復(fù)變函數(shù)與積分變復(fù)習(xí)

44第一章復(fù)數(shù)與復(fù)平面第二章解析函數(shù)第三章復(fù)變函數(shù)的積分第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法第五章留數(shù)理論及其應(yīng)用復(fù)變函數(shù)與積分變換考試范圍：課本第一章到第五章內(nèi)容，其中第一章1.3節(jié)不考，凡是關(guān)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的知識(shí)點(diǎn)均不考。以前題型：一、填空題(每題3分，共21分)二、單選題(每題3分，共18分)三、計(jì)算題(每題7分，共49分)四、證明題(7分)第一章復(fù)數(shù)與復(fù)平面第二章解析函數(shù)第三章復(fù)變函數(shù)的積分第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法第五章留數(shù)理論及其應(yīng)用復(fù)變函數(shù)與積分變換考試題型：填空題6個(gè)，選擇題5個(gè)，計(jì)算題6個(gè)，證明題1個(gè)不考內(nèi)容：第一章第3節(jié)、第四章第5節(jié)中函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)、第五章第1節(jié)中無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)?？荚囌鹿?jié)：第一章到第五章第一節(jié)具體考試復(fù)習(xí)要點(diǎn)見(jiàn)下：1.求一個(gè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)、輻角；2.計(jì)算一復(fù)數(shù)的三次方根，計(jì)算對(duì)數(shù)函數(shù)及其主值，初等函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)；3.判斷一不等式所確定的區(qū)域是否有界、單連通還是多連通；4.求復(fù)變函數(shù)的極限；5.求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，判斷級(jí)數(shù)的斂散性；6.判斷一復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性7.利用參數(shù)方程法、牛頓-萊布尼茲公式、柯西古莎定理、復(fù)合閉路原理、柯西積分公式計(jì)算一復(fù)變函數(shù)的積分；8.驗(yàn)證一個(gè)二元實(shí)變函數(shù)是調(diào)和函數(shù)，并求一共軛調(diào)和函數(shù)，從而構(gòu)成一解析函數(shù)；9.將一個(gè)復(fù)變函數(shù)在某圓環(huán)域內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)；10.計(jì)算一個(gè)復(fù)變函數(shù)在某點(diǎn)處的留數(shù)；11.判斷孤立奇點(diǎn)的類型。一、復(fù)數(shù)的運(yùn)算二、復(fù)數(shù)的幾種表示方法三、平面點(diǎn)集的幾個(gè)概念四、極限計(jì)算的定理五、連續(xù)、求導(dǎo)六、解析函數(shù)七、調(diào)和函數(shù)八、初等函數(shù)九、積分的計(jì)算法十、級(jí)數(shù)一、復(fù)數(shù)的運(yùn)算1.四則運(yùn)算定義

復(fù)數(shù)

的和、差、積和商分別為：2.運(yùn)算規(guī)律復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律。即此外，在復(fù)數(shù)域內(nèi)與實(shí)數(shù)相關(guān)的一切代數(shù)恒等式仍成立（如完全平方公式，平方差公式等）。z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.3.共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)：

向量的長(zhǎng)度為復(fù)數(shù)的?；蚪^對(duì)值，記為或，則復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)：O定義以正實(shí)軸為始邊,以向量為終邊的夾角的弧度數(shù)稱為復(fù)數(shù)

的輻角(Argument)。(1)當(dāng)時(shí)輻角：點(diǎn)的極坐標(biāo)：其中則輻角無(wú)窮多：主值：把滿足條件的輻角

稱為的主值，或稱為的主輻角，記作(2)當(dāng)時(shí)，輻角不確定。逆時(shí)針時(shí)k為正4.輻角(3)計(jì)算輻角主值的公式當(dāng)z落于一,四象限時(shí)，不變。

當(dāng)z落于第二象限時(shí)，加。

當(dāng)z落于第三象限時(shí)，減。

z落于y軸正半軸。

z落于y軸負(fù)半軸。

z落于x軸負(fù)半軸。

二、復(fù)數(shù)的幾種表示方法

1.點(diǎn)的表示2.向量表示法3.三角表示法4.指數(shù)表示法由極坐標(biāo)3.三角表示法可得4.指數(shù)表示法由Euler公式可得注意.

