2022屆廣東省名校高考模擬卷 數(shù)學(xué)試題（一）

2022年高考仿真模擬卷一（廣東）

數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的。

1.已知全集。={1,2,3,4,5,6},4={2,3,4},8={3,4,5},則&A)D8等于()

A.{3,4}B.{5}C.{3,5}D.{4,5}

2.已知函數(shù)f（x）=2'-2,則函數(shù)y=|/（x）|的圖象可能是（）

3.已知正數(shù)為y,z滿足x2+V+z'l,

A.3C.4D.2(72+1)

ab^O,若/0

4.設(shè)/(x)=asin2x+bcos2x其中。，bwR,對(duì)一切xeR恒成立,

則以上結(jié)論正確的是（）

C.的單調(diào)遞增區(qū)間是我兀+￡,而+?（AeZ）

o3

D.存在經(jīng)過點(diǎn)（。,。）的直線與函數(shù)〃力的圖象不相交

5.若（1+X+X?）6=%+4工+。212+…+〃[2,2，則出+〃4+〃6+…+〃12等于（）

A.284B.356C.364D.378

6.為推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育各項(xiàng)工作扎實(shí)開展，營造“學(xué)黨史、悟思想、辦實(shí)事、開新局”的濃厚氛

圍，某校黨委計(jì)劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報(bào)告會(huì)、黨員活動(dòng)日、主題班會(huì)、主題團(tuán)日這五種活動(dòng)分

5個(gè)階段安排，以推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行.若中心組學(xué)習(xí)必須安排在前2個(gè)階段，且主題

班會(huì)、主題團(tuán)日安排的階段相鄰，則不同的安排方案共有（）

A.12種B.28種C.20種D.16種

22

7.已知耳，尸2是橢圓C:與+當(dāng)=1（"＞人＞0）的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是過原點(diǎn)。且傾斜角為60°的直線

azh2

/與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)，且|砥+麗1=1麗-砥］,則橢圓C的離心率為（）

A.gB.2-6

C.百-1D.—

2

8.已知四面體ABC。的每個(gè)頂點(diǎn)都在球0（O為球心）的球面上，AABC為等邊三角形,

AB=BD=2,A￡＞=&，且則二面角A-C。-。的正切值為（）

ARn娓店

?----D?----Ur?----D.-----

3636

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分。

9.已知復(fù)數(shù)2=三，其中i為虛數(shù)單位，則（）

1-1

2

A.|z|=2B.z=2i

C.z的共輾復(fù)數(shù)為JiD.z的虛部為1

10.如圖，正方體ABCO-ASGR的棱長為。，線段8a上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F,且EF=g,

2

B.點(diǎn)A到平面B所的距離為定值

C.三棱錐A-BE尸的體積是正方體ABC。-ABC。體積的，

D.異面直線AE,8E所成的角為定值

11.中國的五岳是指在中國境內(nèi)的五座名山，坐落于東西南北中五個(gè)方位，分別是東岳泰山，西

岳華山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山，某家庭一家三口計(jì)劃在假期出游，每人選一個(gè)地方，

則()

A.恰有2人選一個(gè)地方的方法總數(shù)為20

B.恰有2人選一個(gè)地方的方法總數(shù)為60

C.恰有1人選泰山的概率是費(fèi)

2

D.恰有1人選泰山的概率是不

12.設(shè)函數(shù)〃司=警"20)4=2.71828…，則()

A.f(x)在上單調(diào)遞增

B.的最大值為/(?),最小值為

C.方程f(x)=((x>0)有無數(shù)個(gè)解

D.若/(x)4日恒成立，則%n=l

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)定義域?yàn)??的函數(shù)f(x)=］嗎］心］,若關(guān)于x的方程2［/(x)了+2儀司+1=0有8

個(gè)不同的實(shí)根，到實(shí)數(shù)6的取值范圍是.

