類型三 其他探究題-2020年中考數(shù)學(xué)第二輪重難題型突破【有答案】

類型三其他探究題例1、已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．（1）直接寫出線段EG與CG的數(shù)量關(guān)系；（2）將圖1中△BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45o，如圖2所示，取DF中點G，連接EG，CG．你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明．（3）將圖1中△BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（不要求證明）FBAFBACE圖3DFBADCEG圖2FBADCEG圖1【答案】解：（1）CG=EG（2）（1）中結(jié)論沒有發(fā)生變化，即EG=CG．證明：連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點．FBFBADCEGMNN圖2∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG．∴AG=CG．在△DMG與△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，F(xiàn)G=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG．∴MG=NGFBADCEFBADCE圖3③G在Rt△AMG與Rt△ENG中，∵AM=EN，MG=NG，∴△AMG≌△ENG．∴AG=EG．∴EG=CG．（3）（1）中的結(jié)論仍然成立．例2、請閱讀下列材料問題：如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，且PA=2，PB=，PC=1．求∠BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長．李明同學(xué)的思路是：將△BPC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖2）．連接PP′，可得△P′PC是等邊三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證）．所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C=150°．進而求出等邊△ABC的邊長為．問題得到解決．請你參考李明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長．圖2圖3圖1圖2圖3圖1【答案】解：（1）如圖，將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得△BP′A，則△BPC≌△BP′A．∴AP′=PC=1，BP=BP′=．連結(jié)PP′，在Rt△BP′P中，∵BP=BP′=，∠PBP′=90°，∴PP′=2，∠BP′P=45°．在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP=，∵，即AP′2+PP′2=AP2．∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°．∴∠AP′B=135°．∴∠BPC=∠AP′B=135°．（2）過點B作BE⊥AP′交AP′的延長線于點E．∴∠EP′B=45°.∴EP′=BE=1.∴AE=2.∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=．∴∠BPC=135°，正方形邊長為．例3、如圖1，已知∠ABC=90°，△ABE是等邊三角形，點P為射線BC上任意一點（點P與點B不重合），連結(jié)AP，將線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連結(jié)QE并延長交射線BC于點F.（1）如圖2，當(dāng)BP=BA時，∠EBF=°，猜想∠QFC=°；（2）如圖1，當(dāng)點P為射線BC上任意一點時，猜想∠QFC的度數(shù)，并加以證明；圖1ACBEQFP圖1ACBEQFP圖2圖2ABEQPFC【答案】解:（1）30°=60°（2）=60°不妨設(shè)BP＞,如圖1所示∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP∴∠BAP=∠EAQ在△ABP和△AEQ中AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ∴△ABP≌△AEQ（SAS）∴∠AEQ=∠ABP=90°∴∠BEF∴=60°(事實上當(dāng)BP≤時，如圖2情形，不失一般性結(jié)論仍然成立，不分類討論不扣分）(3)在圖1中，過點F作FG⊥BE于點G∵△ABE是等邊三角形∴BE=AB=，由（1）得30°在Rt△BGF中，∴BF=∴EF=2∵△ABP≌△AEQ∴QE=BP=∴QF=QE＋EF過點Q作QH⊥BC，垂足為H在Rt△QHF中，（x＞0）即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是：.例4、如圖，將OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐標系中，動點M、N以每秒１個單位的速度分別從點A、C同時出發(fā)，其中點M沿AO向終點O運動，點N沿CB向終點B運動，當(dāng)兩個動點運動了t秒時，過點N作NP⊥BC，交OB于點P，連接MP．（1）點B的坐標為；用含t的式子表示點P的坐標為；（2）記△OMP的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式（0<t<6）；并求t為何值時，S有最大值？（3）試探究：當(dāng)S有最大值時，在y軸上是否存在點T，使直線MT把△ONC分割成三角形和四邊形兩部分，且三角形的面積是△ONC面積的？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．（備用圖）（備用圖）【答案】解：（1）（6，4）；（）.（2）∵S△OMP=×OM×，∴S=×（6-t）×=+2t．＝（0<t<6）．∴當(dāng)時，S有最大值．（3）存在．由（2）得：當(dāng)S有最大值時，點M、N的坐標分別為：M（3，0），N（3，4），則直線ON的函數(shù)關(guān)系式為：．（備用圖）R2T（備用圖）R2T1T2R1D2D1解方程組得∴直線ON與MT的交點R的坐標為．例5、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點O為AB中點，點P為直線BC上的動點(不與點B、點C重合)，連接OC、OP，將線段OP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段PQ，連接BQ.(1)如圖①，當(dāng)點P在線段BC上時，請直接寫出線段BQ與CP的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖②，當(dāng)點P在CB延長線上時，(1)中結(jié)論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；(3)如圖③，當(dāng)點P在BC延長線上時，若∠BPO＝45°，AC＝eq\r(6)，請直接寫出BQ的長．第3題圖【答案】解：(1)CP＝BQ;【解法提示】如解圖①，連接OQ，第3題解圖①由旋轉(zhuǎn)可知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°，∴△POQ是等邊三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中點，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OC＝OB,∠COP＝∠BOQ，,OP＝OQ))∴△COP≌△BOQ(SAS)，∴CP＝BQ；(2)成立，理由如下：如解圖②，連接OQ，第3題解圖②由旋轉(zhuǎn)知PQ＝OP，∠OPQ＝60°，∴△POQ是等邊三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，∵在Rt△ABC中，O是AB中點，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OC＝OB,∠COP＝∠BOQ，,OP＝OQ))∴△COP≌△BOQ(SAS)，∴CP＝BQ；(3)BQ＝eq\f(\r(6)－\r(2),2).【解法提示】在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝eq\r(6)，∴BC＝AC·tanA＝eq\r(2)，如解圖③，過點O作OH⊥BC于點H，第3題解圖③∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AC，∵O是AB中點，∴CH＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(2),2)，OH＝eq\f(1,2)AC＝eq\f