2022屆高考數(shù)學訓練題

2022年高考數(shù)學考前訓練題

1.在直三棱柱48C-N8c中，ZJSC=90°,AB=BC=AA\=\.

(1)求異面直線51cl與4c所成的角的大小；

(2)求直線ZC與平面/8C所成角.

【分析】(1)由81ci〃8c可知NZC8即為異面直線81cl與NC所成的角，在

中即可求出NZC8的大小.

(2)由小/J_平面/8CO可知N/|C4即為直線/C與平面Z8C所成角，在Rt/UMC

中求出cos/4C4的值即可.

【解答】解：(1)'：B\C\//BC,

：.N4CB即為異面直線B\Ci與AC所成的角，

VZABC=90°,AB=BC=1,

：.ZACB=45°,

即異面直線81cl與ZC所成的角的大小為45°.

(2)?.?直三棱柱N8C-48C,

平面ABCD,

：.AA\CA即為直線小C與平面/8C所成角，

22

在RtZi4/C中，小Z=l,AC=V2,：.AiC=y/AAA+AC=V3,

./Jr'Agn

??cosN力|CA="y==與

V6

..ZAiCA—arccos—,

3

,._y/6

即直線41C與平面ABC所成的角為arccos—.

【點評】本題主要考查了異面直線的夾角，考查了直線與平面所成角，是中檔題.

2.如圖，在四棱錐P-/8CZ)中，AB//CD,且/8/P=/CDP=90°.

(1)證明：平面E18JL平面處￡(；

(2)若以=PD=4B=DC=1,ZAPD=90a,求二面角尸-/C-。的大小.

【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明18,平面以。，根據(jù)面面垂直的判定定理證

明即可；

（2）建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，然后利用待定系數(shù)

法求出平面PAC的法向量，由向量的夾角公式求解即可.

【解答】（1）證明：由已知/8ZP=NCOP=90°,

所以CDA.PD,

由于48〃CD,故

又APCPD=P,AP,PDu平面以。，

從而481.平面弘D,

又48u平面PAB,

所以平面平面PAD-,

（2）解：在平面玄。內(nèi)作刊U/。，垂足為F,

由（1）可知，ABL^^PAD,PFu平面RiD,

所以尸RJL/8,又ABCAD=A,AB,ABCD,

所以PF_L平面488,

以點F為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，

因為以=PD=/B=QC=1,NAPD=90°,

則40=y/PA2+PD2=V2，

所以尸（0,0,0）,4（孝,0,0）,P（0,0,孝），C（一孝，1，0）,。（一孝，0,0）,

故A=（孝，0,一孝），CA=（V2,-1,0）,DA=（V2,0,0）,

設(shè)平面為C的法向量為￡=（%,y,z）,

則"r=0,gpjTx-Tz=0,

（C/4-n=0-y=0

令x=l,則y=&,z=l,

所以n=（1,近,1）,

又平面的一個法向量為薪=(0,0,1),

1

所以cos<n,m>=-"吧-=,-=

|n||m|71+2+lxl2

因為二面角P-/C-。為銳二面角，

JT

所以二面角P-AC-D的大小為J

【點評】本題考查了立體幾何的綜合應用，涉及了線面垂直的判定定理和面面垂直的判

定定理的應用，在求解有關(guān)空間角問題的時候，一般會建立合適的空間直角坐標系，將

空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進行研究，屬于中檔題.

3.如圖，四棱錐4-8CDE是由直角△N8C沿其中位線OE翻折而成，且芻PC

=2BI',設(shè)A8=l,/C=3.

(I)若NA，EB=J,求二面角A'-BD-P的余弦值;

(II)若二面角C-A'D-E的大小為T，求三棱錐P-A,ED的體積.

6

【分析】(I)因為/4劭=條則△4E8為等邊三角形，取分別8E,CZ)的中點O,F,

連接。凡以點。為坐標原點，分別以08,OF,OA1為x軸，y軸，z軸，再求兩平面

的法向量，再用向量法求二面角的大小.

（n）先作出二面角C-4D-E的補補角，即二面角O-E的大小，然后多次利

用直角三角形的邊的關(guān)系求出點Z'到面BCDE的距離，再求尸到面8CDE的距離.

