考點21 平行四邊形【有答案】

考點21平行四邊形平行四邊形的性質(zhì)與判定是初中數(shù)學中四邊形知識的開端和基礎，正是在平行四邊形的基礎之上才能逐漸延伸特殊平行四邊形的知識和規(guī)律。中考數(shù)學中，對平行四邊形的單獨考察難度一般不大，但題型較為廣泛，選擇、填空、解答題都有可能；但是，該考點的學習隱含了比較多的思想方法，需要學生在整體復習該考點的過程中注重反證法、轉(zhuǎn)化、類比歸納等思想方法的提升。多邊形平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的判定平行四邊形的存在性考向一：多邊形多邊形與正多邊形正多邊形定義各邊都相等，各角都相等的多邊形為正多邊形多邊形與正多邊形的性質(zhì)n邊形的內(nèi)角和為任意多邊形的外角和為360°任意多邊形的內(nèi)角中，最多有3個銳角n邊形共有條對角線正多邊形都是軸對稱圖形，變數(shù)為偶數(shù)的正多邊形還是中心對稱圖形1．若一個n邊形從一個頂點最多能引出6條對角線，則n是（）A．5 B．8 C．9 D．10【分析】可根據(jù)n邊形從一個頂點引出的對角線與邊的關系n﹣3，列方程求解．【解答】解：∵多邊形從一個頂點引出的對角線與邊的關系n﹣3，∴n﹣3＝6，解得n＝9．故選：C．2．我們學習多邊形后，發(fā)現(xiàn)凸多邊形的對角線有一定的規(guī)律，①中的四邊形共有2條對角線，②中的五邊形共有5條對角線，③中的六邊形共有9條對角線，…，請你計算凸十邊形對角線的總條數(shù)（）A．54 B．44 C．35 D．27【分析】根據(jù)n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n﹣3）條對角線．從n個頂點出發(fā)引出（n﹣3）條，而每條重復一次，所以n邊形對角線的總條數(shù)為（n≥3，且n為整數(shù)）可得答案．【解答】解：一個四邊形共有2條對角線，一個五邊形共有5條對角線，一個六邊形共有9條對角線……一個十邊形共有＝35條對角線．故選：C．3．一個多邊形的內(nèi)角和為1080°，它為（）邊形．A．10 B．6 C．8 D．12【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，可得方程，解方程，可得答案．【解答】解：設多邊形是n邊形，由內(nèi)角和公式，得（n﹣2）×180°＝1080°．解得n＝8，故選：C．4．如果一個多邊形的內(nèi)角和等于其外角和的2倍，那么這個多邊形是（）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和的計算公式與外角和是360°列出方程，解方程即可．【解答】解：設這個多邊形邊數(shù)是n，根據(jù)題意得：（n﹣2）×180°＝2×360°，解得：n＝6，即這個多邊形是六邊形，故D正確．故選：D．考向二：平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)定理∶平行四邊形的對邊平行且相等.平行四邊形的對角相等，鄰角互補.平行四邊形的對角線互相平分.利用平行四邊形的性質(zhì)證明邊、角關系時，一定要找準那些對解題有幫助的性質(zhì)，有時也可以根據(jù)結(jié)論逆向推理看是否符合那些性質(zhì).平行四邊形的問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為三角形全等的判定與性質(zhì)類問題應用。1．關于平行四邊形的性質(zhì)，下列描述錯誤的是（）A．平行四邊形的對角線相等 B．平行四邊形的對角相等 C．平行四邊形的對角線互相平分 D．平行四邊形的對邊平行且相等【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進行逐一判斷即可．【解答】解：∵平行四邊形的性質(zhì)是：對邊相等且平行；對角相等，鄰角互補；對角線互相平分．∴B、C、D正確，A錯誤，故選：A．2．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A﹣∠B＝50°，則∠A的度數(shù)是（）A．130° B．115° C．65° D．50°【分析】利用平行四邊形的鄰角互補和已知∠A﹣∠B＝50°，就可建立方程求出未知角．【解答】解：在平行四邊形ABCD中，∠A+∠B＝180°，又有∠A﹣∠B＝50°，把這兩個式子相加即可求出∠A＝115°，故選：B．3．在平行四邊形ABCD中，∠A的角平分線把邊BC分成長度為4和5的兩條線段，則平行四邊形ABCD的周長為（）A．13或14 B．26或28 C．13 D．無法確定【分析】設∠A的平分線交BC于點E，可證明AB＝EB，再分兩種情況討論，一是EB＝5，EC＝4，則AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9；二是EB＝4，EC＝5時，則AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，分別求出平行四邊形ABCD的周長即可．【解答】解：設∠A的平分線交BC于點E，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠DAE，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，當EB＝5，EC＝4時，如圖1，則AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×5+2×9＝28；當EB＝4，EC＝5時，如圖2，則AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×4+2×9＝26，∴平行四邊形ABCD的周長為26或28，故選：B．4．如圖，在?ABCD中，BF平分∠ABC交AD于點F，CE平分∠BCD交AD于點E，若AB＝6，AD＝8，則EF的長度為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】先證明AB＝AE＝6，DC＝DF，再根據(jù)EF＝AF+DE﹣AD即可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD＝6，BC＝AD，AD∥BC，∵BF平分∠ABC交AD于E，CE平分∠BCD交AD于F，∴∠ABF＝∠CBF＝∠AFB，∠BCE＝∠DCE＝∠CED，∴AB＝AF＝6，DC＝DE＝6，∴EF＝AF+DE﹣AD＝6+6﹣AD＝4．故選：A．5．如圖，在?ABCD中，E為邊BC延長線上一點，連結(jié)AE、DE．若△ADE的面積為2，則?ABCD的面積為（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和面積公式，平行四邊形和△ADE的高相等，即可得出平行四邊形的面積．【解答】解：設E點到AD的距離為h，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD，A點到BE的距離為h．∵△ADE的面積為2，∴AD×h＝2，即AD×h＝4．∴?ABCD面積＝AD×h＝4．故選：B．6．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O．點E為BC的中點，連接EO并延長交AD于點F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列結(jié)論：①S?ABCD＝AB?AC；②AD＝4OE；③EF⊥AC；④S△BOE＝．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】通過判定△ABE為等邊三角形求得∠BAE＝60°，利用等腰三角形的性質(zhì)求得∠EAC＝30°，從而判斷①；利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判斷③，然后結(jié)合菱形的性質(zhì)和含30°直角三角形的性質(zhì)判斷②；根據(jù)三角形中線的性質(zhì)判斷④．【解答】解：∵點E為BC的中點，∴BC＝2BE＝2CE，又∵BC＝2AB，∴AB＝BE，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴∠BAE＝∠BEA＝60°，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，即AB⊥AC，故①正確；在平行四邊形ABCD中，AD//BC，AD＝BC，AO＝CO，∴∠CAD＝∠ACB，在△AOF和△COE中，，∴△AOF?△COE（ASA），∴AF＝CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵AB⊥AC，點E為BC的中點，∴AE＝CE，∴平行四邊形AECF是菱形；∴AC⊥EF，故③正確，在Rt△COE中，∠ACE＝30°，∴，故②正確；在平行四邊形ABCD中，OA＝OC，又∵點E為BC的中點，∴，故④正確；綜上所述：正確的結(jié)論有4個，故選：A．