專(zhuān)題02 圓-垂經(jīng)定理（2個(gè)考點(diǎn)六大類(lèi)型）（題型專(zhuān)練）（解析版）

專(zhuān)題02圓-垂經(jīng)定理（2個(gè)考點(diǎn)五大類(lèi)型）【題型1運(yùn)用垂徑定理直接求線(xiàn)段的長(zhǎng)度】【題型2垂徑定理在格點(diǎn)中的運(yùn)用】【題型3垂徑定理與方程的綜合應(yīng)用】【題型4同心圓與垂井定理綜合】【題型5垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】【題型1運(yùn)用垂徑定理直接求線(xiàn)段的長(zhǎng)度】1.（2023?增城區(qū)二模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，OC＝5，CD＝8，則OE＝（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【解答】解：∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝4，在Rt△OCE中，OE＝＝＝3．故選：C．2.（2023?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)三模）如圖，AB為⊙O的直徑，半徑OA的垂直平分線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)C，D，交AB于點(diǎn)E，若，則BE的長(zhǎng)為（）A． B．6 C． D．8【答案】B【解答】解：如圖，連接OC，∵AB為⊙O的直徑，CD垂直平分OA，∴CE＝CD＝2，OE＝OC，∵OE2+CE2＝OC2，∴OE2+12＝4OE2，∴OE＝2，∴OB＝OC＝4，∴BE＝2+4＝6．故選：B．3．（2023?安徽模擬）如圖，⊙O的弦AB垂直于CD，點(diǎn)E為垂足，連接OE．若AE＝1，AB＝CD＝6，則OE的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：過(guò)O點(diǎn)作OH⊥AB于H點(diǎn)，OF⊥CD于F點(diǎn)，連接OB、OC，如圖，則DF＝CF＝CD＝3，AH＝BH＝AB＝3，∵AE＝1，∴EH＝AH﹣AE＝2，在Rt△OBH和Rt△OCF中，，∴Rt△OBH≌Rt△OCF（HL），∴OH＝OF，∵CD⊥AB，∴∠HEF＝90°，∵∠OHE＝∠OFE＝90°，∴四邊形OHEF為正方形，∴OE＝EH＝2．故選：A．4．（2022秋?泉港區(qū)期末）如圖，⊙O的半徑為5，弦心距OC＝3，則弦AB的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】D【解答】解：連接OA，∵OC為弦心距，∴OC⊥AB，AB＝2AC，在Rt△ACO中，由勾股定理，得，∴AB＝2AC＝8．故選：D．5．（新昌縣校級(jí)期中）如圖，⊙O的半徑為4，以A為圓心，OA為半徑的弧交⊙O于B、C點(diǎn)，則BC＝（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：由題意可知，OA＝OC＝OA＝AB＝AC＝4，∴四邊形ABCD是菱形，△AOB是正三角形，∴OA⊥BC，∠OBC＝30°，∴BC＝2××4＝4，故選：A．6．（嘉興期末）如圖，⊙O的直徑AB＝12，弦CD垂直AB于點(diǎn)P．若BP＝2，則CD的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．4 D．8【答案】C【解答】解：如圖，連接OC，∵AB＝12，∴OC＝OB＝6，∵PB＝2，∴OP＝4，在Rt△OPC中，CP＝，∵CD⊥AB，∴CP＝DP，∴CD＝2PC＝．故選：C．【題型2垂徑定理在格點(diǎn)中的運(yùn)用】7.（2023?襄陽(yáng)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)格點(diǎn)A，B，C作一圓弧，則該弧的圓心的坐標(biāo)為（）A．（1，0） B．（2，0） C．（2.5，0） D．（2.5，1）【答案】B【解答】解：如圖所示：D（2，0）；故選：B．8.（2022秋?利通區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)格點(diǎn)A、B、C作以圓弧，則圓心的坐標(biāo)是（2，1）．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：分別作AB、BC的垂直平分線(xiàn)，交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為圓心，由圖知，圓心P的坐標(biāo)為（2，1），故答案為：（2，1）．9．（2022秋?長(zhǎng)沙期中）如圖，以點(diǎn)P為圓心的圓弧與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，2），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）．【答案】（6，0）．【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C，∵以點(diǎn)P為圓心的圓弧與x軸交于A，B兩點(diǎn)，∴AC＝BC，∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，2），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），AC＝2，∴BC＝2，∴OB＝6，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）．故答案為：（6，0）．10．如圖，在直角坐標(biāo)系中，一條圓弧經(jīng)過(guò)正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)A，B，C．若A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，2），則圓心M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．