北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題1.9 三角函數(shù)的應(yīng)用（專項(xiàng)練習(xí)）下冊(cè)

專題1.9三角函數(shù)的應(yīng)用（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，則sinA＝（）A． B． C． D．2．如圖，在中，于點(diǎn)，若，則的值為（）A． B． C． D．3．在中，，，則的值為（）A． B． C． D．24．如圖，已知矩形中，，，沿對(duì)角線折疊使點(diǎn)落在平面內(nèi)的點(diǎn)處，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則到的距離是（）A． B． C． D．5．⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（）A． B． C． D．6．如圖，為上一點(diǎn)，作于，對(duì)于的大小，下列說法正確的是（）A．與點(diǎn)的位置有關(guān) B．與的長度有關(guān) C．與的大小有關(guān) D．與點(diǎn)的位置和的大小都無關(guān)7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做∠A的余切，記作cotA＝.則下列關(guān)系式中不成立的是()A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosAC．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝18．如圖，在正方形中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，AE交BF于點(diǎn)H，交BF于點(diǎn)G，下列結(jié)論，①；②；③；④其中正確的是（）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則sinB的值為（）A． B． C． D．10．在中，，為銳角，且有，則這個(gè)三角形是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．銳角三角形11．在RtΔABC中，若∠C=90°，cosA=，則sinA的值為（）A． B． C． D．12．設(shè)、是的兩個(gè)銳角，則關(guān)于的二次方程的根的情況為（）．A．有兩個(gè)相等的實(shí)根B．沒有實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不等的實(shí)根D．不能確定13．如圖，在菱形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，沿折疊菱形，使點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)G處，且于點(diǎn)M，若（取，），則等于（）A． B． C． D．14．如圖，在正方形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，若，．則下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤點(diǎn)D到CF的距離為．其中正確的結(jié)論是（）

