘積，通過(guò)等線(xiàn)段、等比值、等乘積進(jìn)行代換，進(jìn)行證明得到需要的結(jié)論。說(shuō)明：相似證明中最常用的輔助線(xiàn)是做平行，根據(jù)題目的條件或者結(jié)論的比值來(lái)做相應(yīng)的平行線(xiàn)。經(jīng)典難題（一）1、已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點(diǎn)，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．AFAFGCEBODAPCDAPCDB求證：△PBC是正三角形．（初二）D2C2B2A2D1C1B1CBDAA13、如圖，已知四邊形ABCD、A1B1C1DD2C2B2A2D1C1B1CBDAA1求證：四邊形A2B2C2D2是正方形．（初二）ANANFECDMB求證：∠DEN＝∠F．經(jīng)典難題（二）1、已知：△ABC中，H為垂心（各邊高線(xiàn)的交點(diǎn)），O為外心，且OM⊥BC于M．·A·ADHEMCBO（2）若∠BAC＝600，求證：AH＝AO．·GAODB·GAODBECQPNM求證：AP＝AQ．3、如果上題把直線(xiàn)MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題：設(shè)MN是圓O的弦，過(guò)MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE，設(shè)CD、EB分別交MN于P、Q．·O·OQPBDECNM·A4、如圖，分別以△ABC的AC和BC為一邊，在△ABC的外側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)．PCPCGFBQADE經(jīng)典難題（三）1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE與CD相交于F．AFAFDECB2、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直線(xiàn)EC交DA延長(zhǎng)線(xiàn)于F．求證：AE＝AF．（初二）EEDACBF3、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn)，PF⊥AP，CF平分∠DCE．DFEDFEPCBAODODBFAECP經(jīng)典難題（四）1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PA＝3，PB＝4，PC＝5．APAPCB2、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且∠PBA＝∠PDA．求證：∠PAB＝∠PCB．（初二）PPADCB3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）CCBDA4、平行四邊形ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn)，AE與CF相交于P，且AE＝CF．求證：∠DPA＝∠DPC．（初二）FFPDECBA經(jīng)典難題（五）設(shè)P是邊長(zhǎng)為1的正△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，L＝PA＋PB＋PC，求證：≤L＜2．AAPCB2、已知：P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，求PA＋PB＋PC的最小值．ACACBPDACBPACBPDEDCBA4、如圖，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，∠DCA＝30EDCBA經(jīng)典難題（一）1.如下圖做GH⊥AB,連接EO。由于GOFE四點(diǎn)共圓，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得==,又CO=EO，所以CD=GF得證。2.如下圖做△DGC使與△ADP全等，可得△PDG為等邊△，從而可得△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150所以∠DCP=300，從而得出△PBC是正三角形3.如下圖連接BC1和AB1分別找其中點(diǎn)F,E.連接C2F與A2E并延長(zhǎng)相交于Q點(diǎn)，連接EB2并延長(zhǎng)交C2Q于H點(diǎn)，連接FB2并延長(zhǎng)交A2Q于G點(diǎn)，由A2E=A1B1=B1C1=FB2，EB2=AB=BC=FC1，又∠GFQ+∠Q=900和∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2，可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2,從而可得∠A2B2C2=900，同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形。4.如下圖連接AC并取其中點(diǎn)Q，連接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，從而得出∠DEN＝∠F。經(jīng)典難題（二）1.(1)延長(zhǎng)AD到F連BF，做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD，可得BH=BF,從而可得HD=DF，又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)連接OB，OC,既得∠BOC=1200，從而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得證。3.作OF⊥CD，OG⊥BE，連接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。由于，由此可得△ADF≌△ABG，從而可得∠AFC=∠AGE。又因?yàn)镻FOA與QGOA四點(diǎn)共圓，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ，∠AOP=∠AOQ，從而可得AP=AQ。4.過(guò)E,C,F點(diǎn)分別作AB所在直線(xiàn)的高EG，CI，F(xiàn)H?？傻肞Q=。由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。從而可得PQ==，從而得證。經(jīng)典難題（三）1.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ADE，到△ABG，連接CG.由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350從而可得B，G，D在一條直線(xiàn)上，可得△AGB≌△CGB。推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC為等邊三角形。∠AGB=300，既得∠EAC=300，從而可得∠AEC=750。又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可證：CE=CF。2.連接BD作CH⊥DE，可得四邊形CGDH是正方形。由AC=CE=2GC=2CH，可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，又∠FAE=900+450+150=1500，從而可知道∠F=150，從而得出AE=AF。3.作FG⊥CD，F(xiàn)E⊥BE，可以得出GFEC為正方形。令A(yù)B=Y，BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。tan∠BAP=tan∠EPF==，可得YZ=XY-X2+XZ，即Z(Y-X)=X(Y-X)，既得X=Z，得出△ABP≌△PEF，得到PA＝PF，得證。經(jīng)典難題（四）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABP600，連接PQ，則△PBQ是正三角形?？傻谩鱌QC是直角三角