2022屆青海省海東市第一中學(xué)高考模擬（一）數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2022屆青海省海東市第一中學(xué)高考模擬(一)數(shù)學(xué)(理)試

題

一、單選題

1.已知集合4=卜心+1)(工-7)<()},B={x\x=2n,n&N},則4nB=()

A.{1,2,3,4,5,6}B.{(),2,4}C.{2,4,6}D.{(),2,4,6}

【答案】D

【分析】先化筒集合4B,再利用集合的交集運(yùn)算求解.

【詳解】解:由(*+1)(尤一7)<0,得A=(-l,7),

又8={0,2,4,6,…},

所以AD3={0,2,4,6}.

故選：D

2.設(shè)(1-0%=2,則|z卜()

歷

A.注B.J2C.ID.2

2

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則及模的運(yùn)算即可求得答案.

【詳解】由題意，(l-i)3=-2i(l-i)=-2(l+i),.、=?Izk—.

-2(14-1)22

故選：A.

3.已知cos?=-巫，且。是第二象限角，貝Isin20=()

10

A.之B.-C.1D.」

5555

【答案】B

【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角公式化簡求解.

【詳解】由題意得sin6=M^,則sin28=2sin，cosO=-3.

105

故選：B

4.設(shè)一圓錐的側(cè)面積是其底面積的3倍，則該圓錐的高與母線長的比值為()

8￥"2

A.9-B.3D.3-

【答案】B

【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為〃母線長為/,高為〃，求得圓錐的側(cè)面積和底面積，即

可得出母線長和半徑的關(guān)系，然后利用勾股定理即可求解.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為「，母線長為/,高為〃，由題意得萬〃=3萬一,

解得/=3r,又『='+層，則力=2及廠，彳=竿.

故選：B.

5.研究與試驗(yàn)發(fā)展（researchanddevelopment,RD）指為增加知識存量（也包括有關(guān)

人類、文化和社會的知識）以及設(shè)計(jì)已有知識的新應(yīng)用而進(jìn)行的創(chuàng)造性、系統(tǒng)性工作.國

際上通常采用研究與試驗(yàn)發(fā)展CRD）活動的規(guī)模和強(qiáng)度指標(biāo)反映一國的科技實(shí)力和核

心競爭力.據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局公告，下圖是2016-2021年全國RO經(jīng)費(fèi)總量（指報(bào)告期為實(shí)

施研究與試驗(yàn)發(fā)展（RD）活動而實(shí)際發(fā)生的全部經(jīng)費(fèi)支出）及投入強(qiáng)度（R。經(jīng)費(fèi)投入

與國內(nèi)生產(chǎn)總值（GOP）之比）情況統(tǒng)計(jì)圖表，則下列四個說法，所有正確說法的序號

是（）

②2016-2021年全國經(jīng)費(fèi)投入強(qiáng)度的平均值未達(dá)到2.30；

③2016-2021年全國經(jīng)費(fèi)支出數(shù)據(jù)中，極差為0.34；

@2016-2021年全國經(jīng)費(fèi)支出及投入強(qiáng)度均與年份成正相關(guān).

A.①③B.②④C.①②④D.①③④

【答案】C

【分析】對①，根據(jù)中位數(shù)的公式求解即可;

對②，根據(jù)經(jīng)費(fèi)投入與國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）之比的平均數(shù)分析即可;

對③，根據(jù)極差的定義分析即可;

對④，根據(jù)正相關(guān)的意義分析即可

19678+22144

【詳解】由圖可知，2016-2021年全國RD經(jīng)費(fèi)支出的中位數(shù)為>20000,

2

①正確;

210+212+214+224+241+244

乙|"，."+乙14+，.“+乙旬+乙的。2.24,②正確；③0.34為全國即經(jīng)費(fèi)投入強(qiáng)度的

6

極差，故③不正確；④正確.

故選：c

6.曲線y=xe"2在工=2處的切線方程為()

A.y=3x+4B.y=4x+3

C.y=3x-4D.y=4x-3

【答案】C

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，求出切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得切線方程.

【詳解】y'=(l+x)e'-2,“口=3,曲線產(chǎn)xe”2在點(diǎn)⑵2)處的切線方程為

y-2=3(x-2),即>=3x-4.

故選：C.