考向三：平行四邊形的判定平行四邊形的判定方法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。將平行四邊形問題化為三角形問題來解決，這是問題化為三角形問題來解決，這是解決平行四邊形問題的常用方法。3.在解決平行四邊形的判定問題時，要結(jié)合題判定問題時，要結(jié)合題目條件選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行證明。證明過程中的推理步驟要嚴謹，幾何證明過程中的推理步驟要嚴謹，幾何語言書寫要規(guī)范。1．下列圖形中，一定可以拼成平行四邊形的是（）A．兩個等腰三角形 B．兩個全等三角形 C．兩個銳角三角形 D．兩個直角三角形【分析】因在拼組平行四邊形時，平行四邊形的兩組對邊平行且相等，且有公共邊，所以只有兩個完全一樣的三角形，才可能拼成一個平行四邊形．據(jù)此解答．【解答】解：∵平行四邊形的兩組對邊平行且相等，且有公共邊，∴只有兩個完全一樣的三角形，才可能拼成一個平行四邊形．故選：B．2．在平面直角坐標系xOy中，已知A（1，﹣1），B（4，2），C（0，3），下列坐標不能與A、B、C構(gòu)成平行四邊形的是（）A．（﹣3，0） B．（5，﹣2） C．（3，6） D．（﹣3，﹣2）【分析】根據(jù)平行四邊形的判定分別求出第四個頂點的坐標即可．【解答】解：若A、B、C、D四點可以構(gòu)成平行四邊形，分以下三種情況分別求出D點的坐標：①如圖1，當AC∥DB，AD∥CB時，D點的坐標為（5，﹣2）；②如圖2，當AB∥CD，AC∥BD時，D點的坐標為（3，6）；③如圖3，當AB∥DC，AD∥BC時，D點的坐標為（﹣3，0）．故選：D．3．在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，下列條件不能判定四邊形是平行四邊形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝DC，AD＝BC C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，AD∥BC【分析】利用平行四邊形的判定方法分別對各個選項進行判斷即可．【解答】解：A、由AB∥DC，AD＝BC，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故選項A符合題意；B、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項B不符合題意；C、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項C不符合題意；D、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項B不符合題意；故選：A．4．在8×8的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，其中點A，B，C均在格點上，若點A的坐標為（0，0），請在給定的網(wǎng)格中找出格點E，使以點A、B、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形，則點E的坐標為（﹣1，﹣1）或（1，1）或（5，﹣1）．【分析】建立平面直角坐標系，畫出以點A、B、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形，即可求解．【解答】解：如圖，以點A為原點，正東方向為x軸，正北方向為y軸，建立平面直角坐標系，∴點E（﹣1，﹣1）或（1，1）或（5，﹣1），故答案為：（﹣1，﹣1）或（1，1）或（5，﹣1）．5．如圖，在△ABC中，點F是BC的中點，點E是線段AB的延長線上的一動點，連接EF，過點C作CD∥AB，與線段EF的延長線交于點D，連接CE、BD．求證：四邊形DBEC是平行四邊形．【分析】先證明△EBF≌△DCF，可得DC＝BE，可證四邊形BECD是平行四邊形【解答】證明：∵AB∥CD，∴∠CDF＝∠FEB，∠DCF＝∠EBF，∵點F是BC的中點，∴BF＝CF，在△DCF和△EBF中，，∴△EBF≌△DCF（AAS），∴DC＝BE，∴四邊形BECD是平行四邊形．6．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，動點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，點P以1cm/s的速度由A向D運動，點Q以3cm/s的速度由C向B運動，其中一動點到達終點時，另一動點隨之停止運動，設運動時間為t秒．（1）AP＝t，BQ＝15﹣3t，（分別用含有t的式子表示）；（2）當四邊形PQCD的面積是四邊形ABQP面積的2倍時，求出t的值．（3）當點P、Q與四邊形ABCD的任意兩個頂點所形成的四邊形是平行四邊形時，直接寫出t的值．【分析】（1）由路程＝速度×時間，可求解；（2）由面積關系可求解；（3）分四種情況討論，由平行四邊形的性質(zhì)列出方程可求解．【解答】解：（1）∵點P以1cm/s的速度由A向D運動，點Q以3cm/s的速度由C向B運動，∴AP＝tcm，CQ＝3tcm，∴BQ＝（15﹣3t）cm，故答案為：t，15﹣3t；（2）設點A到BC的距離為h，∵四邊形PQCD的面積是四邊形ABQP面積的2倍，∴×（12﹣t+3t）×h＝2××（t+15﹣3t）×h，∴t＝3；（3）若四邊形APQB是平行四邊形，∴AP＝BQ，∴t＝15﹣3t，∴t＝；若四邊形PDCQ是平行四邊形，∴PD＝CQ，∴12﹣t＝3t，∴t＝3，若四邊形APCQ是平行四邊形，∴AP＝CQ，∴t＝3t，∴t＝0（不合題意舍去），若四邊形PDQB是平行四邊形，∴PD＝BQ，∴12﹣t＝15﹣3t，∴t＝，綜上所述：當t＝或3或時，點P、Q與四邊形ABCD的任意兩個頂點所形成的四邊形是平行四邊形．考向四：平行四邊形的存在性問題1.知識儲備：①平行四邊形是中心對稱圖形②中心對稱圖形的性質(zhì)：對稱中心平分中心對稱圖形內(nèi)通過該點的任意線段，且使中心對稱圖形的面積被平分③中點公式：2.方法策略：（1）有3個定點，找第4個點形成平行四邊形時：①設第4個點的坐標②以3個定點組成的3條線段為對角線分類討論③以中心對稱圖形的性質(zhì)為等量關系列式求解例，如圖所示，平面直角坐標系內(nèi)有A、B、C三點，在平面內(nèi)找第4個點，構(gòu)成平行四邊形；有2個定點，且另外兩個動點均在特殊的位置上時，方法策略同上。如，當A、B已知，點C在直線y=x上，點D在拋物線上，則設C（a,a）；分類還分別分如，當A、B已知，點C在直線y=x上，點D在拋物線上，則設C（a,a）；分類還分別分①以AB為對角線，②以AC為對角線，③以BC為對角線；依其性質(zhì)分別表示出D點坐標；將點D坐標再分別帶入拋物線解析式，即可求出a的值，C、D坐標就都能求出來了。1．已知O、A、B的坐標分別是（0，0），（3，1），（﹣1，2），在平面內(nèi)找一點M，使得以點O、A、B、M為頂點的四邊形是平行四邊形，則點M的坐標為（﹣4，1）或（2，3）或（4，﹣1）．【分析】分三種情況，根據(jù)題意畫出圖形，由平行四邊形的判定與性質(zhì)以及平移的性質(zhì)來確定點M的坐標即可．【解答】解：分三種情況：①當四邊形OABM為平行四邊形時，如圖1所示：則BM∥AO，BM＝AO，∵O、A、B的坐標分別是（0，0），（3，1），（﹣1，2），∴把點O向左平移3﹣（﹣1）＝4（個）單位，再向上平移1個單位得M的坐標，∴M（﹣4，1）；②當四邊形OAMB為平行四邊形時，如圖2所示：則BM∥AO，BM＝AO，∵O、A、B的坐標分別是（0，0），（3，1），（﹣1，2），∴把點B向右平移3個單位，再向上平移1個單位得M的坐標，∴M（2，3）；③當四邊形OBAMM為平行四邊形時，如圖3所示：則AB∥MO，AB＝MO，∵O、A、B的坐標分別是（0，0），（3，1），（﹣1，2），∴把點A向右平移1個單位，再向下平移2個單位得M的坐標，∴M（4，﹣1）；綜上所述，點M的坐標為（﹣4，1）或（2，3）或（4，﹣1）；故答案為：（﹣4，1）或（2，3）或（4，﹣1）．2．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝18cm，BC＝15cm，點P在AD邊上以每秒2cm的速度從點A向點D運動，點Q在BC邊上，以每秒1cm的速度從點C向點B運動，當一點到達終點停止運動時，另一點也停止運動，則運動時間為5或6秒時，直線PQ在四邊形ABCD內(nèi)部截出一個平行四邊形．【分析】由題意可得AD∥BC，分BQ＝AP或CQ＝PD兩種情況討論，再列出方程，求出方程的解即可．【解答】解：設點P運動了t秒，∴CQ＝tcm，AP＝2tcm，BQ＝（15﹣t）cm，PD＝（18﹣2t）cm，①當BQ＝AP時，且AD∥BC，則四邊形APQB是平行四邊形，即15﹣t＝2t，∴t＝5；②當CQ＝PD時，且AD∥BC，則四邊形CQPD是平行四邊形，即t＝18﹣2t，∴t＝6，綜上所述：當直線PQ在四邊形ABCD內(nèi)部截出一個平行四邊形時，點P運動了5秒或6秒，故答案為：5或6．