復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章簡(jiǎn)版z

任何一個(gè)人，都必須養(yǎng)成自學(xué)的習(xí)慣，即使是今天在學(xué)校的學(xué)生，也要養(yǎng)成自學(xué)的習(xí)慣，因?yàn)檫t早總要離開(kāi)學(xué)校的！自學(xué)，就是一種獨(dú)立學(xué)習(xí)，獨(dú)立思考的能力。行路，還是要靠行路人自己。

科學(xué)是老老實(shí)實(shí)的學(xué)問(wèn)，不可能靠運(yùn)氣來(lái)創(chuàng)造發(fā)明，對(duì)一個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)不了解，就是碰上機(jī)會(huì)也是枉然。入寶山而空手回，原因在此。

學(xué)習(xí)有兩個(gè)必經(jīng)的過(guò)程：即“由薄到厚”和“由厚到薄”的過(guò)程.----華羅庚第二章解析函數(shù)§2.1復(fù)變函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性§2.2解析函數(shù)的概念§2.3函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件§2.4初等函數(shù)§2.1復(fù)變函數(shù)的概念、極限與連續(xù)1復(fù)變函數(shù)的概念2復(fù)變函數(shù)的極限3復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性定義2.1.1

復(fù)變函數(shù)的概念數(shù),而例如,w=|z|是以復(fù)平面C為定義域的單值函E稱(chēng)為該函數(shù)的定義域.是定義在C\{0}上的多值函數(shù).以后不特別申明時(shí)，所指的復(fù)變函數(shù)都是單值函數(shù).因?yàn)閦=x+iy和w都是復(fù)數(shù),若把w記為u+iv時(shí),

u與v也是z的函數(shù),因此也是x和y的函數(shù).于是,可以寫(xiě)成其中u(x,y)和v(x,y)都是實(shí)變量的二元函數(shù).例如:w=z2是一個(gè)復(fù)變函數(shù).令因?yàn)橛谑呛瘮?shù)w=z2對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)令于是反之,如果于是，復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)、一致連續(xù)等概念就是映射

的相應(yīng)概念.有關(guān)映射的各種性質(zhì)也對(duì)復(fù)變函數(shù)成立.

重要注記：由于，，故一般將理解為以為自變量的函數(shù)，即。以后將看到，這樣做會(huì)帶來(lái)很多方便，并且具有“復(fù)風(fēng)格”.o

x

y

(z)

G

o

uv(w)

G

G*

w=f(z)

在幾何上，

w=f(z)可以看作：

定義域函數(shù)值集合復(fù)變函數(shù)的幾何意義z

w=f(z)

w

以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）.

對(duì)于復(fù)變函數(shù)，它反映的是兩對(duì)變量u，v和x，y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因而無(wú)法用一個(gè)平面或一個(gè)三維空間的圖形來(lái)表示。故在復(fù)變函數(shù)中用兩個(gè)復(fù)平面上點(diǎn)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)表達(dá)兩對(duì)變量u，v

與x，y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以便在研究和理解復(fù)變函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可借助于幾何直觀(guān).復(fù)變函數(shù)的幾何意義是一個(gè)映射（變換）思考題：為什么在復(fù)變函數(shù)中用兩個(gè)平面來(lái)表示其圖形？例1解—關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)的一個(gè)映射且是全同圖形.反函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)w=f(z)的定義域?yàn)閺?fù)平面上的點(diǎn)集D,稱(chēng)復(fù)平面上的點(diǎn)集為函數(shù)w=f(z)的值域.對(duì)于任意的w

G,必有D中一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng).于是,確定了G上一個(gè)單值或多值函數(shù)z=j(w),稱(chēng)之為函數(shù)w=f(z)的反函數(shù).

定義

設(shè)復(fù)變函數(shù)w=f(z)在z0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義,A是復(fù)常數(shù).若對(duì)任意給定的e>0,存在d>0,使得對(duì)一切滿(mǎn)足0<|z-z0|<d的z,都有成立,則稱(chēng)當(dāng)z趨于z0時(shí),f(z)以A為極限，并記做或2.1.2復(fù)變函數(shù)的極限u

v

(w)

oA

x

y

(z)

o

當(dāng)變點(diǎn)z一旦進(jìn)入z0

的充分小去心鄰域時(shí),它的象點(diǎn)f(z)就落入A的一個(gè)預(yù)先給定的ε鄰域中.復(fù)變函數(shù)的幾何意義:即形式和一元相同，本質(zhì)和二元相同.“人面獸心”就是此意.

注2：A是復(fù)數(shù).極限計(jì)算的定理定理2.1注3：若f(z)在處有極限,其極限是唯一的.注1:定義中z

z0的方式是任意的.說(shuō)明定理2.2

若，那么與實(shí)變函數(shù)的極限運(yùn)算法則類(lèi)似.例2

試求方法一由定理1，得方法二由于，由定理2（3）得例3證(一)根據(jù)定理一可知,證(二)思考題：試著收集整理復(fù)極限的計(jì)算方法以及判別復(fù)極限不存在的方法，并用例子說(shuō)明.