【解答】解：（I）因為///8=多則為等邊三角形，

取分別8E,8的中點O,F,連接OF,

以點O為坐標原點，分別以08,OF,OA'為x軸，y軸，z軸,

建立空間直角坐標系，如圖：

則B弓，0,0),C(1,2VL0),A(0,0,給,D(-/,y/2,0),

由題意可知，OP=4OC+：。4',所以，P(條，2黑,,

所以BD=(—>J2,0)>A'B=>0，—亨),BP=(—,噂)，

設(shè)平面8。的一個法向量為五=Qi，y「Zi),

on.J*_n-義工1+VZy-t+0=0t

所以，,即12,不妨令y[=百，所以%=(2遍,

,2—o[%]+o—5rzi-o

5,2V2),

設(shè)平面PBD的法向量A=(%2，為，Z2),

—

fJi,-_八f5%2+V2y2+0=0一

所以呼己=°,即:”G，不妨令及=次，所以改=(2遍，遍,

^P-n=01_蒜+竽+條2=。

-272),

E二i、i——t、_九1?幾2_2\/6X2A/6+V3XV3+2A/2^X(—2\/2)_19

月T以COS、71]，M2>=|TT=/99JJ=OC?

眄卜1叱|(J(2/6)2+(A/3)2+(2,/2)2)2

19

所以二面角A'-BD?P的余弦值不；

35

(II)過點E作EMVA'。于M,

再過點加在平面。內(nèi)作"'。的垂線交44'于N,連接NE.

NNME為二面角E-4,。-4的平面角，

57T77

二面角C-A'D-E的大小為一，，NNME=

在RtAZBC中，由/8=1,NC=3,所以8c=2&，DE=V2,A'E=AE=^,

由折又疊知QE,44'E,所以DELEN,

由作輔助線過程程知4。，面MNE,所以NEL4'D,又A'DCDE=D,

所以FALL/'DE,所以EN_L/'E,

由RtA4,ED,容易求得/Z)=|,又54D.EM=]4E.DE,所以應0=爭

在RtAMNE中,又/NMEj所以￡7V=孝x字=萼，

在RtZU'EN中，由勾股定理得/'%=續(xù)5,所以sinz_M4'E=-^組,cos4M4'E=下三,

18V105V105

所以sinZTlEA'=2x-j==x-T===黑普,

7105710535

所以到面5C0E的距離為一,,PC=2PA',

35

4\/6

所以點P至『面BCDE的距離為一，

35

又SAAED=|X|XV2=^,

所以三棱錐P-A'ED的體積=義XqX禁=器.

DI-DJX\JJ

Af

【點評】本題考查學生求空間角中的面面角和體積，第二問難度大，運算量也大對學生

知識面要求高，空間想象力要強.

1X2y2

4.已知拋物線。：y1=2px(/?>0)和右焦點為尸的橢圓C2：~+~=]-如圖，過橢圓

C2左頂點T的直線交拋物線Ci于，，8兩點，旦說=2萬.連接力尸交C2于兩點用，

N,交Ci于另一點C,連接BC,。為8c的中點，TQ交4c于D.

(I)證明：點4的橫坐標為定值;

若能=求拋物線的方程.

(II)記△87,△0M/V的面積分別為S”S2,

【分析】(I)設(shè)直線TA的斜率，寫出TA的方程，與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理及向量

的坐標運算，即可證明/的橫坐標為定值；

(H)由(I)寫出4尸的方程，與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理及弦長公式求得|朋N],與拋

物線聯(lián)立求得C點坐標，利用中點坐標公式求得0,求得7。的方程，與1尸聯(lián)立，求得

。點坐標，可得分別求得T到工廠的距離，。到//的距離，根據(jù)三角形的面積公

式，即可表示出勤，根據(jù)關(guān)系式，求得“點坐標，代入拋物線方程，即可求得p的值.