3．在平面直角坐標系中，已知點A（4，0），點B（﹣3，2），點C（0，2），點P從點B出發(fā)，以2個單位每秒的速度沿射線BC運動，點Q從點A出發(fā)，開始以1個單位每秒的速度向原點O運動，到達原點后立刻以原來3倍的速度沿射線OA運動，若P，Q兩點同時出發(fā)，設運動時間為t秒，則當t＝1或3或13時，以點A，Q，C，P為頂點的四邊形為平行四邊形．【分析】利用A、B、C的坐標可得到OA＝4，BC＝3，BC∥x軸，根據(jù)平行四邊形的判定，當PC＝AQ時，以點A，Q，C，P為頂點的四邊形為平行四邊形，討論：若0＜t＜時，3﹣2t＝t；若＜t＜4時，2t﹣3＝t；若4＜t＜時，2t﹣3＝4﹣3（t﹣4）；若t＞時，2t﹣3＝3（t﹣4）﹣4，然后分別解方程可確定滿足條件的t的值．【解答】解：∵A（4，0），B（﹣3，2），C（0，2），∴OA＝4，BC＝3，BC∥x軸，∵PC∥AQ，∴當PC＝AQ時，以點A，Q，C，P為頂點的四邊形為平行四邊形，若0＜t＜時，BP＝2t，PC＝3﹣2t，AQ＝t，此時3﹣2t＝t，解得t＝1；若＜t＜4時，BP＝2t，PC＝2t﹣3，AQ＝t，此時2t﹣3＝t，解得t＝3；若4＜t＜時，BP＝2t，PC＝2t﹣3，OQ＝3（t﹣4），AQ＝4﹣3（t﹣4），此時2t﹣3＝4﹣3（t﹣4），解得t＝（舍去）；若t＞時，BP＝2t，PC＝2t﹣3，OQ＝3（t﹣4），AQ＝3（t﹣4）﹣4，此時2t﹣3＝3（t﹣4）﹣4，解得t＝13；綜上所述，當t為1或3或13秒時，以點A，Q，C，P為頂點的四邊形為平行四邊形．故答案為1或3或13．4．如圖，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，動點M從點D出發(fā)，按折線DCBAD方向以2cm/s的速度運動，動點N從點D出發(fā)，按折線DABCD方向以1cm/s的速度運動．（1）若動點M，N同時出發(fā)，t秒時，N走過tcm，M走過2tcm；（2）若動點M，N同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘兩點第一次相遇？（3）若點E在線段BC上，且BE＝3cm，若動點M，N同時出發(fā)，相遇時停止運動，經(jīng)過幾秒鐘，點A，E，M，N組成平行四邊形？【分析】（1）根據(jù)路程＝時間×速度的等量關系，可直接寫出N和M的路程（2）根據(jù)相遇問題的等量關系列出方程求解即可，M的路程+N的路程＝矩形的周長；（3）分點M在點E的左邊和右邊兩種情況，根據(jù)平行四邊形對邊相等，利用AN＝ME列出方程求解即可．【解答】解：（1）路程＝時間×速度，時間為t，N的速度為1cm/s，所以其路程為t，M的速度2cm/s，所以其路程為2t；故答案為：t，2t；（2）設t秒時兩點相遇，根據(jù)題意得t+2t＝2×（4+8）＝24，解得t＝8，即經(jīng)過8秒鐘兩點第一次相遇；（3）①如圖1，點M在BC上且在E點右側(cè)時，當AN＝ME時，四邊形AEMN為平行四邊形，得8﹣t＝9﹣2t，解得t＝1，此時點M在DC，所以舍去；②如圖2，點M在BC上且在E點左側(cè)時，當AN＝ME時，四邊形AEMN為平行四邊形，得8﹣t＝2t﹣9，解得，符合題意，所以經(jīng)過秒鐘，點A，E，M，N組成平行四邊形．1．（2022?湘西州）一個正六邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為（）A．1080° B．720° C．540° D．360°【分析】利用多邊形的內(nèi)角和定理解答即可．【解答】解：一個正六邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為：（6﹣2）×180°＝720°，故選：B．2．（2022?河北）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數(shù)分別為α，β，則正確的是（）A．α﹣β＝0 B．α﹣β＜0 C．α﹣β＞0 D．無法比較α與β的大小【分析】利用多邊形的外角和都等于360°，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵任意多邊形的外角和為360°，∴α＝β＝360°．∴α﹣β＝0．故選：A．3．（2022?西寧）若正n邊形的一個外角是36°，則n＝10．【分析】利用多邊形的外角和即可解決問題．【解答】解：n＝360°÷36°＝10．故答案為：10．4．（2022?通遼）正多邊形的每個內(nèi)角為108°，則它的邊數(shù)是（）A．4 B．6 C．7 D．5【分析】方法一：根據(jù)相鄰的內(nèi)角與外角互為鄰補角求出每一個外角的度數(shù)為72°，再用外角和360°除以72°，計算即可得解；方法二：設多邊形的邊數(shù)為n，然后根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°列方程求解即可．【解答】解：方法一：∵正多邊形的每個內(nèi)角等于108°，∴每一個外角的度數(shù)為180°﹣108°＝72°，∴邊數(shù)＝360°÷72°＝5，方法二：設多邊形的邊數(shù)為n，由題意得，（n﹣2）?180°＝108°?n，解得n＝5，所以，這個多邊形的邊數(shù)為5．故選：D．5．（2022?資陽）小張同學家要裝修，準備購買兩種邊長相同的正多邊形瓷磚用于鋪滿地面．現(xiàn)已選定正三角形瓷磚，則選的另一種正多邊形瓷磚的邊數(shù)可以是4答案不唯一．（填一種即可）【分析】分別求出各個多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)，結(jié)合鑲嵌的條件即可求出答案．【解答】解：正三角形的每個內(nèi)角是60°，正四邊形的每個內(nèi)角是90°，∵3×60°+2×90°＝360°，∴正四邊形可以，正六邊形的每個內(nèi)角是120°，∵2×60°+2×120°＝360°，∴正六邊形可以，正十二邊形的每個內(nèi)角是150°，∵1×60°+2×150°＝360°，∴正十二邊形可以，故答案為：4答案不唯一．6．（2022?廣東）如圖，在?ABCD中，一定正確的是（）A．AD＝CD B．AC＝BD C．AB＝CD D．CD＝BC【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，故選：C．7．（2022?大慶）如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在E處．若∠1＝56°，∠2＝42°，則∠A的度數(shù)為（）A．108° B．109° C．110° D．111°【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得∠ABD＝∠CDB＝∠EBD，再由三角形的外角性質(zhì)得∠ABD＝∠CDB＝28°，然后由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，由折疊的性質(zhì)得：∠EBD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠CDB＝∠EBD，∵∠1＝∠CDB+∠EBD＝56°，∴∠ABD＝∠CDB＝28°，∴∠A＝180°﹣∠2﹣∠ABD＝180°﹣42°﹣28°＝110°，故選：C．8．（2022?無錫）如圖，在?ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，點E在AD上，∠EBA＝60°，則的值是（）A． B． C． D．【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可求∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求CD，DE的長，即可求解．【解答】解：如圖，過點B作BH⊥AD于H，設∠ADB＝x，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，∠ADC＝∠ABC＝105°，∴∠CBD＝∠ADB＝x，∵AD＝BD，∴∠DBA＝∠DAB＝，∴x+＝105°，∴x＝30°，∴∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，∵BH⊥AD，∴BD＝2BH，DH＝BH，∵∠EBA＝60°，∠DAB＝75°，∴∠AEB＝45°，∴∠AEB＝∠EBH＝45°，∴EH＝BH，∴DE＝BH﹣BH＝（﹣1）BH，∵AB＝＝＝（﹣）BH＝CD，∴＝，故選：D．9．（2022?達州）如圖，在△ABC中，點D，E分別是AB，BC邊的中點，點F在DE的延長線上．添加一個條件，使得四邊形ADFC為平行四邊形，則這個條件可以是（）A．∠B＝∠F B．DE＝EF C．AC＝CF D．