A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤15．如圖，已知直線，之間的距離為，在中，，將繞點(diǎn)在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，若旋轉(zhuǎn)角為60°，交直線于點(diǎn)，則的長度為（）A． B． C． D．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，將繞點(diǎn)О逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊OA上，則的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．二、填空題17．計(jì)算：_____________．18．已知為銳角，且，則______．19．如圖，為軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，、是函數(shù)的圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．若的最小值為10，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．20．如圖，在矩形中，是邊上一點(diǎn)，且，連接．若，則的長為_____________．21．下列結(jié)論中（其中，均為銳角），正確的是___________．（填序號(hào)）①；②；③當(dāng)時(shí)，；④．22．已知：，，，請(qǐng)你根據(jù)上式寫出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律________．23．①sin2A+cos2A=________，②tanA?cotA=________．24．已知：實(shí)常數(shù)同時(shí)滿足下列兩個(gè)等式：⑴；⑵（其中為任意銳角），則之間的關(guān)系式是：___________25．已知部分銳角三角函數(shù)值：，，，，計(jì)算________．（提示：）26．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，則sinB的值為_____．27．已知、是銳角，若，那么、的關(guān)系是______.28．如果是銳角，且，那么_______________度.29．如圖，在正方形紙片ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落在EF上，落點(diǎn)為N，折痕交CD邊于點(diǎn)M，BM與EF交于點(diǎn)P，再展開．則下列結(jié)論中：①CM=DM；②∠ABN=30°；③AB2=3CM2；④△PMN是等邊三角形．正確的有____30．如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，則______．31．已知∠A，∠B為Rt△ABC的兩個(gè)銳角，且sinA，sinB是方程2x2﹣（k+1）x+＝0的兩根，k的值為____．32．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，點(diǎn)M、N分別在AD，BC上，且AM＝CN，點(diǎn)P在CD上（且不與點(diǎn)D，C重合），當(dāng)MP+PN最小時(shí)，tan∠MPN的值是_____．三、解答題33．如圖，在中，于點(diǎn)D．（1）若，求的值；（2）若，求的值．34．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，點(diǎn)E是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與B，C不重合），連AE，（1）若AE平分△ABC的周長，求BE的長；（2）是否存在線段AE將三角形ABC的周長和面積同時(shí)平分，若存在，求出BE的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．35．如圖，在四邊形ABCD中，平分．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若，求的面積．36．如圖，小明在森林公園的一處觀景臺(tái)觀賞垂直而下的瀑布，從D點(diǎn)看到瀑布頂端B的仰角為，看到瀑布底端E的俯角為，若瀑布底有一水潭，D點(diǎn)到水潭平面的距離DA為4m，求瀑布頂端到水潭水平面的距離BE的長．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：參考答案1．C【分析】由同一銳角的正弦與余弦的平方和是1、結(jié)合正弦的定義解題．解：∵sin2A+cos2A＝1，即sin2A+（）2＝1，∴sin2A＝，∴sinA＝或sinA＝﹣（舍去），∴sinA＝，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．2．B【分析】先根據(jù)題目已知條件推出∽，則可得，然后根據(jù)，設(shè)，，利用對(duì)應(yīng)邊成比例表示出的值，進(jìn)而得出的值，解：∵在中，，∴,∵于點(diǎn)，∴，∴，，∴∽，∴，即，，∵，∴設(shè)，，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、相似比、銳角三角函數(shù)的定義、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)垂直證明三角形相似，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求邊長．3．A【分析】根據(jù)，于是設(shè),,由勾股定理得到于是得到結(jié)論．解：∵△ABC中，∠C＝90°，∴，∴設(shè),，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了銳角三角函數(shù)，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．4．A【分析】過點(diǎn)E作EG⊥BD，過點(diǎn)F作FH⊥CD，連接CF，先求出AB∶AD∶BD=3∶4∶5，再利用三角函數(shù)值求出結(jié)果即可．解：過點(diǎn)E作EG⊥BD，過點(diǎn)F作FH⊥CD，連接CF，由折疊得BE=AB=3，∠EBD=∠ABD，在RT△ABD中，BD2=，則AB∶AD∶BD=3∶4∶5，∴cos∠ABD=，sin∠ABD=，∵EF∥CD,∴∠BFE=∠BDC,∵AB∥CD,∴∠BDC=∠ABD,∴∠BFE=∠ABD=∠EBD,∴EF=BE=3，∴點(diǎn)G為BF的中點(diǎn)，BF=2BG，在RT△BGE中，BG=BE·cos∠EBG=3×=，BF=2BG=，∴DF=BD-BF=5-=，在RT△DFH中，DH=DF·cos∠BDC=，F(xiàn)H=DF·sin∠BDC=，HC=DC-DH=3-=，在RT△FCH中，F(xiàn)C=，故選A．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊性質(zhì)、勾股定理及利用三角函數(shù)值求解，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．5．D【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，根據(jù)正切的定義和同角的正切值相同即可得出結(jié)論．解：如下圖所示在Rt中，=，故A不符合題意；在Rt中，=，故B不符合題意；∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90°∴∠A=∠BCD∴=tan∠BCD=，故C不符合題意；≠，故D符合題意．故選D．【點(diǎn)撥】此題考查的是正切，掌握正切的定義和同角的正切值相同是解決此題的關(guān)鍵．6．D【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系可得答案．解：∵，∴的大小與角的大小無關(guān)，與P點(diǎn)的位置都無關(guān).故選D.【點(diǎn)撥】本題主要了考查同角的三角函數(shù)關(guān)系：sin2+cos2=1.7．D【分析】可根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系：平方關(guān)系；正余弦與正切之間的關(guān)系（積的關(guān)系）；正切之間的關(guān)系進(jìn)行解答．解：根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，得A.tanA?cotA==1，關(guān)系式成立；B.sinA=，tanA?cosA==，關(guān)系式成立；C.cosA=，cotA?sinA==，關(guān)系式成立；D.tan2A+cot2A=≠1，關(guān)系式不成立．故選D．【點(diǎn)撥】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系．（1）平方關(guān)系：sin2A+cos2A=1；（2）正余弦與正切之間的關(guān)系（積的關(guān)系）：一個(gè)角的正切值等于這個(gè)角的正弦與余弦的比，即tanA=或sinA=tanA?cosA．（3）正切之間的關(guān)系：tanA?cotA=1．8．D【分析】①根據(jù)正方形的性質(zhì)求證是直角三角形即可得到結(jié)果；②由①求證，利用其對(duì)應(yīng)邊成比例即可得到結(jié)論；③由①求證即可得出結(jié)論；④利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論；解：∵在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，∴，∴，∵CG∥AE，∴，∴，∴，即△CGF為直角三角形，∵CG∥AE，∴△BHE也是直角三角形，∴．故①正確；由①得，∴，∴，故②正確；由①得，∴BH=CG，而不是BH=FG，故③錯(cuò)誤；∵，∴，即，同理可得：，可得，∴，∴④正確；綜上所述，正確的有①②④．故答案選D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義判斷，準(zhǔn)確結(jié)合相似三角形性質(zhì)和全等三角形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