其中為的模，為的輻角，當(dāng)時(shí)為的輻角主值。復(fù)數(shù)的各種表示法可以相互轉(zhuǎn)化,以適應(yīng)不同問(wèn)題的需要。復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)、實(shí)部、虛部、三角形式、指數(shù)形式？1.結(jié)論兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模相乘，兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角相加。2.結(jié)論

兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商，兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差。3.復(fù)數(shù)的乘冪定義設(shè)是已知的復(fù)數(shù)，為正整數(shù)，稱滿足方程的所有的復(fù)數(shù)為的次方根，4.復(fù)數(shù)的方根（開(kāi)方）——乘方的逆運(yùn)算k=0,1,2,3,4,512k=0,1,2,3,4,5點(diǎn)的去心鄰域。三.平面點(diǎn)集的幾個(gè)概念(1)鄰域高數(shù)中的定義：為實(shí)數(shù)且時(shí)，稱為點(diǎn)的鄰域。意義：表示一個(gè)以點(diǎn)為中心，長(zhǎng)度為的開(kāi)區(qū)間。復(fù)變中的定義：為復(fù)數(shù)且時(shí)，稱集合為的鄰域。的去心鄰域。意義：表示復(fù)平面上以z0為中心，任意δ>0為半徑的圓|z-z0|<δ內(nèi)部的點(diǎn)的集合。(2)內(nèi)點(diǎn)、開(kāi)集內(nèi)點(diǎn)

對(duì)任意

，若存在

，使得，則稱為E的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)。開(kāi)集

若點(diǎn)集E內(nèi)的每一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E是開(kāi)集。E內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn)(3)邊界點(diǎn)、邊界邊界

E的所有邊界點(diǎn)組成的集合稱為E的邊界，記作。z邊界點(diǎn)

若點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)，既有屬于E中的點(diǎn)，又有不屬于E的點(diǎn)，則稱是E的邊界點(diǎn)。聚點(diǎn)

平面上點(diǎn)z的任意鄰域內(nèi)有E的無(wú)窮個(gè)點(diǎn)，稱z為E的聚點(diǎn)。閉集

若點(diǎn)集E的每個(gè)聚點(diǎn)都屬于E，則稱E是閉集。閉區(qū)域

區(qū)域D與它的邊界的并集稱為閉區(qū)域,記為。D-區(qū)域(4)區(qū)域連通

若E內(nèi)任兩點(diǎn)可用包含在E內(nèi)的折線連接，稱集E為連通集。區(qū)域滿足下列性質(zhì)的非空點(diǎn)集E稱為區(qū)域：(a)E是一個(gè)開(kāi)集，(b)E是連通的。(5)有界區(qū)域有界區(qū)域若區(qū)域D有界，則稱為有界區(qū)域；否則無(wú)界。有界集若存在M>0,使得對(duì)任意z∈E,均有，則稱E是有界集。OM(6)簡(jiǎn)單曲線、光滑曲線點(diǎn)和分別稱為曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)。令z(t)=x(t)+iy(t),;則這些點(diǎn)的集合稱為復(fù)平面上的一條曲線。上述方程稱為曲線的參數(shù)方程，且曲線方程可記為：z=z(t)，，分段光滑曲線有限條光滑曲線連接而成的連續(xù)曲線。則稱該曲線為光滑曲線。光滑曲線z(a)=z(B)簡(jiǎn)單閉曲線重點(diǎn)

設(shè)連續(xù)曲線：z=z(t)，

，對(duì)于t1∈，t2∈，當(dāng)t1≠t2時(shí)，若z(t1)=z(t2)，稱z(t1)為曲線的重點(diǎn)。簡(jiǎn)單曲線稱沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲線為簡(jiǎn)單曲線或Jardan曲線;簡(jiǎn)單閉曲線若簡(jiǎn)單曲線滿足

，則稱此曲線C是簡(jiǎn)單

閉曲線或Jordan閉曲線。

簡(jiǎn)單曲線不是簡(jiǎn)單閉曲線z(t1)=z(t2)是重點(diǎn)

約當(dāng)定理一條簡(jiǎn)單閉曲線將復(fù)平面唯一地分成兩個(gè)不相交區(qū)域，以曲線為公共邊界。一個(gè)是有界區(qū)域，稱為的內(nèi)部；一個(gè)是無(wú)界區(qū)域，稱為的外部；還有一個(gè)是它們的公共邊界。z(a)=z(b)內(nèi)部外部邊界(7)單連通區(qū)域單連通區(qū)域