______?

7.已知在AABC中，AD=-3BD，CD=A.CE>AE=/JAB+-AC,則〃=()

1i3

A.-B.■-C.—D.1

424

【答案】A

【分析】根據(jù)而=-3麗，AE=pAB+^AC,得到荏=與亞+|Z，再根據(jù)

麗=幾屈求解.

【詳解】解：因?yàn)槎?-3而，

_.4-.

所以=

,——2—

因?yàn)锳E=//AB+—AC,

所以亞=生而+2/，

33

y.CD=ACE，

所以通.而+金正，

AA,

___17__

又AB=—A/5+—而，

33

14

所以

X-1Z

-------——

23

得〃=;

4

故選：A

8.將函數(shù)〃x)=sin(2x+g)的圖象向右平移?個單位長度，然后將所得圖象上所有點(diǎn)

O。

的橫坐標(biāo)縮小到原來的g(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，則當(dāng)xe0,?時,

函數(shù)g(x)的值域?yàn)?)

1nr,r

A.B.-1,~

22jL2_

C.[-1,1]D.-pl

【答案】D

【分析】先利用平移變換和伸縮變換得到g(x)=si"4x-*)的圖象，再利用正弦函數(shù)

的性質(zhì)求解.

【詳解】解：將/(x)=sin(2x+令的圖象向右平移7個單位長度得：

y=sin2[?=5而(2萬一奈)的圖象，

再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的g(縱坐標(biāo)不變)得：

g(x)=si.4x-/)的圖象，

因?yàn)镺Kxwf，

所以-￡44X—

6o6

所以-；4sin(4x-')41.

所以函數(shù)g(x)的值域?yàn)?1,1.

故選：D

/v2a

9.已知橢圓C:=+4=l(a>〃>0),直線x==與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),。為原點(diǎn),

a'b-3

若三角形AOB是等腰直角三角形，則橢圓C的離心率為()

A.旦B.克C.JLD.巫

4224

【答案】D

【分析】將x=]代入C中，求得AB坐標(biāo)，利用三角形AO8是等腰直角三角形，求得

a,b的關(guān)系，從而求得離心率.

【詳解】將".代入C中，得8住-零],由題意得出，，

3U3(133)33

故選：D.

io.卜-1+1）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）

A.-61B.-59C.-57D.-55

【答案】B

【分析】將原式看成6個相同的因式相乘,按x的選取個數(shù)分類，計(jì)算得解.

【詳解】將原式看成6個相同的因子相乘，按x的選取個數(shù)分類,

得展開式中常數(shù)項(xiàng)為C：+C；C；（-2）+C?（-2）2=-59.

故選：B.

II.已知四棱錐P-A8CO中，24,平面ABCO,底面ABC。是矩形，AD=3AB=3PA,

若四棱錐P-ABCQ外接球的表面積為Ibr,則四棱錐P-ABC。的體積為（）

A.3B.2C.&D.1

【答案】D

【分析】若外接球的半徑為R,由外接球體積可得=11，補(bǔ)全四棱錐為長方體，結(jié)

合長方體外接球直徑與體對角線關(guān)系及已知各棱的數(shù)量關(guān)系求棱長，最后由棱錐體積公

式求體積.

【詳解】設(shè)四棱錐P-ABCZ）外接球的半徑為R,則4乃收=1E，即4尸=11.

由題意，易知尸。2=4叱，得PC=d，

設(shè)A8=x,得&+9/+丁=11，解得x=l，

所以四棱錐P-A8CD的體積為gxlx3xl=l.

故選：D

2

12.已知函數(shù)“力=g*-號，若有且僅有兩個正整數(shù)，使得，（力＜0成立，則實(shí)數(shù)

。的取值范圍是（）

A

-[i'l）B.3

「、「、

C?[菽91旬D1,2御

【答案】C

22

【分析】將/（可＜0轉(zhuǎn)化為心+2）＜￡,再分別求導(dǎo)分析g（x）=?和〃（x）=a（x+2）的

圖象，再分別求得（1，8。）），（2,g（2））,（3,g（3））至Ij（-2,O）的斜率，分析臨界情況即可

22

【詳解】由/（》）＜0且x＞0,得a（x+2）＜?，設(shè)g（x）=h（x）=a（x+2）,

g，(x)="二三，已知函數(shù)g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,+00)上單調(diào)遞減,

er

g⑵_1g⑶_9

函數(shù)〃⑺=〃(x+2)的圖象過點(diǎn)(一2,。),

2-(-2)e23-(-2)-5e3

91191

結(jié)合圖象，因?yàn)閔h/，所以賽於發(fā)

二、填空題

x+y-2>0

13.設(shè)x,y滿足約束條件,x-)「140,則z=2x+y的最大值為

x-2y+2>0

【答案】11

【分析】作出不等式組所表示的可行域，平移直線2=〉+2工，觀察該直線在y軸上截距

最大值即可求出答案.