【解答】解：(I)證明；由題意可知，7(-2,0),直線四的斜率存在設(shè)為上A(xi,

”)，B(%2，J2)，

不妨設(shè)直線"的方程為尸〃(x+2)*>0),與拋物線方程聯(lián)立得沅第I2),

整理得F7+(4Z?-2p)x+4S=0,則與+x=2P,xiX2=4,

2kf

——_1y?i

=2

因為Z8=2TAt所以一=則一=一7=一，設(shè)xi=a(a>0)，則X29a,x1x2—9a=4,

723x2yf9

99

則。=可或。=一百(舍去)，

所以Xi=I，即點A的橫坐標為定值；

(II)由(I)可知，聯(lián)，巽)，B(6,8k),則直線4尸的方程為尸-8左(x-I),

(y=-8fc(x—1)

與橢圓聯(lián)立得久22，整理得(3+256d)7-512上+256〃-12=0,

lz+v3=1

ci?J=256k2-12

設(shè)A/(X3，J3)，N(X4，J4)，則％3+%4=-------q,X%

3+256々34-3+256/

2

22

則|MN|=Vl+64/C7(X3+x4)-4X3X4=

直線/尸與拋物線聯(lián)立得It瑞XT),整理得646-(128F+2p)x+64F=。,

設(shè)C(鄧，*)，則則%5=,,C(|/—4k),則Q(竽，2k),

8K小

所以直線TQ的方程為y=||(x+2),與直線AF聯(lián)立得y=_(x+2)

y=-8fc(x—1)

解得卜=24,則D(j1,k),即|CD|=J(f-j1)2+(-5/c)2=JHI+25k2,

y=k

T到AF的距離由=l：16k一網(wǎng)=2跳，

J1+64/(211+64必

,,nr.__|8/cx^+2/c-8/c|24k

Q到AF的距離d2='-產(chǎn),=-[2

Jl+64/Jl+64必

11

由Si=1|CD|di，S2=^\MN\d2,

SI「Cl氏/|0+25-2r=

所以言=兩=五,因此土(】+647=運’整理得5X2562/+358'79=0,

3+256H

解得1=急，則卜=上，

25616

所以4(|,1),由/在拋物線上，則&)2=2px半解得「=卷

則拋物線的方程為y2=加.

【點評】本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用，思路清晰，結(jié)合韋達定理，弦長公式,

點到直線的距離公式等知識點，考查計算能力，屬于難題.

5.已知拋物線C：^=2py(p>0)的焦點為E,且點尸與圓M：(x+4)2+/=1上點的距

離的最大值為舊+1.

(1)求p；

(2)若。為坐標原點，直線/：y=fcr+4與C相交于4,8兩點，問：OA<OF-BF)

是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，試說明理由.

【分析】（1）由點尸到圓M上的點最大值為舊+1建立關(guān)于p的方程，解出即可;

（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達定理即可求出&?（67-晶）=OA-OB=0

n__

【解答】解：⑴點尸（o,H到圓〃上的點的距離的最大值為|FM+I=g+1,

即J16+,=后,解得p=2；

（2）由（1）得f=4y,設(shè)力（xi，y\）,B（X2，J2）,

聯(lián)立?2=+4,得X2-4去-16=0,

則公+64>0,且制+工2=44，xix2=-16,

—>_*y2.y2i[2

L

所以04?（OF-BF）=OAOB=x\x2+y\y2=x\X2-}--^=-16+帶=0,

故后?（辦一薪）的值為定值0.

【點評】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查直線與拋物線的綜合，韋達定理得應用，屬于中

檔題.

6.已知直線y=2x與拋物線「：f=2px交于Gi，G2兩點，月JG&I=花，過橢圓G；卷+

1=1的右頂點。的直線/交于拋物線「于Z,8兩點.

（1）求拋物線「的方程；

（2）若射線04,08分別與橢圓Ci交于點。，E,點。為原點，MODE,△048的面

積分別為S”S2,問是否存在直線/使S2=3SI?若存在求出直線/的方程，若不存在，

請說明理由；

（3）若尸為x=-2上一點，PA,P8與x軸相交于“，N兩點，問M,N兩點的橫坐標

的乘積X/JW是否為定值？如果是定值，求出該定值，否則說明理由.

【分析】（1）根據(jù)題意，聯(lián)立求得交點，由|6道2|=6，即可求得p的值；

（2）聯(lián)立求得|。川，\OB\,同理可得|OE|,分別表示出△OOE,AOAB的面積,

利用基本不等式即可表示出各＞3,因此不存在直線/使S2=3SI；

52

（3）根據(jù)題意，求得XN，即可表示出?硒，化簡可得X/XN是否為定值.

p

dXo1--

解

或

得JX2

【解答】解：（1）聯(lián)立方程組p2=:fO1所以IG1G2I=*+p2=

U=2pxvyLy-P

（遙