14.已知定義域?yàn)?的奇函數(shù)/(x)的周期為2,且xe(O,l］時(shí)，”外=108產(chǎn).若函數(shù)

2

尸(xQ/W-sin5x在區(qū)間1-3,,川(帆?Z且加>-3)上至少有5個(gè)零點(diǎn)，則機(jī)的最小值為

15.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,/(x)為偶函數(shù)，/(x+1)為奇函數(shù)，當(dāng)xe［l,2］時(shí)，〃x)=a.2，+b,

若“0)+〃l)=T,則/6)=.

16.在邊長為1的等邊三角形4%中，〃為線段比上的動(dòng)點(diǎn)，止_1_48且交4夕于點(diǎn)“。尸〃45

且交立于點(diǎn)F,則已赤+而|的值為；(瓦+而)?(而+皮)的最小值為

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)已知數(shù)列｛《,｝的首項(xiàng)為2,且("吧-=2(〃2-2〃+2).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

[n21

(2)求數(shù)歹—的前〃項(xiàng)和S〃.

18.(12分)已知/(%)=%2—,一同，^(x)=cos2x+2asinx+2a-2.

(1)若a=l時(shí)，求函數(shù)八力的值域.

(2)若g(x)+2W0對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)0的取值范圍.

_4O

57r77r

(3)若對(duì)任意的占eR,xe—,都有/(xj2g(%),求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

2_64_

19.(12分)如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于48的點(diǎn)，平面P4CL平面ABC,

PA=PC=AC=2,3c=4,E,尸分別是PC,/>8的中點(diǎn)，記平面4￡戶與平面ABC的交線為直

線/.

(1)證明：5。_1_平面抬(?；

(2)直線/是否存在點(diǎn)。，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互余？若存在，求出4。

的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

22

20.(12分)已知C：￡+方=1的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為近，離心率為過橢圓左焦點(diǎn)”

作不與x軸重合的直線與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，直線，〃的方程為：x=-2a,過點(diǎn)M作ME垂

直于直線機(jī)交直線機(jī)于點(diǎn)E.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)①求證線段EN必過定點(diǎn)P,并求定點(diǎn)戶的坐標(biāo).

②點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AOEN面積的最大值.

21.(12分)已知函數(shù)，(x)=a(x-l)-xlnx(awR).

(1)求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)0<x41時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

*生丁In1In2In”一

(3)設(shè)”eN>求證：---1-----1---1----4------.

23n+\4

22.(12分)某地政府為了幫助當(dāng)?shù)剞r(nóng)民提高經(jīng)濟(jì)收入，開發(fā)了一種新型水果類食品，該食品生

產(chǎn)成本為每件8元.當(dāng)天生產(chǎn)當(dāng)天銷售時(shí)，銷售價(jià)為每件12元，當(dāng)天未賣出的則只能賣給水果罐

頭廠，每件只能賣5元.每天的銷售量與當(dāng)天的氣溫有關(guān)，根據(jù)市場調(diào)查，若氣溫不低于30℃,

則銷售量為5000件；若氣溫在［25,30)內(nèi)，則銷售量為3500件；若氣溫低于25C,則銷售量為

2000件.為制定今年9月份的生產(chǎn)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年9月份的氣溫?cái)?shù)據(jù)，得到下表：

氣溫/℃[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天數(shù)414362115

以氣溫位于各區(qū)間的頻率代替氣溫位于該區(qū)間的概率.

(1)求今年9月份這種食品一天的銷售量1(單位：件)的分布列和均值；

(2)設(shè)今年9月份一天銷售這種食品的利潤為Y(單位：元)，這種食品一天的生產(chǎn)量為〃(單

位：件)，若35004”45000,求Y的均值的最大值及對(duì)應(yīng)的〃的值.