【答案】（2，0）．【解答】解：如圖，作AB和BC的垂直平分線(xiàn)，它們的交點(diǎn)為M點(diǎn)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．故答案為：（2，0）．11．（東臺(tái)市期末）如圖，點(diǎn)E在y軸上，⊙E與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C、D，若C（0，9），D（0，﹣1），則線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度為（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【解答】解：連接EB，如圖所示：∵C（0，9），D（0，﹣1），∴OD＝1，OC＝9，∴CD＝10，∴EB＝ED＝CD＝5，OE＝5﹣1＝4，∵AB⊥CD，∴AO＝BO＝AB，OB＝＝＝3，∴AB＝2OB＝6；故選：C．【題型3垂徑定理與方程的綜合應(yīng)用】12．（2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB交于點(diǎn)E．若BE＝10，CD＝8，則⊙O的半徑為（）A．3 B．4.2 C．5.8 D．6【答案】C【解答】解：連接OC，設(shè)⊙O的半徑為R，則OE＝10﹣R，∵CD⊥AB，AB過(guò)圓心O，CD＝8，∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，R2＝42+（10﹣R）2，解得：R＝5.8，即⊙O的半徑長(zhǎng)是5.8，故選：C．13.（淄博）“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)：徑幾何？”用現(xiàn)在的幾何語(yǔ)言表達(dá)即：如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為點(diǎn)E，CE＝1寸，AB＝10寸，則直徑CD的長(zhǎng)度是（）A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸【答案】D【解答】解：連接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10寸，∴AE＝BE＝5寸，設(shè)圓O的半徑OA的長(zhǎng)為x，則OC＝OD＝x，∵CE＝1，∴OE＝x﹣1，在直角三角形AOE中，根據(jù)勾股定理得：x2﹣（x﹣1）2＝52，化簡(jiǎn)得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，即2x＝26，∴CD＝26（寸）．故選：D．14．（2022秋?西城區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，連接OC并延長(zhǎng)交劣弧AB于點(diǎn)D，連接OB，DB．若AB＝4，CD＝1，求△BOD的面積．【答案】．【解答】解：設(shè)⊙O的半徑是r，∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，OC過(guò)圓心O，∴OC⊥AB，∵AB＝4，CD＝1，∴BC＝AB＝2，OC＝OD﹣CD＝r﹣1，∵OB2＝OC2+BC2，∴r2＝（r﹣1）2+22，∴r＝，∴OD＝，∴△BOD的面積＝OD?BC＝××2＝．【題型4同心圓與垂徑定理綜合】15．如圖，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)，AC＝2．求BD的長(zhǎng)．【答案】2．【解答】解：作OH⊥AB于H，∴AH＝BH，CH＝DH，∴AH﹣CH＝BH﹣DH，∴BD＝AC＝2．16．如圖，在兩個(gè)同心圓⊙O中，大圓的弦AB與小圓相交于C，D兩點(diǎn)．（1）求證：AC＝BD；（2）若AC＝2，BC＝4，大圓的半徑R＝5，求小圓的半徑r的值；（3）若AC?BC等于12，請(qǐng)直接寫(xiě)出兩圓之間圓環(huán)的面積．（結(jié)果保留π）【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：過(guò)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，如圖1，由垂徑定理可得AE＝BE，CE＝DE，∴AE﹣CE＝BE﹣DE，∴AC＝BD；（2）解：連接OC、OA，如圖2，∵AC＝2，BC＝4，∴AB＝2+4＝6，∴AE＝3，∴CE＝AE﹣AC＝3﹣2＝1，在Rt△AOE中，由勾股定理可得OE2＝OA2﹣AE2＝52﹣32＝16，在Rt△COE中，由勾股定理可得OC2＝CE2+OE2＝12+16＝17，∴OC＝，即小圓的半徑r為；（3）解：連接OA，OC，作OE⊥AB于點(diǎn)E，如圖2，由垂徑定理可得AE＝BE．在Rt△AOE與Rt△OCE中：OE2＝OA2﹣AE2，OE2＝OC2﹣CE2，∴OA2﹣AE2＝OC2﹣CE2，∴OA2﹣OC2＝AE2﹣CE2＝（AE+CE）（AE﹣CE）＝（BE+CE）?AC＝BC?AC＝12，∴OA2﹣OC2＝12，∴圓環(huán)的面積為：πOA2﹣πOC2＝π（OA2﹣OC2）＝12π．【題型5垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】17.（2023?南平模擬）我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問(wèn)題：“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知大小，用鋸子去鋸這個(gè)木材，鋸口深DE＝1寸，鋸道AB＝1尺（1尺＝10寸），則這根圓柱形木材的直徑是（）A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸【答案】D【解答】解：延長(zhǎng)DE，交⊙O于點(diǎn)E，連接OA，由題意知DE過(guò)點(diǎn)O，且OD⊥AB，∵OD為⊙O半徑，∴尺＝5寸，設(shè)半徑OA＝OD＝r，∵DE＝1寸，∴OE＝（r﹣1）寸，在Rt△OAE中，根據(jù)勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r．