浙江省杭州市北斗聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（原卷版）

絕密★考試結(jié)束前2023學(xué)年第一學(xué)期杭州北斗聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題命題：淳安二中北師大嘉興附中考生須知：1．本卷共6頁滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），則z的虛部是（）A.2i B. C.2 D.3.“”是“直線與直線互相垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.物理學(xué)中，如果一個物體受到力的作用，并在力的方向上發(fā)生了一段位移，我們就說這個力對物體做了功，功的計算公式：（其中是功，是力，是位移）一物體在力和的作用下，由點移動到點，在這個過程中這兩個力的合力對物體所作的功等于（）A.25 B.5 C. D.5.“太極圖”因其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，故也被稱為“陰陽魚太極圖”．如圖是放在平面直角坐標系中的“太極圖”，圖中曲線為圓或半圓，已知點是陰影部分（包括邊界）的動點，則的最小值為（）A. B. C. D.6.已知是定義域為的奇函數(shù),滿足.若，則A. B. C. D.7.如圖，在三棱錐中，點為底面重心，點是線段上靠近點的三等分點，過點的平面分別交棱，，于點，，，若，，，則（）A. B. C. D.8.如今中國被譽為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程?高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊?平衡盾構(gòu)機等國之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球為正四面體的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個面均相切，最小球與中等球和正四面體三個面均相切，已知正四面體棱長為，則模型中九個球的表面積和為（）A. B. C. D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.有一組樣本甲的數(shù)據(jù)，一組樣本乙的數(shù)據(jù)，其中為不完全相等的正數(shù)，則下列說法正確的是（）A.樣本甲的極差一定小于樣本乙的極差B.樣本甲的方差一定大于樣本乙的方差C.若樣本甲的中位數(shù)是，則樣本乙的中位數(shù)是D.若樣本甲的平均數(shù)是，則樣本乙的平均數(shù)是10.已知，是圓O：上兩點，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若點O到直線AB的距離為，則C.若，則的最大值為D.若，則的最大值為411.已知甲盒中有五個相同的小球，標號為1，2，3，4，5，乙盒中有五個相同的小球，標號為3，4，5，6，7.現(xiàn)從甲、乙兩盒中分別隨機抽取1個小球，記事件A＝“抽取的兩個小球標號相同”，事件B＝“抽取的兩個小球標號之和為奇數(shù)”，事件C＝“抽取的兩個小球標號之和大于8”，則（）.A.事件A與事件B是互斥事件B.事件A與事件B對立事件C.D.12.如圖，在正四棱柱中，，，是該正四棱柱表面或內(nèi)部一點，直線與底面所成角分別記為，且，記動點P的軌跡與棱的交點為，則下列說法正確的是（）A.為中點B.線段長度的最小值為5C.存在一點，使得平面D.若在正四棱柱表面，則點的軌跡長度為非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.過點且方向向量為的直線的方程為___________．14.已知，，且，則最小值為______.15.某學(xué)校10位同學(xué)組成的志愿者組織分別由李老師和張老師負責，每次獻愛心活動均需該組織2位同學(xué)參加．假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立，隨機地發(fā)給2位同學(xué)，且所發(fā)信息都能收到，則甲同學(xué)收到李老師或張老師所發(fā)活動通知的信息的概率為______．16.已知單位空間向量，，滿足，.若空間向量滿足，且對于任意實數(shù)，的最小值是2，則的最小值是___________.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．18.亞洲運動會簡稱亞運會，是亞洲規(guī)模最大的綜合性運動會，由亞洲奧林匹克理事會的成員國輪流主辦，每四年舉辦一屆.1951年第1屆亞運會在印度首都新德里舉行，七十多年來亞洲運動員已成為世界體壇上一支不可忽視的力量，而中國更是世界的體育大國和亞洲的體育霸主.第19屆杭州2022年亞運會將于2023年9月23日至10月8日舉辦，為普及體育知識，增強群眾體育鍛煉意識，某地舉辦了亞運知識競賽活動.活動分為男子組和女子組進行，最終決賽男女各有40名選手參加，右圖是其中男子組成績的頻率分布直方圖（成績介于85到145之間），（1）求圖中缺失部分的直方圖的高度，并估算男子組成績排名第10的選手分數(shù)；（2）若計劃從男子組中105分以下的選手中隨機抽樣調(diào)查2個同學(xué)的答題狀況，則抽到的選手中至少有1位是95分以下選手的概率是多少？（3）若女子組40位選手的平均分為117，標準差為12，試求所有選手的平均分和方差.19已知函數(shù).（1）若方程在上有且只有一個實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；（2）在中，若，內(nèi)角A的角平分線，，求AC的長度.20.已知圓：M：.關(guān)于直線對稱，記點，過點.的直線與圓相切于點.（1）求的最小值；（2）當取最小值時，求切點所在的直線方程.21.如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，分別是線段的中點，在平面內(nèi)的射影為.（1）求證：平