2022年高考數(shù)學(xué)仿真模擬卷一(廣東)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的。

1.已知全集。={1,2,3,4,5,6},4={2,3,4},3={3,4,5},則等于()

A.{3,4}B.{5}C.{3,5}D.{455}

答案：B

2.已知函數(shù)/*)=2，-2,則函數(shù)y=|/(x)|的圖象可能是()

1+z

3.已知正數(shù)x，y，z滿足x?+/+z?=1,則s=^—的最小值為

2xyz

A.3B.3（G+1）c.4

D.2（V2+1）

2

答案：C

4.設(shè)/（x）=?sin2x+/?cos2x其中。,bwR,ab包,若〃x）4砥對(duì)一切xeR恒成立,

則以上結(jié)論正確的是（）

■IT2.TT.

C.“X）的單調(diào)遞增區(qū)間是kn+-,kTi+—（ZeZ）

D.存在經(jīng)過點(diǎn)（4。）的直線與函數(shù)/（x）的圖象不相交

答案：A

2622

5.^（1+x+x）=a0+alx+a2x+---+al2x',則生+%+4+…+%等于（）

A.284B.356C.364D.378

答案：C

6.為推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育各項(xiàng)工作扎實(shí)開展，營造“學(xué)黨史、悟思想、辦實(shí)事、開新局”的濃厚氛

圍，某校黨委計(jì)劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報(bào)告會(huì)、黨員活動(dòng)日、主題班會(huì)、主題團(tuán)日這五種活動(dòng)分

5個(gè)階段安排，以推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行.若中心組學(xué)習(xí)必須安排在前2個(gè)階段，且主題

班會(huì)、主題團(tuán)日安排的階段相鄰，則不同的安排方案共有（）

A.12種B.28種C.20種D.16種

答案：C

7.已知尸|,鳥是橢圓C：=+1=l（a>b>0）的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是過原點(diǎn)。且傾斜角為600的直線

ah

/與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)，且|砥+后同=|麗一后同，則橢圓C的離心率為（）

A.gB.2-&

C.6-1D.避

2

答案：C

8.已知四面體ABC。的每個(gè)頂點(diǎn)都在球0（。為球心）的球面上，為等邊三角形，

AB=BD=2,AD=6，S.AC1BD,則二面角A-C0-O的正切值為（）

A.近B."C.—D.叵

3636

答案：A

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知復(fù)數(shù)2=三，其中i為虛數(shù)單位，則（）

1-1

2

A.|z|=2B.z=2i

C.z的共軌復(fù)數(shù)為l—iD.z的虛部為1

答案：BCD

10.如圖，正方體A3Cr>-AB|GR的棱長為。，線段8a上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F,且EF=^a,

2

B.點(diǎn)A到平面的距離為定值

C.三棱錐A-BE尸的體積是正方體ABCO-ABCA體積的，

D.異面直線AE,3E所成的角為定值

答案：ABC

11.中國的五岳是指在中國境內(nèi)的五座名山，坐落于東西南北中五個(gè)方位，分別是東岳泰山，西

岳華山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山，某家庭一家三口計(jì)劃在假期出游，每人選一個(gè)地方，

則()

A.恰有2人選一個(gè)地方的方法總數(shù)為2()

B.恰有2人選一個(gè)地方的方法總數(shù)為60

C.恰有1人選泰山的概率是老

I).恰有1人選泰山的概率是:

答案:BC

cir?V

12.設(shè)函數(shù)〃x)=h(x20),e=2.71828…，則()

A.f(x)在上單調(diào)遞增

B.〃x)的最大值為最小值為

C.方程/(x)=g(x>0)有無數(shù)個(gè)解

D.若"恒成立，則%?=1

答案:BD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)定義域?yàn)?的函數(shù)f(x)I若關(guān)于x的方程2［/(力了+2妙(x)+l=O有8

個(gè)不同的實(shí)根，到實(shí)數(shù)6的取值范圍是.

