復變函數(shù)的微積分

復變函數(shù)的微積分基本要求：

1.理解解析函數(shù)的定義。

2．掌握C-R條件與解析函數(shù)及調和函數(shù)的關系3.掌握科希定理和科希公式，理解其證明方法及關鍵步驟。內(nèi)容：

復變函數(shù)的導數(shù)，科希一里曼方程，解析函數(shù)，共軛調和函數(shù)，平面標量場及多值函數(shù)；復變函數(shù)的積分，單,復通區(qū)域上的科希定理和科希公式。12導數(shù)一、

導數(shù)的定義：設為單值函數(shù)，即對于B上的每一個z值，有且只有一個w值與之相對應。如果對于B上的某點z,極限

存在，且與

z0的方式無關，則稱 函數(shù)

w=f(z)在z

點可導，此極限定義為函數(shù)

w=f(z)在z點的導數(shù)（或微商），

記為3與實變函數(shù)導數(shù)的區(qū)別：

實變函數(shù)：

x0；復變函數(shù)：

z0

z0方式圖示xyo

z02、z=i

y1、z=

x3、z=

x+i

y?4二、求導公式5

必須指出，復變函數(shù)和實變函數(shù)的導數(shù)定義，雖然形式上一樣，實質上卻有很大的不同．這是因為實變數(shù)Δx只能沿著實軸逼近零、復變數(shù)Δz卻可以沿復數(shù)平面上的任一曲線逼近零．因此，與實變函數(shù)的可導相比，復變函數(shù)可導的要求要嚴格得多．6三、柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）方程證明：1、實軸方向

,

z=x2、虛軸方向

,

z=i

y

xyo

z02、z=i

y1、z=

x73、f(z)可導，

與

z0的方式無關，因此從而：

C-R方程是可導的必要條件?！挛?黎曼（Cauchy-Riemann）方程8例:不滿足C-R條件事實上9可導的充要條件：u(x,y)和v(x,y)的偏導數(shù)存在、連續(xù)，且滿足C-R條件,則復變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

可導。滿足C-R條件?？梢奀-R條件不是復變函數(shù)可導的充分條件沿實軸或虛軸，10極坐標中的C-R方程：極限是與的方式無關的有限值若復變函數(shù)可導，則其實部和虛部通過C-R而聯(lián)系起來11復變函數(shù)求導方法(如果存在）:

一、已知f(z),求導:與實變函數(shù)求導類似。 二、已知

u(x,y)+iv(x,y),求導:12例：13解析函數(shù) 一、解析函數(shù)的

定義：如果單值函數(shù)f(z)在點z0及其鄰域內(nèi)處處可導，則稱f(z)在z0點解析。又若f(z)在區(qū)域B上每一點都解析（可導），則稱f(z)是區(qū)域B上的解析函數(shù)

z0點可導與z0

點解析的區(qū)別:函數(shù)f(z)=|z|2(§1.4例2)在z=0點可導，而在其他點均不可導，故z=0點不解析。

z0z0鄰域14可導與解析的關系z0點解析z0

點可導區(qū)域上可導區(qū)域上解析不一定！15二.解析函數(shù)的性質：若函數(shù)f(z)=u+iv在區(qū)域B上解析，則

1、u(x,y)=C1

與v(x,y)=C2互相正交;將C-R方程兩邊對應相乘,得

u(x,y)=C1

與v(x,y)=C2互相正交;16

2、

2u=0和2v=0,即u

和v

是調和函數(shù);將前式對x求導,后式對y求導,相加,得同理可得

—共軛調和函數(shù)

復變函數(shù)的積分復變函數(shù)的積分

復平面上的路積分定義:復平面分段光滑曲線L上的連續(xù)函數(shù)f(z)，作和17????A??xyo?Bz0znlz1zk-1zk

k18存在且與

k的選取無關,則這個和的極限稱為函數(shù)f(z)沿曲線l從A到B的路積分，記為

即若

分量形式：f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy

參數(shù)形式：曲線l

的參數(shù)方程{x=x(t),y=y(t)},起始點A

和結束點

B

tA,tB1920幾個重要性質1。常數(shù)因子可以移到積分號之外2。函數(shù)和的積分等于各函數(shù)積分的和3。反轉積分路徑，積分值變號214。全路徑上的積分等于各分段上的積分之和即：如果

l=l1+l2+……+ln5。積分不等式1：6。積分不等式2：其中M

是|f(z)|在l上的最大值，L

是l

的全長。22例計算積分解一般言,復變函數(shù)的積分不僅與起點和終點有關,同時還與路徑有關.oxyl1l1l2l211+ii柯西（Cauchy）定理

——研究積分與路徑之間的關系（一）單連通域情形單連通域在其中作任何簡單閉合圍線，圍線內(nèi)的點都是屬于該區(qū)域內(nèi)的點 單連通區(qū)域的Cauchy定理

