概率統(tǒng)計(jì)電子教案(4)

§1.6全概率公式與貝葉斯公式一、完備事件組

定義：如果n個(gè)事件滿足下列兩個(gè)條件：

(1)兩兩互不相容；

(2)那么，我們稱這n個(gè)事件構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分(或構(gòu)成一個(gè)完備事件組)。二、全概率公式與貝葉斯公式

定理設(shè)n個(gè)事件構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分，B是一個(gè)事件。

當(dāng)時(shí)，

(1)(全概率公式)

(2)(貝葉斯公式)當(dāng)時(shí)，

證明(i)由于且是n個(gè)兩兩互不相容的事件，即是說，B與中的一個(gè)事件且只有一個(gè)事件同時(shí)發(fā)生)，因此

(ii)由條件概率的定義與全概率公式，立刻得到

例1某商店有100臺(tái)相同型號(hào)的冰箱待售，其中60臺(tái)是甲廠生產(chǎn)的，25臺(tái)是乙廠生產(chǎn)的，15臺(tái)是丙廠生產(chǎn)的。已知這三個(gè)廠生產(chǎn)的冰箱質(zhì)量不同，它們的不合格率依次為0.1，0.4，0.2。一位顧客從這批冰箱中隨機(jī)地取了1臺(tái)。

(1)試求顧客取到不合格冰箱的概率；

(2)顧客開箱測試后發(fā)現(xiàn)冰箱不合格，但這臺(tái)冰箱的廠標(biāo)已經(jīng)脫落，試問這臺(tái)冰箱是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的概率各為多少?

解設(shè)事件分別表示“顧客取到的冰箱是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的”。易見構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分，且

(1)設(shè)事件B表示“顧客取到的冰箱不合格”。按題意，于是，由全概率公式知道

(2)按題意要求的三個(gè)概率分別是

由貝葉斯公式知道

首先來考察一個(gè)例子：由此，顧客還可以得出結(jié)論，這臺(tái)無商標(biāo)的不合格冰箱很可能是乙廠生產(chǎn)的，因?yàn)樵谌齻€(gè)條件概率中

最大。

例4某種儀器由甲、乙、丙三個(gè)部件組裝而成．假定各部件的質(zhì)量互不影響，且優(yōu)質(zhì)品率都是0.8。如果三個(gè)部件全是優(yōu)質(zhì)品，那么組裝后的儀器一定合格；如果有兩個(gè)優(yōu)質(zhì)品，那么儀器合格的概率為0.9；如果僅有一個(gè)優(yōu)質(zhì)品，那么儀器合格的概率為0.5；如果三個(gè)全不是優(yōu)質(zhì)品，那么儀器合格的概率為0.2。(1)試求儀器的不合格率；(2)已知某臺(tái)儀器不合格，試求它的三個(gè)部件中恰有一個(gè)不是優(yōu)質(zhì)品的概率。

解設(shè)事件表示“儀器由個(gè)優(yōu)質(zhì)品組裝而成”，構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分。由二項(xiàng)概率公式知

由此算得

(1)設(shè)事件B表示“儀器不合格”。按題意，有

于是，由全概率公式推得

(2)由貝葉斯公式推得，所求概率為

在上例中，我們不難進(jìn)一步算出

這表明，發(fā)現(xiàn)某臺(tái)儀器不合格時(shí)，它由兩個(gè)非優(yōu)質(zhì)品部件組裝而成的可能性最大。

例5某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品不合格率為0.1%，但是沒有適當(dāng)?shù)膬x器進(jìn)行檢驗(yàn)。有人聲稱發(fā)明了一種儀器可以用來檢驗(yàn)，誤判的概率僅5%，即把合格品判為不合格品的概率為0.05，且把不合格品判為合格品的概率也是0.05。試問被儀器判為不合格的產(chǎn)品實(shí)際上也確是不合格的概率，能否采用該人發(fā)明的儀器?

解設(shè)事件A表示“隨機(jī)地取1件產(chǎn)品為不合格品”，事件B表示“隨機(jī)地取1件產(chǎn)品被儀器判為不合格”。按題意，有

由

所以因此，按貝葉斯公式，被儀器判為不合格的產(chǎn)品實(shí)際上也確是不合格的概率為廠長考慮到產(chǎn)品的成本較高，不敢采用這臺(tái)新發(fā)明的儀器，因?yàn)楸粌x器判為不合格的產(chǎn)品中實(shí)際上有98％的產(chǎn)品是合格的。

例6某公司有行政人員100名，其中40名青年人。公司規(guī)定每天從當(dāng)月還未值班的行政人員中隨機(jī)地選出一人為當(dāng)天的值班人員（當(dāng)月值過班的人員當(dāng)月不在值班）（1）求7月2日選出的值班人員為青年人的概率；（2）若7月2日選出的值班人員不是青年人，求7月1日選出的值班人員為青年人的概率。

解(1)設(shè)事件B表示