【詳解】作出不等式組所表示的可行域，如下圖,

X「—Vy—+1>人0。,解得：44,3)，所以z取得最大值為…

聯(lián)立

故答案為：11.

14.已知函數(shù)/(x)=logja-W),若/(x+1)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)斫.

【答案】1

【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)/(r+l)=-/(x+l)列方程求參數(shù).

【詳解】由題意，/(-x+l)=-/(x+l),即10g2(a-S^)=-k>g2(a-A^),

.2a-^-ax工+2八日=1口，

所以一--=-~-——，化簡得r2，解得。=1.

2-x2a-4+ax[a=1

故答案為：1

15.在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,%,c.已知4=2,sin,A+Bsii?8=231?C,

則cosC的最小值為.

【答案】B

4

【分析】先利用正弦定理將角化為邊，然后利用余弦定理結(jié)合基本不等式求解即可.

【詳解】a=2,則原等式為sin2A+3sin?=4sin2C,由正弦定理得/+3尸=4cz,

a2+b2-c2?2+^--(?2+3^2)3a2+〃C,當(dāng)且僅當(dāng)從=3/時取等號.

cosC=--------------=---------------------------=----------->—

2ab2ab8ab4

故答案為：3.

4

22

16.已知尸是雙曲線C:*-*?=l(a>0⑦>0)的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線/與雙曲線C

的一條漸近線垂直，垂足為A,且直線/與雙曲線C的左支交于點(diǎn)B,若3|E4|=|A3|,

則雙曲線C的漸近線的方程為.

【答案】y=±^x

【分析】設(shè)C的左焦點(diǎn)為E，連接々B,過耳作耳。，尸8于￡>,根據(jù)已知及雙曲線性質(zhì)

有”。為線段FB的中垂線，結(jié)合雙曲線定義及參數(shù)關(guān)系求“、b的數(shù)量關(guān)系，即可得漸

近線方程.

【詳解】設(shè)C的左焦點(diǎn)為6,連接月B,過K作耳。，尸8于。，易知：FtD//OA,

在曲線C中，易知：I網(wǎng)=匕，則同=?,則。為線段FB的中點(diǎn).

又|五耳=46,|6目=48_2?=2c,即c+a=?,得c+a=4(c-a),則c=|”,

44

又/=/+從，得b=漸近線方程為y=±：x.

4

故答案為：卜=±§'

三、解答題

17.設(shè)數(shù)列｛q,｝的前〃項(xiàng)和為S.,Sn=2a?+n-4.

(1)證明：數(shù)歹1」｛?！耙?｝是等比數(shù)歹U.

2"]17()

(2)若數(shù)列——的前m項(xiàng)和北=三，求m的值.

l?A+J513

【答案】(1)證明見解析

(2)8

【分析】(1)根據(jù)S.與氏的關(guān)系式化簡證明；(2)由(1)得數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為

2"11

%=2〃+1.所以——r—,繼而求和計(jì)算?

““4+1z+1z+1

【詳解】（1）當(dāng)〃=1時，4=2〃］一3,q=3.

當(dāng)“22時，S“T=2%+（〃—1）—4,兩式相減得?！?2%-1,

即4-1=2（/_1-1）,4-1=2,

則數(shù)列｛4-1｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.

（2）由（1）得〃〃-1=2"，=2〃+1,當(dāng)〃=1時，%=2+1=3,

數(shù)列包｝的通項(xiàng)公式為4=2"+1.

2"=2"=_J______1

anan+l~（2“+1）（2"*'+1）-2"+1-2川+1'

人11_170

?3-2m+1+l_513,

得2"+1=513,解得加=8.

18.如圖，在三棱柱ABC-AB￡中，A.C==2AB=2AC=2BC,￡BA\=60°.

（1）證明：平面ABC,平面

（2）設(shè)P是棱CC,的中點(diǎn)，求AC與平面尸A內(nèi)所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵正

4

【分析】（1）設(shè)AB=2,由余弦定理求出A8=2g,從而由勾股定理得到AQ,48,

ABLBC,進(jìn)而證明出線面垂直，面面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向

量求解線面角的正弦值.