9．A【分析】一個(gè)角的正弦值等于它的余角的余弦值，據(jù)此求解即可．解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，∴cosA，∠A+∠B=90°，∴sinB=cosA=．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查的是互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題，掌握正余弦的這一轉(zhuǎn)換關(guān)系：一個(gè)角的正弦值等于它的余角的余弦值．10．B【分析】利用互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系sinA=cos（90°-A），來得出∠A=90°-∠B．從而得出此三角形是直角三角形．解：∵sinA=cos（90°-A），sinA=cosB，∴∠A=90°-∠B，∴∠A+∠B=90°，故選：B．【點(diǎn)撥】題考查了銳角三角函數(shù)的定義，是基礎(chǔ)知識(shí)，比較簡單．11．B【分析】根據(jù)正弦和余弦的平方和等于1求解．解：∵，∴，故選B．【點(diǎn)撥】本題考查銳角三角函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的平方和等于1的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．A【分析】由為的兩個(gè)銳角，得，再由根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可求得答案.解：根據(jù)題意得，

∵是的兩個(gè)銳角，即，

∴，

∴，

∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．

故選:．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、銳角三角函數(shù)的定義、互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，解題時(shí)要注意兩個(gè)銳角的正切值都大于0，兩角互余時(shí)，其正切值之積為1.13．D【分析】首先連接AC，在Rt△ABO中，求出AO的長度，進(jìn)而求出AC的長度是多少；然后根據(jù)EG⊥BD，AC⊥BD，可得EG∥AC，所以，據(jù)此求出AE的長為多少即可．解：如圖，連接AC，交BD于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC=2AO，∵∠A=60°，∴∠BAO=30°，∴AO=AB?cos30°=，∴AC=，∵沿EF折疊菱形，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)G處，∴EG=AE，∵EG⊥BD，AC⊥BD，∴EG∥AC，∴，又∵EG=AE，∴，解得AE=，∴AE的長為．故選：D．【點(diǎn)撥】（1）此題主要考查了翻折變換問題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．（2）此題還考查了菱形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；④菱形是軸對(duì)稱圖形，它有2條對(duì)稱軸，分別是兩條對(duì)角線所在直線．14．C【分析】由題意易得，①由三角形中位線可進(jìn)行判斷；②由△DOC是等腰直角三角形可進(jìn)行判斷；③根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解；④根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解；⑤過點(diǎn)D作DH⊥CF，交CF的延長線于點(diǎn)H，然后根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解．解：∵四邊形是正方形，∴，，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵，，∴，則，∵OF∥BE，∴△DGF∽△DCE，∴，∴，故①正確；∴點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，∴OG⊥CD，∵∠ODC=45°，∴△DOC是等腰直角三角形，∴，故②正確；∵CE=4，CD=8，∠DCE=90°，∴，故③正確；∵，∴，∴，故④錯(cuò)誤；過點(diǎn)D作DH⊥CF，交CF的延長線于點(diǎn)H，如圖所示：

∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∴CF=DF，∴∠CDE=∠DCF，∴，設(shè)，則，在Rt△DHC中，，解得：，∴，故⑤正確；∴正確的結(jié)論是①②③⑤；故選C．【點(diǎn)撥】本題主要考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)，熟練掌握正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．15．C【分析】由題意可作出如圖所示，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，由題意易得，∠ACE=∠DAC，進(jìn)而可得BE=2，則由勾股定理可得，設(shè)，則，，然后根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解．解：過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，如圖所示：∵，∴∠ACE=∠DAC，∵AE⊥EC，，∴，∵BC=2，∴，∴在Rt△AEC中，，∵旋轉(zhuǎn)角為60°，∴，∴，設(shè)，則，，，∴，∴，解得：，∴；故選C．【點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．16．A【分析】由勾股定理求出OA的長度，利用三角函數(shù)值求出角的度數(shù)，即可求得的坐標(biāo)．解：過點(diǎn)作x軸垂線，垂直為C，A的坐標(biāo)為，即，，則，，則，，，，的坐標(biāo)為(-1，)，故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟知三角函數(shù)對(duì)應(yīng)的邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．17．【分析】先根據(jù)一般角三角函數(shù)的性質(zhì)化簡，然后再計(jì)算即可．解：=故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了一般角的三角函數(shù)值的運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握一般角三角函數(shù)的性質(zhì)的解答本題的關(guān)鍵．18．【分析】根據(jù)，設(shè)出關(guān)于兩邊的代數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)勾股定理求出第三邊長的表達(dá)式即可推出的值．解：∵，，∴，又∵為銳角，∴.故答案為：.【點(diǎn)撥】此題考查了同角三角函數(shù)的知識(shí)，求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過設(shè)參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值．19．【分析】取MN的中點(diǎn)為B，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知：AB最小值，由AB⊥MN時(shí)，AB最小，再通過即可求出AC的長，從而得出A點(diǎn)的坐標(biāo)．解：假設(shè)中點(diǎn)為點(diǎn)，連接，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理可得∵∴（即定點(diǎn)A到直線上動(dòng)點(diǎn)的最短距離為5）∵的圖象與x、y軸交于C、D兩點(diǎn)，