AD＝CF【分析】利用三角形中位線定理得到DE∥AC，DE＝AC，結(jié)合平行四邊形的判定定理對各個選項進行判斷即可．【解答】解：∵D，E分別是AB，BC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥AC，DE＝AC，A、當∠B＝∠F，不能判定AD∥CF，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項不符合題意；B、∵DE＝EF，∴DE＝DF，∴AC＝DF，∵AC∥DF，∴四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項符合題意；C、根據(jù)AC＝CF，不能判定AC＝DF，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項不符合題意；D、∵AD＝CF，AD＝BD，∴BD＝CF，由BD＝CF，∠BED＝∠CEF，BE＝CE，不能判定△BED≌△CEF，不能判定CF∥AB，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項不符合題意；故選：B．10．（2022?畢節(jié)市）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點P為BC邊上任意一點，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ長度的最小值為．【分析】以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，由平行四邊形的性質(zhì)可知O是AC中點，PQ最短也就是PO最短，所以應該過O作BC的垂線P′O，證明△CAB∽△CP′O，利用相似三角形的性質(zhì)得出，求出OP'，即可求出PQ的最小值．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝＝＝4，∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴PO＝QO，CO＝AO＝2，∵PQ最短也就是PO最短，∴過O作BC的垂線OP′，∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，∴△CAB∽△CP′O，∴，∴，∴OP′＝，∴則PQ的最小值為2OP′＝，故答案為：．11．（2022?益陽）如圖，在?ABCD中，AB＝8，點E是AB上一點，AE＝3，連接DE，過點C作CF∥DE，交AB的延長線于點F，則BF的長為（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知CD＝AB＝8，已知AE＝3，則BE＝5，再判定四邊形DEFC是平行四邊形，則DC＝EF＝8，BF＝EF﹣BE，即可求出BF．【解答】解：在?ABCD中，AB＝8，∴CD＝AB＝8，AB∥CD，∵AE＝3，∴BE＝AB﹣AE＝5，∵CF∥DE，∴四邊形DEFC是平行四邊形，∴DC＝EF＝8，∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．故選：C．12．（2022?邵陽）如圖，在等腰△ABC中，∠A＝120°，頂點B在?ODEF的邊DE上，已知∠1＝40°，則∠2＝110°．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵等腰△ABC中，∠A＝120°，∴∠ABC＝30°，∵∠1＝40°，∴∠ABE＝∠1+∠ABC＝70°，∵四邊形ODEF是平行四邊形，∴OF∥DE，∴∠2＝180°﹣∠ABE＝180°﹣70°＝110°，故答案為：110°．13．（2022?常德）如圖，已知F是△ABC內(nèi)的一點，F(xiàn)D∥BC，F(xiàn)E∥AB，若?BDFE的面積為2，BD＝BA，BE＝BC，則△ABC的面積是12．【分析】連接DE，CD，由平行四邊形的性質(zhì)可求S△BDE＝1，結(jié)合BE＝BC可求解S△BDC＝4，再利用BD＝BA可求解△ABC的面積．【解答】解：連接DE，CD，∵四邊形BEFD為平行四邊形，?BDFE的面積為2，∴S△BDE＝S?BDFE＝1，∵BE＝BC，∴S△BDC＝4S△BDE＝4，∵BD＝BA，∴S△ABC＝3S△BDC＝12，故答案為：12．14．（2022?廣西）如圖，在?ABCD中，BD是它的一條對角線．（1）求證：△ABD≌△CDB；（2）尺規(guī)作圖：作BD的垂直平分線EF，分別交AD，BC于點E，F(xiàn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；（3）連接BE，若∠DBE＝25°，求∠AEB的度數(shù)．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB＝CD，AD＝BC，再由BD＝BD，即可證明△ABD≌△CDB；（2）利用線段垂直平分線的作法進行作圖即可；（3）由垂直平分線的性質(zhì)得出EB＝ED，進而得出∠DBE＝∠BDE＝25°，再由三角形外角的性質(zhì)即可求出∠AEB的度數(shù)．【解答】（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CDB（SSS）；（2）如圖所示，（3）解：如圖3，∵EF垂直平分BD，∠DBE＝25°，∴EB＝ED，∴∠DBE＝∠BDE＝25°，∵∠AEB是△BED的外角，∴∠AEB＝∠DBE+∠BDE＝25°+25°＝50°．15．（2022?內(nèi)蒙古）如圖，在平行四邊形ABCD中，點O是AD的中點，連接BO并延長交CD的延長線于點E，連接BD，AE．（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；（2）若BD＝CD，判斷四邊形ABDE的形狀，并說明理由．【分析】（1）證△ABO≌△DEO（AAS），得OB＝OE，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得AB＝CD，再證AB＝BD，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABO＝∠DEO，∵點O是邊AD的中點，∴AO＝DO，在△ABO和△DEO中，，∴△ABO≌△DEO（AAS），∴OB＝OE，∴四邊形ABDE是平行四邊形；（2）解：四邊形ABDE是菱形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∵BD＝CD，∴AB＝BD，∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴平行四邊形ABDE是菱形．16．（2022?揚州）如圖，在?ABCD中，BE、DG分別平分∠ABC、∠ADC，交AC于點E、G．（1）求證：BE∥DG，BE＝DG；（2）過點E作EF⊥AB，垂足為F．若?ABCD的周長為56，EF＝6，求△ABC的面積．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，AB＝CD，由角平分線的定義及三角形外角的性質(zhì)可得∠DGE＝∠BEG，進而可證明BE∥DG；利用ASA證明△ADG≌△CBE可得BE＝DG；（2）過E點作EH⊥BC于H，由角平分線的性質(zhì)可求解EH＝EF＝6，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求解AB+BC＝28，再利用三角形的面積公式計算可求解．【解答】（1）證明：在?ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，AB＝CD，∵BE、DG分別平分∠ABC、∠ADC，∴∠ADG＝∠CBE，∵∠DGE＝∠DAC+∠ADG，∠BEG＝∠BCA+∠CBE，∴∠DGE＝∠BEG，∴BE∥DG；在△ADG和△CBE中，，∴△ADG≌△CBE（ASA），∴BE＝DG；（2）解：過E點作EH⊥BC于H，∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，∴EH＝EF＝6，∵?ABCD的周長為56，∴AB+BC＝28，∴S△ABC＝＝＝＝84．17．（2022?溫州）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點，O是DF的中點，EO的延長線交線段BD于點G，連結(jié)DE，EF，F(xiàn)G．（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形．（2）當AD＝5，tan∠EDC＝時，求FG的長．