解得：r＝13，∴木材直徑為26寸；故選：D．18.（2022秋?龍巖期末）筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧．如圖1，點(diǎn)M表示筒車(chē)的一個(gè)盛水桶．如圖2，當(dāng)筒車(chē)工作時(shí)，盛水桶的運(yùn)行路徑是以軸心O（O在水面上方）為圓心的圓，且圓O被水面截得的弦AB長(zhǎng)為8米．若筒車(chē)工作時(shí)，盛水桶在水面以下的最大深度為2米，則這個(gè)圓的半徑為（）A．2米 B．3米 C．4米 D．5米【答案】D【解答】解：過(guò)O點(diǎn)作半徑OD⊥AB于E，如圖，∵AB＝8米∴AE＝BE＝AB＝×8＝4米，∵DE＝2米，∴設(shè)OD＝OA＝x米，則OE＝（x﹣2）米，在Rt△AOE中，OE2+AE2＝OA2，即（x﹣2）2+42＝x2，解得x＝5，故OA＝5米．故選：D．19．（2022秋?龍亭區(qū)校級(jí)期末）一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OB＝5，水面寬AB＝8，則截面圓心O到水面的距離OC是（）A．3 B．4 C． D．6【答案】A【解答】解：∵OC⊥AB，OC過(guò)圓心O點(diǎn)，∴BC＝AC＝AB＝×8＝4，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝3．故選：A．20．（2023?浦東新區(qū)模擬）把球放在長(zhǎng)方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖，已知EF＝CD＝8cm，則球的半徑長(zhǎng)是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】B【解答】解：設(shè)圓心為O，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥AD于點(diǎn)N，交CB于點(diǎn)M，連接OF，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四邊形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝8，設(shè)OF＝xcm，則OM＝OF，∴ON＝MN﹣OM＝（8﹣x）cm，NF＝EN＝4cm，在Rt△ONF中，ON2+NF2＝OF2即：（8﹣x）2+42＝x2解得：x＝5，故選：B．21．（2022秋?黃岡期中）如圖，一圓弧形橋拱的圓心為E，拱橋的水面跨度AB＝80米，橋拱到水面的最大高度DF為20米．求：（1）橋拱的半徑；（2）現(xiàn)水面上漲后水面跨度為60米，求水面上漲的高度為10米．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖，設(shè)點(diǎn)E是拱橋所在的圓的圓心，作EF⊥AB于F，延長(zhǎng)EF交圓于點(diǎn)D，則由垂徑定理知，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，AF＝FB＝AB＝40，EF＝ED﹣FD＝AE﹣DF，由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣DF）2，設(shè)圓的半徑是r，則：r2＝402+（r﹣20）2，解得：r＝50；即橋拱的半徑為50米；（2）設(shè)水面上漲后水面跨度MN為60米，MN交ED于H，連接EM，如圖2所示則MH＝NH＝MN＝30，∴EH＝＝40（米），∵EF＝50﹣20＝30（米），∴HF＝EH﹣EF＝10（米）；故答案為：10．22．如圖所示，破殘的圓形輪片上，弦AB的垂直平分線(xiàn)交弧AB于點(diǎn)C，交弦AB于點(diǎn)D．已知：AB＝24cm，CD＝8cm．（1）求作此殘片所在的圓（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．（2）求殘片所在圓的面積．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）作弦AC的垂直平分線(xiàn)與弦AB的垂直平分線(xiàn)交于O點(diǎn)，以O(shè)為圓心OA長(zhǎng)為半徑作圓O就是此殘片所在的圓，如圖．（2）連接OA，設(shè)OA＝x，AD＝12cm，OD＝（x﹣8）cm，則根據(jù)勾股定理列方程：x2＝122+（x﹣8）2，解得：x＝13．即：圓的半徑為13cm．所以圓的面積為：π×132＝169π（cm2）．22．（2022秋?二七區(qū)校級(jí)月考）如圖，隧道的截面由半圓和長(zhǎng)方形構(gòu)成，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)BC為12m，寬AB為3m，若該隧道內(nèi)設(shè)雙行道，現(xiàn)有一輛貨運(yùn)卡車(chē)高8m，寬2.3m，則這輛貨運(yùn)卡車(chē)能否通過(guò)該隧道？【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：能通過(guò)，在AD上取G，使OG＝2.3m，過(guò)G作EG⊥BC于F反向延長(zhǎng)交半圓E，則GF＝AB＝3m，圓的半徑OE＝AD＝6m，由勾股定理，得EG＝＝5.54，E點(diǎn)與BC的距離為5.54+3＝8.54＞8；故能通過(guò)．23.（2022秋?海曙區(qū)校級(jí)月考）如圖，有一座圓弧形拱橋，它的跨度AB為30m，拱高PM為9m，當(dāng)洪水泛濫到跨度只有15m時(shí)，就要采取緊急措施，若某次洪水中，拱頂離水面只有2m，即PN＝2m時(shí)，試求：（1）拱橋所在的圓的半徑；（2）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明是否需要采取緊急措施．【答