答案：卜|，-回

14.已知定義域?yàn)锳的奇函數(shù)f(x)的周期為2,且xe(O,l］時(shí)，/⑴=小產(chǎn).若函數(shù)

2

尸(x)=/(x)-sin、x在區(qū)間［-3,㈤(〃?eZ且相>-3)上至少有5個(gè)零點(diǎn)，則”，的最小值為

答案：2

15.設(shè)函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,/(x)為偶函數(shù)，/(x+1)為奇函數(shù)，當(dāng)xe［l,2］時(shí)，〃x)=e2*+。,

若/⑼+/⑴=4則/

答案：4-472

16.在邊長為1的等邊三角形4勿中，〃為線段寬上的動(dòng)點(diǎn)，?！?，48且交兒?于點(diǎn)《。尸〃43

且交”1于點(diǎn)F,則已赤+而〔的值為；(瓦+而)?(而+皮)的最小值為

71

答案

：1?60

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)已知數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為2,且僅=2(〃2_2〃+2).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列的前〃項(xiàng)和S“.

答案：

(1)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=(“_.+];

(2)\=2-^.

【分析】

(1)由11上以1=2(〃2一2〃+2)可得(r+1)。向=2[(〃-1)2+1口，結(jié)合等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公

式可得[伽-1)2+1]%=2",由此求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；(2)由(1)可得5一,=呆，利用錯(cuò)位

相減法求其前〃項(xiàng)和5〃.

(1)

(n24-1/c、

?.,V---上=2(/一2〃+2),

冊(cè)

，(〃2+1”,用=2[(〃-1)2+1收，

又。=2H0,

???數(shù)列｛15-1)2+1。｝為首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,

?.[(〃-1尸+1口=2",

._2"

?an__2~~~

n-2〃+2

(2)

it1_n2n2-2n+2n-\

由⑴

Tq2nT

.s-+Z+3+..q,

??n2122232〃-l

n-\277-2

*?-S=------+—+—+???+

2n2"22232〃T

.11/2-1111

??-3c“-----:----------------7H----7+…+------,

2212”22232“T

n-\\11「八〃-1-n+\

??Sa月一聲+￥+尹+-?+謬=2(1-一聲=2y

18.(12分)已知/(x)=f-k一4，(x)=cos2x+2asmx+2a-2.

(1)若。=1時(shí)，求函數(shù)/(x)的值域.

(2)若g(x)+2W0對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)0的取值范圍.

_40

57r77r

(3)若對(duì)任意的X1￡R,Xe—,都有/G)Ng(z),求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

2_64_

答案：

(1)

(2)卜嗎一：

(3)\-111

⑷[4,2_

【分析】

(1)根據(jù)題意，分xNl和x<l兩種情況討論求解；

(2)令f=sinx,進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為r-2s-(2a+l)20對(duì)??；』恒成立，進(jìn)而分aM-1和

a>-1兩種情況討論求解即可；

(3)由題知有/(X)1nhiNg(x)111ax,令￡=疝11萬，則有g(shù)(f)=-?+2?f+2a-l,te-1,1,

/、[x2-x+a,x>a]1i

/(%)=2，進(jìn)而分當(dāng)a<—1時(shí)，當(dāng)一l〈a<—不時(shí)，當(dāng)一時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)

x"+x-a,x<a222

時(shí)，四種情況討論求解即可.

(1)

解：若4=1時(shí)，/(X)=X2~|x-l|,

當(dāng)xNl時(shí)，/(x)=x2-x+l,對(duì)稱軸為x=；,

所以/(X)在區(qū)間[1,+8)上單調(diào)遞增，在x=l處取得最小值/⑴=1,

當(dāng)X<1時(shí)，/(x)=x2+x-l,對(duì)稱軸為*=-；,

所以〃x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在卜,上單調(diào)遞減,

故在X=-；處取得最小值=，

所以有d-3)=-:<〃1)=1,

綜上所述，“X)的值域?yàn)?}+8).