【分析】（1）由三角形中位線定理得EF∥BC，則∠EFO＝∠GDO，再證△OEF≌△OGD（ASA），得EF＝GD，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得DE＝AC＝CE，則∠C＝∠EDC，再由銳角三角函數(shù)定義得CD＝2，然后由勾股定理得AC＝，則DE＝AC＝，進而由平行四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥BC，∴∠EFO＝∠GDO，∵O是DF的中點，∴OF＝OD，在△OEF和△OGD中，，∴△OEF≌△OGD（ASA），∴EF＝GD，∴四邊形DEFG是平行四邊形．（2）解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵E是AC的中點，∴DE＝AC＝CE，∴∠C＝∠EDC，∴tanC＝＝tan∠EDC＝，即＝，∴CD＝2，∴AC＝＝＝，∴DE＝AC＝，由（1）可知，四邊形DEFG是平行四邊形，∴FG＝DE＝．1．（2022?懷化）一個多邊形的內(nèi)角和為900°，則這個多邊形是（）A．七邊形 B．八邊形 C．九邊形 D．十邊形【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式：（n﹣2）?180°列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：設多邊形的邊數(shù)為n，（n﹣2）?180°＝900°，解得：n＝7．故選：A．2．（2022?煙臺）一個正多邊形每個內(nèi)角與它相鄰外角的度數(shù)比為3：1，則這個正多邊形是（）A．正方形 B．正六邊形 C．正八邊形 D．正十邊形【分析】設這個外角是x°，則內(nèi)角是3x°，根據(jù)內(nèi)角與它相鄰的外角互補列出方程求出外角的度數(shù)，根據(jù)多邊形的外角和是360°即可求解．【解答】解：∵一個正多邊形每個內(nèi)角與它相鄰外角的度數(shù)比為3：1，∴設這個外角是x°，則內(nèi)角是3x°，根據(jù)題意得：x+3x＝180，解得：x＝45，360°÷45°＝8（邊），故選：C．3．（2022?福建）四邊形的外角和度數(shù)是360°．【分析】根據(jù)多邊形的外角和都是360°即可得出答案．【解答】解：四邊形的外角和度數(shù)是360°，故答案為：360°．4．（2022?株洲）如圖所示，已知∠MON＝60°，正五邊形ABCDE的頂點A、B在射線OM上，頂點E在射線ON上，則∠AEO＝48度．【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)求出∠EAB，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算，得到答案．【解答】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠EAB＝＝108°，∵∠EAB是△AEO的外角，∴∠AEO＝∠EAB﹣∠MON＝108°﹣60°＝48°，故答案為：48．5．（2022?遂寧）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點A、F分別在正方形BMGH的邊BH、GH上．若正方形BMGH的邊長為6，則正六邊形ABCDEF的邊長為4．【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)和直角三角形中，30°角所對的邊是斜邊的一半可以求得AF的長．【解答】解：設AF＝x，則AB＝x，AH＝6﹣x，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BAF＝120°，∴∠HAF＝60°，∵∠AHF＝90°，∴∠AFH＝30°，∴AF＝2AH，∴x＝2（6﹣x），解得x＝4，∴AB＝4，即正六邊形ABCDEF的邊長為4，故答案為：4．6．（2022?湘潭）在?ABCD中（如圖），連接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，則∠BCD＝（）A．80° B．100° C．120° D．140°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可求得∠ACD，即可求出∠BCD．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAC＝40°，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝40°，∵∠ACB＝80°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝120°，故選：C．7．（2022?內(nèi)江）如圖，在?ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分線BM交CD邊于點M，則DM的長為（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】由平行四邊形的得CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，再證∠CBM＝∠CMB，則MC＝BC＝8，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，∴∠ABM＝∠CMB，∵BM是∠ABC的平分線，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠CBM＝∠CMB，∴MC＝BC＝8，∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4，故選：B．8．（2022?朝陽）將一個三角尺按如圖所示的方式放置在一張平行四邊形的紙片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，則∠EGC的度數(shù)為（）A．100° B．80° C．70° D．60°【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥DC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠GEF的度數(shù)，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠EGC的度數(shù)．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，∴∠AEG＝∠EGC，∵∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∴∠GEF＝30°，∴∠GEA＝80°，∴∠EGC＝80°．故選：B．9．（2022?樂山）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB，垂足為E，過點B作BF⊥AC，垂足為F．若AB＝6，AC＝8，DE＝4，則BF的長為（）A．4 B．3 C． D．2【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得S△ABC＝S平行四邊形ABCD，結(jié)合三角形及平行四邊形的面積公式計算可求解．【解答】解：在平行四邊形ABCD中，S△ABC＝S平行四邊形ABCD，∵DE⊥AB，BF⊥AC，∴，∵AB＝6，AC＝8，DE＝4，∴8BF＝6×4，解得BF＝3，故選：B．10．（2022?廣州）如圖，在?ABCD中，AD＝10，對角線AC與BD相交于點O，AC+BD＝22，則△BOC的周長為21．【分析】根據(jù)平行四邊形對角線互相平分，求出OC+OB的長，即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AD＝BC＝10，∵AC+BD＝22，∴OC+BO＝11，∴△BOC的周長＝OC+OB+BC＝11+10＝21．故答案為：21．11．（2022?泰安）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，則點B的坐標為（﹣2，﹣1）．【分析】直接根據(jù)平移的性質(zhì)可解答．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，且A（﹣1，2），D（3，2），∴點A是點D向左平移4個單位所得，∵C（2，﹣1），∴B（﹣2，﹣1）．故答案為：（﹣2，﹣1）．12．（2022?河北）依據(jù)所標數(shù)據(jù)，下列一定為平行四邊形的是（）A．B． C．D．【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理做出判斷即可．【解答】解：A、80°+110°≠180°，故A選項不符合條件；B、只有一組對邊平行不能確定是平行四邊形，故B選項不符合題意；C、不能判斷出任何一組對邊是平行的，故C選項不符合題意；D、有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故D選項符合題意；故選：D．13．（2022?