［詳解］⑴設(shè)AB=2.

在四邊形44名8中，???A4,=2A8,ZBA4,=60°,連接

2

由余弦定理得A,B=4A2+-2AA.COS=12,即43=26，

A82AB600

22

?:AXB+AB=4A：,

\BLAB.

又；AB'BC'AC"

AtBlBC,ABcBC=B,

AB_L平面ABC,

?；ABu平面AA罔B,

平面ABC±平面AA^B^B.

(2)取AB中點(diǎn)￡>,連接CD,VAC=BC,ACD1AB,

由（1）易知C￡>_L平面4A用B,且CO=V5.

如圖，以B為原點(diǎn)，分別以射線84,為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz,

則A(2,0,0),4(0,2百,0),C(l,0,G),B,(-2,25/3,0),,P(0,G,G).

福=(-2,0,0),平=(0M,6),

設(shè)平面叢田的法向量為3=（x,y,z）,則卜竺二，，

萬?A尸=0

-2x=0

得隔尹任=0'…貝麗=（。/，1），

泥=（一",…斗尚=系咚

AC與平面PA"所成角的正弦值為好.

4

19.隨著日益增長的市場需求，某公司最初設(shè)計(jì)的生產(chǎn)能力已不能滿足生產(chǎn)的需求，公

司新安裝了A,8兩條生產(chǎn)線.在生產(chǎn)線試運(yùn)行階段，為檢測生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格

率，對兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品采取不同的方式進(jìn)行檢測.其中A生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品分三

次隨機(jī)抽檢，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，第一次抽取了30件產(chǎn)品，合格率為|,第二次抽取了40件，合

格率為;，第三次抽取了30件產(chǎn)品，合格率為3；對3生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品隨機(jī)抽取了

100件，并測量了每件產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)值“€[75,100].經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分

布直方圖，已知產(chǎn)品的質(zhì)量以該項(xiàng)指標(biāo)值為衡量標(biāo)準(zhǔn)，且指標(biāo)值〃485,95]時為合格產(chǎn)

品.兩條生產(chǎn)線之間生產(chǎn)的產(chǎn)品及各生產(chǎn)線上生產(chǎn)的產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立.

(2)以(1)中的估計(jì)值為A,B兩條生產(chǎn)線試運(yùn)行階段生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率.在A,B兩

條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，記合格產(chǎn)品的個數(shù)和為X.若其中至少有

3件產(chǎn)品合格，則可判定兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)狀況安全穩(wěn)定.

(i)求P(X=2)；

(ii)求可判定兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)狀況穩(wěn)定的概率.

【答案】(1)3[,3

45

117243

⑵(i)P(X=2)=—；(ii)—

400400

【分析】(1)應(yīng)用古典概型的概率求法求A生產(chǎn)線的合格率，根據(jù)直方圖及頻率與概率

關(guān)系求B生產(chǎn)線合格率;

(2)(i)(ii)應(yīng)用獨(dú)立事件乘法公式及互斥事件加法求尸(X=2)、兩條生產(chǎn)線穩(wěn)定生

產(chǎn)的概率;

【詳解】(1)設(shè)A,3兩條生產(chǎn)線在試運(yùn)行階段產(chǎn)品的合格率分別為P1,p29

235

30x-+40x-+30x-,

p、=—2——4——6=3,

130+40+304

由直方圖得：(0.02+0.03+a+0.08+0.03)x5=1,解得a=0.04,

p2=(0.08+0.04)x5=0.6=1.

33

⑵由題意知，試運(yùn)行階段A,3兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率分別為

45

⑴。(X=2)=吟#；.找+圖｛1)+&)唱

(ii)記事件C表示：可判定兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)狀況穩(wěn)定.

,C1.-+C'9—■—?

255244

20.已知定點(diǎn)P（2,0）,拋物線E：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)/滿足|OF|=|閉，O為坐標(biāo)

原點(diǎn).

⑴求E的方程：

⑵過點(diǎn)F作斜率為我（女工0）的直線/與E交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)尸且與/垂直的直線4與

/交于點(diǎn)M,與E交于C,。兩點(diǎn)（設(shè)A,C兩點(diǎn)在同一象限），若直線與直線8c

平行，求左?的值.