定義

設(shè)f(z)在z0的鄰域內(nèi)有定義,且則稱(chēng)f(z)在z0處連續(xù).若f(z)在區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱(chēng)f(z)在區(qū)域D上連續(xù).關(guān)于函數(shù)f(z)在連續(xù)曲線(xiàn)C上的連續(xù)性和閉區(qū)域上的連續(xù)性,只要把上述定義中的z限制在C或上即可.2.1.3函數(shù)的連續(xù)性定理2.3設(shè)則f(x)在處連續(xù)的充分必要條件是都在點(diǎn)連續(xù).注：這個(gè)定理說(shuō)明復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性等價(jià)兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)的連續(xù)性.定理2.4設(shè)都在點(diǎn)連續(xù),則都在

點(diǎn)連續(xù)，而

當(dāng)時(shí)，也在點(diǎn)連續(xù).

定理2.5設(shè)在處連續(xù)，

而在點(diǎn)連續(xù)，則

復(fù)合函數(shù)在

點(diǎn)連續(xù).

應(yīng)用或仿證明實(shí)函數(shù)類(lèi)似結(jié)論的方法可以證明上述兩個(gè)定理.由前面的結(jié)論可知,多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù).有理分式在復(fù)平面內(nèi)除分母為零的點(diǎn)之外,處處連續(xù).都是復(fù)常數(shù).例4

證明f(z)=argz在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù).證明x

y

(z)

ozz

定理2.6設(shè)f(z)在有界閉區(qū)域(或有限長(zhǎng)的連續(xù)曲線(xiàn)C)上連續(xù)，則f(z)在(或C)上有界,即存在M>0,當(dāng)或z

C時(shí)，有為了后面的需要,給出下面一個(gè)關(guān)于函數(shù)有界性的定理.§2.2解析函數(shù)的概念1復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2解析函數(shù)的概念2.2.1復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在定義中應(yīng)注意:例1

解可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

函數(shù)f(z)在z0處可導(dǎo)則在z0處一定連續(xù),但函數(shù)f(z)在z0處連續(xù)不一定在z0處可導(dǎo).例2

解

(1)f(z)=

z的連續(xù)性顯然求導(dǎo)法則由于復(fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義與一元實(shí)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義在形式上完全一致,并且復(fù)變函數(shù)中的極限運(yùn)算法則也和實(shí)變函數(shù)中一樣,因而實(shí)變函數(shù)中的求導(dǎo)法則都可以不加更改地推廣到復(fù)變函數(shù)中來(lái),且證明方法也是相同的.求導(dǎo)公式與法則:定義z0記作：f(z)

A(D)DG2.2.2解析函數(shù)的概念根據(jù)定義可知:函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價(jià)的.但是函數(shù)解析是與區(qū)域密切相伴的,要比可導(dǎo)的要求高得多.即函數(shù)在z0點(diǎn)解析函數(shù)在一點(diǎn)處解析與在一點(diǎn)處可導(dǎo)不等價(jià)函數(shù)在z0點(diǎn)可導(dǎo)函數(shù)閉區(qū)域上解析與在閉區(qū)域上可導(dǎo)不等價(jià)即函數(shù)在閉區(qū)域上解析函數(shù)在閉區(qū)域上可導(dǎo)說(shuō)明注解1、“可微”有時(shí)也可以稱(chēng)為“單演”，而“解析”有時(shí)也稱(chēng)為“單值解析”、“全純”、“正則”等；注解2、解析性與可導(dǎo)性的關(guān)系：在一個(gè)點(diǎn)的可導(dǎo)性為一個(gè)局部概念，而解析性是一個(gè)整體概念；注解：注解3、函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)解析，是指在這個(gè)點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，因此在這個(gè)點(diǎn)可導(dǎo)，反之，在一個(gè)點(diǎn)的可導(dǎo)不能得到在這個(gè)點(diǎn)解析；注解4、閉區(qū)域上的解析函數(shù)是指在包含這個(gè)區(qū)域的一個(gè)更大的區(qū)域上解析；注解：奇點(diǎn)定義例如:以z=0為奇點(diǎn):通常泛指的解析函數(shù)是容許有奇點(diǎn)的:例3解例4解課堂練習(xí)答案處處不可導(dǎo),處處不解析.四則運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則反函數(shù)求導(dǎo)法則利用這些法則，我們可以計(jì)算常數(shù)、多項(xiàng)式以及有理函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其結(jié)果和數(shù)學(xué)分析的結(jié)論基本相同.注解：根據(jù)定理可知:(1)所有多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的.尋求研究解析性的更好的方法任務(wù)！??！用定義討論函數(shù)的解析性絕不是一種好辦法！小結(jié)與思考理解復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分以及解析函數(shù)的概念;掌握連續(xù)、可導(dǎo)、解析之間的關(guān)系以及求導(dǎo)方法.