∴C(0，3)，D(4，0)，根據(jù)垂線段最短可得，直線時(shí)，如圖所示在中，由勾股定理得：中，中，∴，∴∵點(diǎn)A在軸的負(fù)半軸∵∴∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為．故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，以及垂線段最短和三角函數(shù)等知識(shí)，得出垂線段AB長是解決問題的關(guān)鍵．20．29【分析】過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，在Rt△ABE中由勾股定理可求得AE的長，在Rt△AEF中，根據(jù)45°余弦的三角函數(shù)定義可求得EF，設(shè)CE＝x，在Rt△EFC、Rt△ABC中，根據(jù)同一個(gè)角的正切相等，可求得CF，在Rt△EFC中利用勾股定理建立方程即可解決．解：過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，在Rt△ABE中，，，由勾股定理得：，在Rt△AEF中，，，，解得：，設(shè)CE＝x，在Rt△ABC中，，在Rt△EFC中，，∴，在Rt△EFC中，，即，解得：x＝29或x＝﹣11.6（舍去）∴的長為29故答案為：29【點(diǎn)撥】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義、矩形的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．21．①③④【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系及銳角三角函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷即可．解：①如圖，在中，∵，，∴，故①正確；②若，則，，∴∴，故②錯(cuò)誤；③當(dāng)時(shí)，，∴越大，對(duì)邊越大，且越接近斜邊，∴越大，∴當(dāng)時(shí)，，故③正確；④∵，，，∴，故④正確．故答案為：①③④．【點(diǎn)撥】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系及銳角三角函數(shù)的增減性，掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．22．【分析】從角度的倍數(shù)關(guān)系方面考慮并總結(jié)寫出結(jié)論．解：根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)：同一個(gè)角正弦與余弦的積等于這個(gè)角的2倍的正弦的一半，規(guī)律為：.故答案為.【點(diǎn)撥】本題考點(diǎn)：同角三角函數(shù)的關(guān)系.23．11【解析】如圖，設(shè)Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為，則sinA=，cosA=，tanA=，cotA=，，∴（1）sin2A+cos2A=；（2）tanA?cotA=.點(diǎn)睛：解答本題的要點(diǎn)是：畫出符合要求的圖形，結(jié)合銳角三角形函數(shù)的定義和勾股定理進(jìn)行推理計(jì)算即可得到答案.24．a(chǎn)2+b2=c2+d2【分析】把兩個(gè)式子移項(xiàng)后，兩邊平方，再相加，利用sin2θ+cos2θ=1，即可找到這四個(gè)數(shù)的關(guān)系．解：由①得asinθ+bcosθ=c，兩邊平方，a2sin2θ+b2cos2θ+2absinθcosθ=c2③，由②得acosθ-bsinθ=-d，兩邊平方，a2cos2θ+b2sin2θ-2absinθcosθ=d2④，③+④得a2（sin2θ+cos2θ）+b2（sin2θ+cos2θ）=c2+d2，∴a2+b2=c2+d2．【點(diǎn)撥】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，sin2θ+bcos2θ=1的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．25．【分析】根據(jù)互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系：即可求解．解：∵，∴．故答案為:．【點(diǎn)撥】本題考查了互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，深刻理解三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．26．【分析】根據(jù)∠A的正切值，設(shè)兩直角邊分別為5k，12k，然后利用勾股定理求出斜邊，則∠B的正弦值即可求出．解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，∴設(shè)AC＝12k，BC＝5k，則AB＝＝13k，∴sinB＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，作出草圖，利用數(shù)形結(jié)合思想更形象直觀，此類題目通常都用到勾股定理．27．互余【分析】在∠α的邊OA上取一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥x軸，根據(jù)正切和余切的定義進(jìn)行計(jì)算求得當(dāng)時(shí)兩個(gè)角的關(guān)系.解：如圖：在∠α的邊OA上取一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥x軸在Rt△OAB中，∴此時(shí)+=90°即當(dāng)一個(gè)角的正切值等于另一個(gè)角的余切值時(shí)，此時(shí)兩個(gè)角的和為90°∴α+β=90°故答案為：互余【點(diǎn)撥】本題考查正切、余切的定義，掌握銳角三家函數(shù)的定義是本題的解題關(guān)鍵.28．55【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系直接解答．解：∵是銳角時(shí)有，∴=55°.【點(diǎn)撥】本題考查了對(duì)同角的三角函數(shù)的關(guān)系的理解．29．②③④【分析】根據(jù)題給條件，證不出①；是由翻折得到的，故，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，可知：，求出，繼而可求出②；在中，，繼而可知，可以證出③；求出，繼而可證出④是等邊三角形．解：如圖示，是由翻折得到的，，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，在中，，，，，故②正確；在中，，，，故③正確；，，是等邊三角形，故④正確；由題給條件，證不出，故①錯(cuò)誤．故答案是：②③④．【點(diǎn)撥】本題考查翻折變換，特殊角的三角函數(shù)值，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．30．【分析】設(shè)，則，，求出，在求出，由三角函數(shù)的定義求解即可.解：如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，∵在中，∴，設(shè)，則，，又∵D是邊的中點(diǎn)，∴，在中，，在中，，在中，．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形，銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，準(zhǔn)確求出BD、DE的長是解題的關(guān)鍵．31．．【分析】先利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，，再根據(jù)三角函數(shù)的意義得到，則，解方程求出，然后利用三角函數(shù)的意義確定的值．解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，，，即，整理得，解得，，，的值為．故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．也考查了互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系．32．．【分析】作點(diǎn)N關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接ME，交CD于點(diǎn)P，過點(diǎn)M作MF⊥BC于F，利用矩形的判定方法證出四邊形ABFM是矩形，再利用矩形的性質(zhì)求出線段和的長，利用三角函數(shù)的比值關(guān)系即可得到∠E＝∠PNE＝30°，利用三角形外角的性質(zhì)可得出∠MPN＝，再根據(jù)三角函數(shù)特殊值求解即可．解：如圖，作點(diǎn)N關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接ME，交CD于點(diǎn)P，此時(shí)MP+PN有最小值，過點(diǎn)M作MF⊥BC于F，∴NC＝CE，PN＝PE，∵∠A＝∠B＝∠MFB＝90°，∴四邊形ABFM是矩形，∴AB＝MF＝2，AM＝BF，∵AM＝CN，∴BF＝AM＝CN＝CE，∴BC＝EF＝，∵∴∠E＝30°，∵PN＝PE，∴∠E＝∠PNE＝30°，∴∠MPN＝60°，∴tan∠MPN＝，故答案為．【點(diǎn)撥】本題主要考查了最短路徑問題，矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)值等知識(shí)點(diǎn)，合理作出輔助線是解題的關(guān)鍵．33．（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠BCD＝∠A，根據(jù)正切的定義解答；（2）根據(jù)相