：如果函數(shù)f(z)在閉單連通區(qū)域中單值且解析，則沿中任何一個分段光滑的閉合曲線c(也可以是的邊界l),函數(shù)的積分為零。2324oxylco證明：由路徑積分的定義：因f(z)在上解析，因而在上連續(xù)，25對實部虛部分別應用格林公式

將回路積分化成面積分又u、v滿足C-R條件故26推廣：若f(z)在單連通域B上解析，在閉單連通域上連續(xù)，則沿上任一分段光滑閉合曲線C(也可以是的邊界)，有

（二）復連通域情形如果區(qū)域內(nèi)存在：（1）奇點；（2）不連續(xù)線段；（3）無定義區(qū)為了把這些奇異部分排除在外，需要作適當?shù)膰纋1、l2、l3

把它們分隔開來，形成帶孔的區(qū)域-復連通區(qū)域。一般言，在區(qū)域內(nèi)，只要有一個簡單的閉合圍線其內(nèi)有不屬于該區(qū)域的點，這樣的區(qū)域便稱為復連通域區(qū)域邊界線的正向當觀察者沿著這個方向前進時，區(qū)域總是在觀察者的左邊。27

xy

l1l2l3l0Bo28復連通區(qū)域的Cauchy定理：如果f(z)是閉復連通區(qū)域中的單值解析函數(shù)，則l為外邊界線，

li為內(nèi)邊界線，積分沿邊界線正向證：作割線連接內(nèi)外邊界線2930即31柯西定理總結：1。若f(z)在單連通域B上解析，在閉單連通域上連續(xù)，則沿上任一分段光滑閉合曲線C(也可以是的邊界)的積分為零；2。閉復連通區(qū)域上的單值解析函數(shù)沿所有內(nèi)外境界線正方向的積分為零；3。閉復連通區(qū)域上的單值解析函數(shù)沿外境界線逆時針方向的積分等于沿所有內(nèi)境界線逆時針方向積分之和；32由Cauchy定理可推出：（與開頭呼應?。┰陂]單連通區(qū)域或復連通區(qū)域中解析的函數(shù)f(z)，其路積分值只依賴于起點和終點，而與積分路徑無關。證明：由圖可知其中表示C2的反方向。由積分的基本性質可得：33ADBC2C134最后可得：只要起點和終點固定不變，當積分路徑連續(xù)變形時（不跳過“孔”）時，函數(shù)的路積分值不變不定積分單連通區(qū)域中解析函數(shù)f(z)的積分值與路經(jīng)無關，令z0固定，終點z

為變點，有單值函數(shù)ABl2l1且：F(z)

是f(z)

的原函數(shù)還有證略36思考被積函數(shù)為解析函數(shù)和非解析函數(shù)的區(qū)別例2：計算積分l

CR（n為整數(shù)）解：n0被積函數(shù)解析n<0,z=為（z-)n奇點，作小圓C,在C上

l

CR結論：(l不包圍

)(l包圍

)40n0n=1討論如下積分的值：柯西積分公式若：f(z)

在閉單通區(qū)域上解析，l是閉區(qū)域的境界線，

是閉區(qū)域內(nèi)的任一點，則有柯西積分公式柯西公式可表示為f(z)在l區(qū)域上有奇點，挖去奇點形成復通區(qū)域，柯西公式l為所有境界線，方向為正向物理意義：一個解析函數(shù)f(z)在區(qū)域B內(nèi)的值由它在該區(qū)域邊界上的值f()所確定z

推論：對于復通區(qū)域，類推有

zll1l244Cauchy積分公式的重要推論（任意次可導！）：

45n>1討論如下積分的求解過程：461、計