(2)

解：若g(x)+2W。，BPcos2x+2asinx+0，

令t=sinx9故有—廣+2at+2a+1W0，

冗、i

即/_2m_(2a+l)20,當(dāng)xe時(shí)，re-,1

根據(jù)題意有『-2勿-(2?+1)，。對(duì)re恒成立，

由[r—(2a+l)](f+l)，0,令〃⑺=[f-(2a+l)](f+l),

當(dāng)2a+lW—l,即aM-1時(shí)，有〃(。30對(duì)fepl恒成立，

當(dāng)2a+l>-1,即a>-1時(shí),有方(萬)20,即萬一(2。+1)1(萬+1)20解得宜一(

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是1-8,-；,

(3)

57

解：若對(duì)任意的XWR,K肛'都有〃N)“(馬)，故有f(x)而nNg(x)a，

☆，=sinx,則有8(，)=一產(chǎn)+2必+為-1,te一1,；,

根據(jù)題意有/(x)=

x2+x-a,x<a

當(dāng)時(shí)，可知"X)在X=g處取得最小值-；+a,g(r)在f處取得最大值-2,故由

17「7、

-二+a'-2解得。2-二，即。的取值范圍為-：，T.

44L4)

當(dāng)-14a<-J時(shí)，可知f(x)在x=；處取得最小值-1+〃，g(f)在，=4處取得最大值：a2+2a-l,

故由--+a^a~+2a-l,可知。的取值范圍為T-：］.

4L2J

當(dāng)時(shí)，可知/(x)在x=；處取得最小值-；+*g(/)在r=a處取得最大值4+2"-］,

故由-；+a、/+2a_［得“的取值范圍為J,。.

當(dāng)0<a《時(shí)，可知/(x)在x=-g處取得最小值g(。在f=a處取得最大值足+2〃_1,

故由----a》4-+2a-1可知。的取值范圍為(0,彳,

4I2」

當(dāng)時(shí)，可知"X)在x=-；處取得最小值：g⑺在f=g處取得最大值：3”：,故

由一1―a>3a—二■可知無解.

44

、「711

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

19.(12分)如圖，C是以AB為直徑的圓0上異于43的點(diǎn)，平面平面ABC,

PA=PC=AC=2,3c=4,E,F分別是PC,PB的中點(diǎn)，記平面AEF與平面43c的交線為直

線/.

(1)證明：

(2)直線/是否存在點(diǎn)Q,使直線PQ分別與平面AE/、直線E尸所成的角互余？若存在，求出A。

的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

答案：

(1)證明見解析

(2)存在，|4。|=1

【分析】

(1)由面面垂直推出線面垂直；

(2)建立直角坐標(biāo)系，求出面AEF的法向量正，繼而求出cos<麗,戲〉，利用

Icos<PQ,EF>1=1cos<Pg,m>|,故可知直線/上存在點(diǎn)。，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所

成的角互余，進(jìn)而求解.

(1)

證明：F分別是PB,PC的中點(diǎn),

:.BC//EF,又EFu平面EFA,BC不包含于面EE4,

.?.3C〃面EE4,又8Cu面ABC,面EE4c面ABC=/

又3c_LAC,面尸AC("|面ABC=AC，面厚(7_1面48。，

.?.a7_1面抬(7,…面2/^

(2)

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C4為x軸，CB為y軸，過C垂直于面A8C的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，4(2,0,0),5(0,4,0),P(1,0,⑨，屋,0,4嗎,2,當(dāng)，

/.AE=(-1,0,y^),麗=(0,2,0),

設(shè)。(2,兒0),而AEF的法向量為正=(x,y,z),則，獨(dú),玩得玩=(以),揚(yáng)，

EFfn=2y=0

且AQ=(l,y,-石)，

—*—?2VIvI—?1—31

ICOS<PQ,EF>1=1,''|=JI、,|cos<PQ,m>|=|,~|=.,

25+:j4+y：2〃+—74+/'

依題意，得Icos<所,正>|=|cos(柜所>|,即丫=±1.

.,?直線/上存在點(diǎn)2,使直線PQ分別與平面用'、直線"所成的角互余，MOO.