嘉興）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，點E，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，則四邊形AEFG的周長是（）A．8 B．16 C．24 D．32【分析】由EF∥AC，GF∥AB，得四邊形AEFG是平行四邊形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，再由AB＝AC＝8和等量代換，即可求得四邊形AEFG的周長．【解答】解：∵EF∥AC，GF∥AB，∴四邊形AEFG是平行四邊形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EFB，∠GFC＝∠C，∴EB＝EF，F(xiàn)G＝GC，∵四邊形AEFG的周長＝AE+EF+FG+AG，∴四邊形AEFG的周長＝AE+EB+GC+AG＝AB+AC，∵AB＝AC＝8，∴四邊形AEFG的周長＝AB+AC＝8+8＝16，故選：B．14．（2022?安徽）如圖，?OABC的頂點O是坐標原點，A在x軸的正半軸上，B，C在第一象限，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點C，y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過點B．若OC＝AC，則k＝3．【分析】設出C點的坐標，根據(jù)C點的坐標得出B點的坐標，然后計算出k值即可．【解答】解：由題知，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點C，設C點坐標為（a，），作CH⊥OA于H，過A點作AG⊥BC于G，∵四邊形OABC是平行四邊形，OC＝AC，∴OH＝AH，CG＝BG，四邊形HAGC是矩形，∴OH＝CG＝BG＝a，即B（3a，），∵y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過點B，∴k＝3a?＝3，故答案為：3．15．（2022?臨沂）如圖，在正六邊形ABCDEF中，M，N是對角線BE上的兩點．添加下列條件中的一個：①BM＝EN；②∠FAN＝∠CDM；③AM＝DN；④∠AMB＝∠DNE．能使四邊形AMDN是平行四邊形的是①②④（填上所有符合要求的條件的序號）．【分析】①連接AD，交BE于點O，證出OM＝ON，由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得出結(jié)論；②證明△AON≌△DOM（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出AN＝DM，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得出結(jié)論；③不能證明△ABM與△DEN全等，則可得出結(jié)論；④證明△ABM≌△DEN（AAS），得出AM＝DN，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得出結(jié)論．【解答】解：①連接AD，交BE于點O，∵正六邊形ABCDEF中，∠BAO＝∠ABO＝∠OED＝∠ODE＝60°，∴△AOB和△DOE是等邊三角形，∴OA＝OD，OB＝OE，又∵BM＝EN，∴OM＝ON，∴四邊形AMDN是平行四邊形，故①符合題意；②∵∠FAN＝∠CDM，∠CDA＝∠DAF，∴∠OAN＝∠ODM，∴AN∥DM，又∵∠AON＝∠DOM，OA＝OD，∴△AON≌△DOM（ASA），∴AN＝DM，∴四邊形AMDN是平行四邊形，故②符合題意；③∵AM＝DN，AB＝DE，∠ABM＝∠DEN，∴△ABM與△DEN不一定全等，不能得出四邊形AMDN是平行四邊形，故③不符合題意；④∵∠AMB＝∠DNE，∠ABM＝∠DEN，AB＝DE，∴△ABM≌△DEN（AAS），∴AM＝DN，∵∠AMB+∠AMN＝180°，∠DNM+∠DNE＝180°，∴∠AMN＝∠DNM，∴AM∥DN，∴四邊形AMDN是平行四邊形，故④符合題意．故答案為：①②④．16．（2022?日照）如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形OABC的頂點O在坐標原點，點E是對角線AC上一動點（不包含端點），過點E作EF∥BC，交AB于F，點P在線段EF上．若OA＝4，OC＝2，∠AOC＝45°，EP＝3PF，P點的橫坐標為m，則m的取值范圍是（）A．4＜m＜3+ B．3﹣＜m＜4 C．2﹣＜m＜3 D．4＜m＜4+【分析】先求得點A，C，B三個點坐標，然后求得AB和AC的解析式，再表示出EF的長，進而表示出點P的橫坐標，根據(jù)不等式的性質(zhì)求得結(jié)果．【解答】解：可得C（，），A（4，0），B（4+，），∴直線AB的解析式為：y＝x﹣4，∴x＝y(tǒng)+4，直線AC的解析式為：y＝﹣，∴x＝4+y﹣2y，∴點F的橫坐標為：y+4，點E的橫坐標為：4+y﹣2y，∴EF＝（y+4）﹣（4+y﹣2y）＝2，∵EP＝3PF，∴PF＝EF＝y(tǒng)，∴點P的橫坐標為：y+4﹣y，∵0＜y＜，∴4＜y+4﹣y＜3+，故答案為：A．17．（2022?煙臺）如圖，在?ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于點F，BE∥DF，交AD的延長線于點E．若∠A＝40°，求∠ABE的度數(shù)．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠A+∠ADC＝180°，∵∠A＝40°，∴∠ADC＝140°，∵DF平分∠ADC，∴∠CDF＝ADC＝70°，∴∠AFD＝∠CDF＝70°，∵DF∥BE，∴∠ABE＝∠AFD＝70°．18．（2022?桂林）如圖，在?ABCD中，點E和點F是對角線BD上的兩點，且BF＝DE．（1）求證：BE＝DF；（2）求證：△ABE≌△CDF．【分析】（1）根據(jù)BF﹣EF＝DE﹣EF證得結(jié)論；（2）利用全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵BF＝DE，BF﹣EF＝DE﹣EF，∴BE＝DF；（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，且AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，．∴△ABE≌△CDF（SAS）．19．（2022?鞍山）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【分析】結(jié)合已知條件推知AB∥CD；然后由全等三角形的判定定理AAS證得△ABE≌△CDF，則其對應邊相等：AB＝CD；最后根據(jù)“對邊平行且相等是四邊形是平行四邊形”證得結(jié)論．【解答】證明：∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD．∴∠BAE＝∠DCF．在△ABE與△CDF中，．∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴AB＝CD．∴四邊形ABCD是平行四邊形．20．（2022?長沙）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB＝AD．（1）求證：AC⊥BD；（2）若點E，F(xiàn)分別為AD，AO的中點，連接EF，EF＝，AO＝2，求BD的長及四邊形ABCD的周長．【分析】（1）由菱形的判定得?ABCD是菱形，再由菱形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）由三角形中位線定理得OD＝2EF＝3，再由菱形的性質(zhì)得AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BD＝2OD＝6，然后由勾股定理得AD＝，即可求出菱形ABCD的周長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝AD，∴?ABCD是菱形，∴AC⊥BD；（2）解：∵點E，F(xiàn)分別為AD，AO的中點，∴EF是△AOD的中位線，∴OD＝2EF＝3，由（1）可知，四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BD＝2OD＝6，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD＝＝＝，∴菱形ABCD的周長＝4AD＝4．21．（2022?大慶）如圖，在四邊形ABDF中，點E，C為對角線BF上的兩點，AB＝DF，AC＝DE，EB＝CF．連接AE，CD．（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；（2）若AE＝AC，求證：AB＝DB．