設(shè)D為復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域，如果D內(nèi)的任何簡(jiǎn)單閉曲線的內(nèi)部均在D內(nèi)，就稱D為單連通域；否則為多連通區(qū)域或復(fù)連通。例如

|z|<R（R>0）是單連通的；0≤r<|z|≤R是多連通的。單連通域多連通域多連通域單連通域CC四、極限計(jì)算的定理定理一定理二解B-11.函數(shù)的連續(xù)性五、連續(xù)、求導(dǎo)2.導(dǎo)數(shù)的定義:3、求導(dǎo)法則:求導(dǎo)公式與法則:六、解析函數(shù)1.解析函數(shù)的定義2.奇點(diǎn)的定義某點(diǎn)處連續(xù)可導(dǎo)解析某區(qū)域連續(xù)可導(dǎo)解析3.可導(dǎo)和解析的主要定理定理一C-R方程都在復(fù)平面上可微解:且在R上解析，所以必滿足C-R方程即l=-3-34都在復(fù)平面上可微都在復(fù)平面上可微解析解析只在0處P25七、調(diào)和函數(shù)定義定理

任何在區(qū)域

D

內(nèi)解析的函數(shù),它的實(shí)部和虛部都是

D

內(nèi)的調(diào)和函數(shù).1.偏積分法

如果已知一個(gè)調(diào)和函數(shù)u,那末就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù)v,從而構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)u+vi.這種方法稱為偏積分法.2.線積分法由柯西-黎曼方程有而該積分與路徑無(wú)關(guān)，因此可選取簡(jiǎn)單路徑(如折線)進(jìn)行計(jì)算，其中為區(qū)域D中的點(diǎn)。3.不定積分法22x2x偏積分法解法2取=(0,0),路徑為從(0,0)到(x,0)的直線段，再?gòu)?x,0)到(x,y)的直線段。線積分法八、初等函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)2.對(duì)數(shù)函數(shù)BA多值函數(shù)3.乘冪例解及實(shí)部和虛部的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的。4.三角函數(shù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù).在復(fù)平面內(nèi)是無(wú)界函數(shù)BB九、積分的計(jì)算法2.參數(shù)方程法解(1)積分路徑的參數(shù)方程為1.公式法定理3.類似于牛頓-萊布尼茲公式4.柯西－古薩基本定理此定理也稱為柯西積分定理.那末5.復(fù)合閉路定理6.柯西積分公式定理稱為柯西積分公式定理7.高階導(dǎo)數(shù)公式重要公式因?yàn)楸环e函數(shù)在C內(nèi)解析，由柯西古莎定理得0因?yàn)楸环e函數(shù)在C內(nèi)解析，由柯西古莎定理得00（由復(fù)合閉路定理和柯西古莎定理）121212+8.留數(shù)算積分設(shè)為的一個(gè)孤立奇點(diǎn);1).留數(shù)定理在區(qū)域

D內(nèi)除有限個(gè)孤外處處解析,C是D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,那么立奇點(diǎn)函數(shù)2).留數(shù)的計(jì)算方法(1)如果為的可去奇點(diǎn),如果為的一級(jí)極點(diǎn),那么規(guī)則1成洛朗級(jí)數(shù)求(2)如果為的本性奇點(diǎn),(3)如果為的極點(diǎn),則有如下計(jì)算規(guī)則展開(kāi)則需將如果為的m級(jí)極點(diǎn),規(guī)則2那末規(guī)則3

如果設(shè)及在都解析，那末為的一級(jí)極點(diǎn),

且有十、級(jí)數(shù)定理重要結(jié)論:1.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù)稱為條件收斂級(jí)數(shù).如果

收斂,那末稱級(jí)數(shù)

為絕對(duì)收斂.定義如果

發(fā)散,收斂.收斂,收斂，所以條件收斂.B所以絕對(duì)收斂所以發(fā)散所以絕對(duì)收斂定理.比值審斂法(D’alembert判別法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂

;或時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散

.稱為冪級(jí)數(shù).收斂定理(阿貝爾Abel定理)如果級(jí)數(shù)在收斂,級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂在級(jí)數(shù)發(fā)散,那末對(duì)滿足的級(jí)數(shù)發(fā)散.那末對(duì)的滿足2.冪級(jí)數(shù).3.收斂半徑的求法方法1:比值法:那么收斂半徑方法2:根值法那么收斂半徑如果解：1解：1定理四設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為那末(2)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到,是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)

.(1)4.復(fù)變冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)(3)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分,5.泰勒定理其中泰勒級(jí)數(shù)泰勒展開(kāi)式定理設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析,為

內(nèi)的一為到的邊界上各點(diǎn)的最短距離,那