22

20.(12分)已知C：*?+方=1的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為近，離心率為義，過橢圓左焦點(diǎn)"

作不與x軸重合的直線與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，直線〃?的方程為：x=-2?,過點(diǎn)M作ME垂

直于直線機(jī)交直線機(jī)于點(diǎn)E.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)①求證線段EN必過定點(diǎn)P,并求定點(diǎn)戶的坐標(biāo).

②點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，求“aw面積的最大值.

答案:(1)三+亡=1；(2)①證明見解析，定點(diǎn)尸卜',。］；②

43V2J4

【分析】

(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)和離心率，列出方程組，即可求出”,以從而得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)①根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知尸必在x軸上，尸(-1,0),可設(shè)直線MN方程：x=my-\,聯(lián)立直

線和橢圓的方程組并寫出韋達(dá)定理，從而得出-2機(jī)H%=3(乂+必)，求出直線硒的方程，令y=0,

即可求出線段EN所過的定點(diǎn)戶的坐標(biāo)；

②由①可知加-必卜嘯：，根據(jù)三角形的面積得出唔?，利用

15f15

換元法，令/=府有，得出“°次=赤7=0，最后利用基本不等式求和的最小值，

't

從而得出AOEN面積的最大值.

解：

\la2+b2="

解：(1)由題可知：J-=l,所以a=2,b=y/3,

a2

a2=b2+c2

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+f=1;

43

(2)①由題意知，由對(duì)稱性知，尸必在x軸上，F(xiàn)(-l,0),

設(shè)直線MN方程：x=my-l,

設(shè)NgM，E(-4,yJ,

x=my-1

聯(lián)立方程得,f2,得(3〃/+4)/一6相＞一9=0,

—+—=1

43

m6〃7-9

所以X+=q2＞，

3/n+43m+4

所以-2町%=3(%+%)，又％=七%

所以直線硒方程為：＞一必=上?*+4),

工2+4

令y=0,則x--型上一_膽心生

%一月必一乂

y2f

所以直線硒過定點(diǎn)

②由①中A=144(/+i)>o,所以加wR,又易知加一切=11也：

所以Sa=3。即%-%卜*?口的"=wy+i,

△陽12182143m2+43m2+4

15r15

令t=M西，tNl，則“。硒一鏟看一京1，

t

f⑺一15

又因?yàn)镴在[1,位)單調(diào)遞減，

，十一

t

所以f=1,[SQOENL=1?

21.(12分)己知函數(shù)/(x)=a(x-l)-xlnx(awR).

(1)求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)0<x41時(shí)，〃幻40恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

In1In2Innn(n-\)

(3)設(shè)>求證：---1-----(■???■!----W------.

23n+14

答案：

(1)增區(qū)間為(O，e"T),減區(qū)間為(—+0。)

(2)a<\

(3)證明見解析

【分析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)求得〃x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)結(jié)合“X)的單調(diào)性以及/⑴=0來求得〃的取值范圍.

(3)結(jié)合(2)的結(jié)論得到里■《二，由等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式證得不等式成立.

n+\2

(1)

〃X)的定義域?yàn)?0,+8),/(x)=a—(l+lnx)=—lnx+a—1,

令一lnx+a-1=0,解得x=e，T.

所以f(x)在區(qū)間(0,e"T)J(x)>0J(x)遞增；在區(qū)間(/,*?)J(x)<0J(x)遞減,

所以/(x)的增區(qū)間為(0,),減區(qū)間為(e"T,+oo).

(2)

"1)=()，

由(1)知：〃司在(011)上遞增，在上遞減,

所以-

當(dāng)a=l,O<xW1時(shí)，f^=x-\-x\nx<O,x-x]nx<],

令x=*N*),則,和卜1步+為〃41,

ci/21Inn-l

2\nn<n^-I,-----<------,

〃+12

InIIn2inn^,0I77-11+2+???+〃-1n(n-i)

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