【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)可得BC＝EF，從而利用SSS證明△ABC≌△DFE，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠DFE，從而可得AB∥DF，即可解答；（2）連接AD交BF于點O，利用平行四邊形的性質(zhì)可得OB＝OF，從而可得OE＝OC，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得AO⊥EC，然后證明四邊形ABDF是菱形，即可解答．【解答】證明：（1）∵EB＝CF，∴EB+EC＝CF+EC，∴BC＝EF，∵AB＝DF，AC＝DE，∴△ABC≌△DFE（SSS），∴∠ABC＝∠DFE，∴AB∥DF，∴四邊形ABDF是平行四邊形；（2）連接AD交BF于點O，∵四邊形ABDF是平行四邊形，∴OB＝OF，∵BE＝CF，∴OB﹣BE＝OF﹣CF，∴OE＝OC，∵AE＝AC，∴AO⊥EC，∴四邊形ABDF是菱形，∴AB＝BD．22．（2022?畢節(jié)市）如圖1，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點O，AO＝CO，∠BCA＝∠CAD．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）如圖2，E，F(xiàn)，G分別是BO，CO，AD的中點，連接EF，GE，GF，若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周長．【分析】（1）根據(jù)已知可得AD∥BC，然后再利用ASA證明△AOD≌△COB，從而利用全等三角形的性質(zhì)可得AD＝BC，最后利用平行四邊形的判定方法即可解答；（2）連接DF，利用平行四邊形的性質(zhì)可得AD＝BC＝15，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2OD，OA＝OC＝AC＝8，從而可得AB＝DO＝DC，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得DF⊥OC，從而在Rt△AFD中，利用勾股定理求出DF的長，然后利用直角三角形斜邊上的中線可求出FG的長，再根據(jù)三角形的中位線定理可得EF＝BC＝7.5，EF∥BC，從而可得四邊形GEFD是平行四邊形，進而可得EG＝DF＝9，最后進行計算即可解答．【解答】（1）證明：∵∠BCA＝∠CAD，∴AD∥BC，在△AOD與△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）解：連接DF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝15，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2OD，OA＝OC＝AC＝8，∵BD＝2AB，∴AB＝OD，∴DO＝DC，∵點F是OC的中點，∴OF＝OC＝4，DF⊥OC，∴AF＝OA+OF＝12，在Rt△AFD中，DF＝＝＝9，∴點G是AD的中點，∠AFD＝90°，∴DG＝FG＝AD＝7.5，∵點E，點F分別是OB，OC的中點，∴EF是△OBC的中位線，∴EF＝BC＝7.5，EF∥BC，∴EF＝DG，EF∥AD，∴四邊形GEFD是平行四邊形，∴GE＝DF＝9，∴△EFG的周長＝GE+GF+EF＝9+7.5+7.5＝24，∴△EFG的周長為24．1．（2022?河南模擬）如圖，?OABC的頂點O（0，0），C（13，0），OA＝3，點B在第一象限，將?OABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到?OA'B'C'，當點A的對應點A'落在x軸正半軸上時，點B的對應點B'恰好落在BC的延長線上，則點B'的坐標是（）A．（5，﹣12） B．（8，﹣12） C．（8，﹣13） D．（12，﹣8）【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠AOC＝∠C'OA'，由平行四邊形的性質(zhì)得出∠AOC＝∠B，AB∥OC，A'B'∥OC'，證出B'A'＝B'C＝13，過點B'作B'E⊥A'C于點E，由等腰三角形的性質(zhì)求出A'E＝A'C＝5，由勾股定理求出B'E＝12，則可求出答案．【解答】解：∵C（13，0），∴OC＝13，∵將?OABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到?OA'B'C'，∴∠AOC＝∠C'OA'，又∵四邊形OABC和四邊形OA'B'C'是平行四邊形，∴∠AOC＝∠B，AB∥OC，A'B'∥OC'，∴∠B＝∠OCB'，∠C'OA'＝∠B'A'C，∴∠B'A'C＝∠OCB'，∴B'A'＝B'C＝13，過點B'作B'E⊥A'C于點E，∵A'C＝OC﹣OA'＝13﹣3＝10，∴A'E＝A'C＝5，∴OE＝8，B'E＝＝＝12，∴B'（8，﹣12）．故選：B．2．（2022?東營二模）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，則不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD C．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB【分析】利用所給條件結(jié)合平行四邊形的判定方法進行分析即可．【解答】解：A、∵∠ABD＝∠BDC，OA＝OC，又∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD，∴DO＝BO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不合題意；B、∠ABC＝∠ADC，AB＝CD不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項符合題意；C、∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ADC+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不合題意；D、∵∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥CB，∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不合題意；故選：B．3．（2022?營口模擬）如圖，?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交AO，AB于點M，N；②以點O為圓心，以AM長為半徑作弧，交OC于點M′；③以點M′為圓心，以MN長為半徑作弧，在∠COB內(nèi)部交前面的弧于點N′；④過點N′作射線ON′交BC于點E，若AB＝8，則線段OE的長為（）A．4 B．5 C．3 D．3.5【分析】判定△COE∽△CAB，即可得到＝，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可得出線段OE的長．【解答】解：由題可得，∠COE＝∠CAB，∠OCE＝∠ACB，∴△COE∽△CAB，∴＝，又∵?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，∴＝，∴，即OE＝4，故選：A．4．（2022?威縣校級模擬）如圖，已知?ABCD，點E，F(xiàn)在對角線AC上，且AE＝CF，連接DE，DF，BE，BF．求證：四邊形DEBF為平行四邊形．以下是排亂的證明過程：①∴四邊形DEBF為平行四邊形；②∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OD＝OB，OA＝OC；③連接BD，交AC于點O；④∵AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，證明步驟正確的順序是（）A．①②③④ B．③④②① C．③②④① D．④③②①【分析】連接BD交AC于點O，由平行四邊形的性質(zhì)可求得AO＝CO，再由條件則可求得OE＝OF，則可判定四邊形DEBF為平行四邊形．【解答】解：如圖，連接BD交AC于點O，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴BO＝DO，AO＝CO，∵AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，∵BO＝DO，∴四邊形DEBF為平行四邊形．故選：C．5．（2022?永豐縣模擬）如圖，?ABCD中，E，F(xiàn)分別在AD，BC上，DE＝BF＝3，EF⊥AD，若EF＝8，AE＝9，AB的長為（）A．6 B． C．9 D．10【分析】過點B作BH⊥AD于H，證明四邊形BHEF為矩形，由矩形的性質(zhì)得出HE＝BF＝3，EF＝BH＝8，由勾股定理可得出答案．【解答】解：過點B作BH⊥AD于H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC．∵EF⊥AD，BH⊥AD，∴BH∥EF．∴四邊形BHEF是平行四邊形．∵∠BHE＝90°，∴四邊形BHEF為矩形．∴HE＝BF＝3，EF＝BH＝8．∵AE＝9，∴AH＝AE﹣HE＝9﹣3＝6．∴AB＝＝＝10．故選：D．6．（2022?蘭陵縣一模）如圖1，平行四邊形ABCD中，AD＞AB，∠ABC為銳角．要在對角線BD上找點N，M，使四邊形ANCM為平行四邊形，現(xiàn)有圖2中的甲、乙、丙三種方案，則正確的方案是（）A．只有甲、乙才是 B．只有甲、丙才是 C．只有乙、丙才是 D．甲、乙、丙都是【分析】方案甲，連接AC，由平行四邊形的性質(zhì)得OB＝OD，OA＝OC，則NO＝OM，得四邊形ANCM為平行四邊形，方案甲正確；方案乙，證△ABN≌△CDM（AAS），得AN＝CM，再由AN∥CM，得四邊形ANCM為平行四邊形，方案乙正確；方案丙，證△ABN≌△CDM（ASA），得AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，則∠ANM＝∠CMN，證出AN∥CM，得四邊形ANCM為平行四邊形，方案丙正確．【解答】解：方案甲中，連接AC，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，O為BD的中點，∴OB＝OD，OA＝OC，∵BN＝NO，OM＝MD，∴NO＝OM，∴四邊形ANCM為平行四邊形，故方案甲正確；方案乙中，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN⊥BD，CM⊥BD，∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（AAS），∴AN＝CM，又∵AN∥CM，∴四邊形ANCM為平行四邊形，故方案乙正確；方案丙中，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，∴∠BAN＝∠DCM，在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（ASA），∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，∴∠ANM＝∠CMN，∴AN∥CM，∴四邊形ANCM為平行四邊形，故方案丙正確；故選：D．7．（2023?定遠縣校級一模）如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，AE平分∠BAD，交BC于點E，且∠ADC＝60°，AD＝2AB，連接OE，下列結(jié)論：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S平行四邊形ABCD＝AC?CD；④S四邊形OECD＝S△AOD：⑤OE＝AD．其中成立的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可證明△ABE為等邊三角形，由BC＝AD＝2AB，可判斷①，證明∠BAC＝90°，可判斷②；由平行四邊形的面積公式可判斷③；利用三角形中線的性質(zhì)結(jié)合三角形的面積可求解判斷④，由三角形中位線定理可求AB＝2OE，即可判斷⑤，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ADC＝60°，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，AO＝CO，∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB∴△ABE為等邊三角形，∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，∵BC＝AD＝2AB，∴EC＝AE＝BE，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠CAD＝30°，故①正確；∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，∴∠BAC＝90°，∴BO＞AB，∴OD＞AB，故②錯誤；∴S?ABCD＝AB?AC＝AC?CD，故③正確；∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，∴E是BC的中點，∴S△BEO：S△BCD＝1：4，∴S四邊形OECD：S△BCD＝3：4，∴S四邊形OECD：S?ABCD＝3：8，∵S△AOD：S?ABCD＝1：4，∴S四邊形OECD＝S△AOD，故④正確．∵AO＝OC，BE＝EC，∴AB＝2OE，∵AD＝2AB，∴OE＝AD，故⑤正確，故選：D．8．（2023?槐蔭區(qū)模擬）已知一個多邊形的內(nèi)角和比外角和多180°，則它的邊數(shù)為5．【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°與外角和定理列出方程，然后求解即可．【解答】解：設這個多邊形是n邊形，根據(jù)題意得，（n﹣2）?180°＝360°+180°，解得n＝5．故答案為：5．9．（2022?碑林區(qū)校級模擬）一個正多邊形的每個外角為45°，則這個正多邊形的對角線共有20條．【分析】利用多邊形的外角和是360度，正多邊形的每個外角都是45°，求出這個多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)一個多邊形有條對角線，即可算出有多少條對角線．【解答】解：∵正多邊形的每個外角都等于45°，∴360÷45＝8，∴這個正多邊形是正八邊形，∴＝20（條），∴這個正多邊形的對角線共有20條．故答案為：20．10．（2022?鹿城區(qū)校級二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，?ABCD的邊AB在x軸上，頂點D在y軸的正半軸上，點C在第一象限，將△AOD沿y軸翻折，使點A落在x軸上的點E處，BE＝2OB，DE與BC交于點F．若y＝（k≠0）圖象經(jīng)過點C，且S△CDF＝4，則k的值為12．【分析】連接OC，BD，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OA＝OE，得到OE＝3OB，求得OA＝3OB，設OB＝x，則OA＝3x，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)，得到S△BDF＝2，S△CDB＝6，根據(jù)△COD的面積即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，連接OC，BD，∵將△AOD沿y軸翻折，使點A落在x軸上的點E處，∴OA＝OE，∵BE＝2OB，∴OE＝3OB，∴OA＝3OB，設OB＝x，則OA＝3x，AB＝4x，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝4x，∵CD∥AB，∴△CDF∽△BEF，∴＝＝＝，∵S△CDF＝4，∴S△BDF＝2，∴S△BCD＝4+2＝6，∵CD∥AE，∴S△CDO＝S△BDC＝6，即|k|＝6，而k＞0，∴k＝12．故答案為：12．11．（2022秋?綏中縣校級期末）如圖，在?ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分線AF，DE分別與線段BC交于點F，E，AF與DE交于點G．（1）求證：AF⊥DE，BF＝CE．（2）若AD＝10，AB＝6，AF＝8，求DE的長度．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到∠BAD+∠ADC＝180°；然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)推知∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°，即∠AGD＝90°．證得∠BAF＝∠AFB，由等腰三角形的判定可得出AB＝BF，同理可得CD＝CE，則可得出結(jié)論；（2）過點C作CK∥AF交AD于K，交DE于點I，證明四邊形AFCK是平行四邊形，∠AGD＝∠KID＝90°，得出AF＝CK＝8，由勾股定理求出DI，則可得出答案．【解答】（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AB∥DC，∴∠BAD+∠ADC＝180°．∵AE，DF分別是∠BAD，∠ADC的平分線，∴∠DAE＝∠BAE＝∠BAD，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC．∴∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°．∴∠AGD＝90°．∴AE⊥DF．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB＝CD，