注意:

復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義與一元實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義在形式上完全一樣,它們的一些求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則也一樣,然而復(fù)變函數(shù)極限存在要求與z趨于零的方式無(wú)關(guān),這表明它在一點(diǎn)可導(dǎo)的條件比實(shí)變函數(shù)嚴(yán)格得多.定義對(duì)于二元實(shí)函數(shù)，方程§2.3函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件稱(chēng)為柯西—黎曼方程（簡(jiǎn)記為C—R方程）.定理2.7(可導(dǎo)的充要條件)定理2.8（函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的充分條件）定理2.9(函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件)定理2.10（函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析的充分條件）例5

判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析:解不滿(mǎn)足柯西－黎曼方程,四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)指數(shù)函數(shù)四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)例6

解例7證小結(jié)與思考在本節(jié)中我們得到了一個(gè)重要結(jié)論—函數(shù)解析的充要條件:掌握并能靈活應(yīng)用柯西—黎曼方程.思考題1、2、§2.4初等函數(shù)2.4.1指數(shù)函數(shù)2.4.2對(duì)數(shù)函數(shù)2.4.3冪函數(shù)2.4.4三角函數(shù)與反三角函數(shù)2.4.5雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)這里的ex是實(shí)指數(shù)函數(shù)2.4.1指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)的定義:定義2.1

對(duì)于任何復(fù)數(shù)z=x+iy,規(guī)定實(shí)的正余弦函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)復(fù)指數(shù)函數(shù)與實(shí)指數(shù)函數(shù)保持一致.(4)加法定理(6)ez是以2i為基本周期的周期函數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖形因?yàn)椋寒?dāng)z沿實(shí)軸趨于+∞時(shí)ez+∞;

當(dāng)z沿實(shí)軸趨于-∞時(shí),ez0.2i是ez的周期2i是ez的基本周期幾點(diǎn)說(shuō)明：例1

解例2

解求出下列復(fù)數(shù)的輻角主值:2.3.2對(duì)數(shù)函數(shù)1.定義說(shuō)明：w=Lnz是指數(shù)函數(shù)ew=z的反函數(shù)Lnz一般不能寫(xiě)成lnz2.計(jì)算公式及多值性說(shuō)明：由于Argz的多值性導(dǎo)致w=Lnz是一個(gè)具有無(wú)窮多值的多值函數(shù)規(guī)定：為對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz的主值特殊地,于是：三種對(duì)數(shù)函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別：對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz的圖形例3

解注意:

在實(shí)變函數(shù)中,負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù),而復(fù)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的拓廣.例4解例5解2.性質(zhì)但是：不再成立，其中n為大于1的正整數(shù).2.3.3冪函數(shù)1.一般冪函數(shù)稱(chēng)為z的一般冪函數(shù)注意:2.冪函數(shù)的解析性它的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的,它的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的,的圖形3.乘冪注意:例6解答案課堂練習(xí)1的任何次冪均為1嗎？2.4.4三角函數(shù)與反三角函數(shù)1.三角正弦與余弦函數(shù)將兩式相加與相減,得現(xiàn)在把余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情況.定義

對(duì)任意的復(fù)數(shù)z,規(guī)定z的

性質(zhì):(2)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù).遵循通常的三角恒等式，如sinz的零點(diǎn)(i.e.sinz=0的根)為z=n

cosz的零點(diǎn)(i.e.cosz=0的根)為z=(n+1/2)

n=0,1,2,···,n,···(5)(注意：這是與實(shí)變函數(shù)完全不同的)(6)sinz,cosz在復(fù)數(shù)域內(nèi)均是無(wú)界函數(shù)2.其他復(fù)變數(shù)三角函數(shù)的定義sinz

的圖形cosz

的圖形tanz

的圖形例7解3.反三角函數(shù)的定義兩端取對(duì)數(shù)得同樣可以定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù),重復(fù)以上步驟,可以得到它們的表達(dá)式:反三角函數(shù)Arctanz的圖形1.雙曲函數(shù)的定義2.4.5雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)2.雙曲函數(shù)的性質(zhì)它們的導(dǎo)數(shù)分別為并有如下公式:它們都是以為周期的周期函數(shù),雙曲函數(shù)sinhz（或shz）3.反雙曲函數(shù)的定義小結(jié)與思考復(fù)變初等函數(shù)是一元實(shí)變初等函數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的自然推廣,它既保持了后者的某些基本性質(zhì),又有一些與后者不同的特性.如:

1.指數(shù)函數(shù)具有周期性2.三角正弦與余弦不再具有有界性3.雙曲正弦與余弦都是周期函數(shù)思考題實(shí)變?nèi)呛瘮?shù)與復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)在性質(zhì)上有哪些異同?本章總結(jié)1、復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)的概念2、函數(shù)可導(dǎo)與解析的判別方法：1）利用定義；

2）利用充（分）要條件3、復(fù)變初等函數(shù)復(fù)變函數(shù)連續(xù)初等解析函數(shù)判別方法可導(dǎo)解析指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)雙曲函數(shù)冪函數(shù)本章內(nèi)容總結(jié)AugustinLouisCauchy

(1789.8.21-1857.5.23)法國(guó)數(shù)學(xué)家,歷史上有數(shù)的大分析學(xué)家.1805年入理工科大