【答案】⑴V=4x

（2）公=包

2

【分析】⑴由定點(diǎn)尸（2,0）,拋物線的焦點(diǎn)尸整0）,根據(jù)|。同=閥求解；

（2）/:7=^-1）,易得直線4：y=-：（x-2）,分別與E聯(lián)立，根據(jù)AO〃8C,由

K

kAD=kBC>結(jié)合韋達(dá)定理求解.

【詳解】⑴解：已知定點(diǎn)P（2,0）,拋物線￡丁=2?5>0）的焦點(diǎn)尸H，0）,

因?yàn)閨OF|=|閉,

所以垓=之一會解得P=2,

則尸（1,0）,所以拋物線方程是y2=4x；

(2)易知/：y=%(x-l),A(ay),8(毛,%)(設(shè)才>。)，

聯(lián)立<:消去y得心2_（2%2+4卜+二=0,

-4

則…=2+"

中2印

直線4：y=-g(x—2),聯(lián)立<)'=一％("—2),消去X得V+4切—8=0,

k2A

y=4x

/、/、fy,+y=-4k

設(shè)C%%,(設(shè)方>0),貝ij,34,

[%%=-8

3皿44

%一%y+以々一項(xiàng)必+%

若AD〃BC,則砥"=&c，

即y+M=%+乃，%-%=%-%>°，

y+丫2=%(%+%)_2%=)，乂%=7而^=4

K

(M—%丫=(%+%『-4%)，2=^+16,

同理得(M-yj=(%+yj-4y3y4=16獷+32,

化簡得/+二一1=0,解得公=避二1(負(fù)值舍去).

2

21.已知函數(shù)/(x)=(x+')lnx-以，a>0.

⑴若〃=2,求函數(shù)〃x)的極值；

⑵設(shè)g(x)=g(e~w2+ar),當(dāng)x>0時，〃x)4g'(x)(g'(x)是函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù))，

求。的取值范圍.

【答案】(1)極大值為2,極小值為工-e

e

?2

(2)a>-

e

【分析】(1)求導(dǎo)/'(x)=lnx-嗎-l+AnU-lllnx-l),再利用極值的定義求解;

xx~Vx~)

(2)將問題轉(zhuǎn)化為(Y+l)lnx2wlnepe'a+l),設(shè)°(x)=(x+l)lnx,則⑴(e"*)2夕(x),

利用導(dǎo)數(shù)法得到函數(shù)以x)在(0,田)上單調(diào)遞增，則得到我221nx在((),+<?)上恒成立求

解.

【詳解】⑴解：/'(x)=lnx-^^-l+*=(l-g)lnx-1),

令尸(x)=0,得工=1或"=6,

當(dāng)0cx<1或x>e時，f'(x)>0,當(dāng)1cx<e時，/f(x)<0,

所以函數(shù)/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,e)上單調(diào)遞減，在?+00)上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)小)的極大值為川)=-2,函數(shù)〃x)的極小值為小)=卜.

(2)/(x)=；a(e"-2x+l),

(xH—)Inx—ax45a(e”—2x+1),即2(x~+l)lnx4<zx(e"v+1),

即(f+l)lnx2<lnem(e^+l),

設(shè)O(x)=(x+l)lnx,^(x)=lnx+—+1,

x

1Y一1

設(shè)A(x)=l+—+lnx,k\x)=-z-,

xx

當(dāng)0cx<1時，％'(幻<0,當(dāng)x>l時，k'(x)>0,

所以函數(shù)-x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,E)上單調(diào)遞增，

Mx)“⑴=2,即d(x)N”⑴=2,

則函數(shù)以x)在(0,y)上單調(diào)遞增，則由e(e")>^(x2),

得y2好在(0,內(nèi))上恒成立，即以w21nx在(0,+8)上恒成立.

設(shè)/z(x)=尊，/(如=2(1]”,

當(dāng)0<x<e時，〃'(幻>0,當(dāng)x>e時，//(x)<0,

所以函數(shù)版x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+e)上單調(diào)遞減，

2

所以〃(x)"(e)=—,

e

2

故。之一.

e

fx=6+6cosa

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線片的參數(shù)方程為(。為參數(shù))，P是片上

[y=6sina

的動點(diǎn)，點(diǎn)。滿足加=3麗，。點(diǎn)的軌跡為曲線E2.

(1)求當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)方程；

⑵以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線a音(P訓(xùn)與片，E,

的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)分別為A,B,射線&=?(夕20)與￡,心的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)分別為

O

C,D,