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文檔簡介

第九章拉普拉斯變換1.Laplace變換的概念

2.Laplace變換的性質

4.Laplace變換的簡單應用

§9.1Laplace變換3..Laplace逆變換一、

Laplace變換的概念

(1)解：所以，求函數例2.解：這個積分當Re(s-k)>0時收斂，而且例3解：若函數f(t)滿足下列條件：Laplace變換的存在定理在半平面Re(s)>C上一定存在，并且F(s)在Re(s)>C內是解析函數。

則f(t)的Laplace變換二、

Laplace變換的性質

1.

線性性質若為常數,則例1.同理可得

3.微分性質(1)象原函數的微分性質推論一般地，有解：由微分性質有：即注意到所以例3.求解微分方程解：對方程兩端取Laplace變換，并利用線性性質及微分性質，有其中，代入初值，即得(2)象函數的微分性質同理可得：解：由象函數的微分性質可知解：

4.積分性質象函數的積分性質：或一般地，有解：由象函數積分性質，有再由積分性質，可得4.

位移性質解：利用位移性質及公式：5.

延遲性質t由延遲性質，有解：由于解：由于所以周期函數的拉普拉斯變換是周期為的周期函數,即可以證明:若當在一個周期上連續(xù)或分段連續(xù)時,則有6.卷積性質

卷積的概念解：根據定義，有卷積具有以下性質2.卷積定理或則有解：所以解：根據位移性質，有拉普拉斯逆變換右端的積分稱為拉氏反演積分.它是一個復變函數的積分,但計算比較麻煩.利用留數定理求拉氏逆變換三、Laplace變換的簡單應用

求解線性常微分方程的步驟：(1)

對微分方程取Laplace變換轉化為代數方程;(2)

解代數方程得到象函數;(3)對象函數取Laplace逆變換，得象原函數，即微分方程的解。對方程兩端取Laplace變換，則

解:利用初始條件，得取Laplace逆變換，得為所求特解。解：代入初始條件，得：取Laplace逆變換，得例3.求解微分方程組：解：求得取Laplace逆變換，得原方程組的解為：解：所以原方程為令因所以，對方程兩邊

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