二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應

一、典型二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應

下圖所示為穩(wěn)定的二階系統(tǒng)的典型結構圖。開環(huán)傳遞函數(shù)為:閉環(huán)傳遞函數(shù)為:-

這是最常見的一種系統(tǒng)，很多高階系統(tǒng)也可簡化為二階系統(tǒng)。

稱為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，稱為阻尼系數(shù)，稱為無阻尼振蕩圓頻率或自然頻率。第四節(jié)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應特征根為：，注意：當不同時，（極點）有不同的形式，其階躍響應的形式也不同。它的階躍響應有振蕩和非振蕩兩種情況。特征方程為：⒈當時，特征方程有一對共軛的虛根，稱為零(無)阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應為持續(xù)的等幅振蕩。⒉當時，特征方程有一對實部為負的共軛復根，稱為欠阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應為衰減的振蕩過程。⒊當時，特征方程有一對相等的實根，稱為臨界阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應為非振蕩過程。⒋當時，特征方程有一對不等的實根，稱為過阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應為非振蕩過程。當輸入為單位階躍函數(shù)時，，有：[分析]：當時，極點為：

此時輸出將以頻率做等幅振蕩，所以，稱為無阻尼振蕩圓頻率。階躍響應為：當時，極點為：極點的負實部決定了指數(shù)衰減的快慢，虛部是振蕩頻率。稱為阻尼振蕩圓頻率。階躍響應函數(shù)為：當時，極點為：當時，極點為：即特征方程為特征方程還可為因此過阻尼二階系統(tǒng)可以看作兩個時間常數(shù)不同的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，其單位階躍響應為于是閉環(huán)傳函為：這里，式中

上述四種情況分別稱為二階無阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼系統(tǒng)。其阻尼系數(shù)、特征根、極點分布和單位階躍響應如下表所示：單位階躍響應極點位置特征根阻尼系數(shù)單調(diào)上升兩個互異負實根單調(diào)上升一對負實重根

衰減振蕩一對共軛復根(左半平面）

等幅周期振蕩一對共軛虛根

可以看出：隨著的增加，c(t)將從無衰減的周期運動變?yōu)橛兴p的正弦運動，當時c(t)呈現(xiàn)單調(diào)上升運動(無振蕩)?？梢姺从硨嶋H系統(tǒng)的阻尼情況，故稱為阻尼系數(shù)。二、典型二階系統(tǒng)的性能指標及其與系統(tǒng)參數(shù)的關系（一）衰減振蕩瞬態(tài)過程：⒈上升時間：根據(jù)定義，當時，。解得：

稱為阻尼角，這是由于。⒉峰值時間：當時，整理得：由于出現(xiàn)在第一次峰值時間，取n=1，有：其中⒊最大超調(diào)量：故：將峰值時間代入⒋調(diào)節(jié)時間：可見，寫出調(diào)節(jié)時間的表達式是困難的。由右圖可知響應曲線總在一對包絡線之內(nèi)。包絡線為

根據(jù)調(diào)節(jié)時間的定義，當t≥ts時|c(t)-c(∞)|≤c(∞)×Δ%。當t=t’s時，有：由于實際響應曲線的收斂速度比包絡線的收斂速度要快因此可用包絡線代替實際響應來估算調(diào)節(jié)時間。即認為響應曲線的包絡線進入誤差帶時，調(diào)整過程結束。當較小時，近似?。海宜寓嫡袷幋螖?shù)N：由分析知，在之間，調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量都較小。工程上常取作為設計依據(jù)，稱為最佳阻尼常數(shù)。這是一個單調(diào)上升的過程。用調(diào)整時間就可以描述瞬態(tài)過程的性能。利用牛頓迭代公式（二）非振蕩瞬態(tài)過程：⒈對于，極點為：牛頓迭代公式：對其根可迭代求出在c(t)中，有兩個衰減指數(shù)項，所以是一個單調(diào)上升的過程。用調(diào)整時間就可以描述瞬態(tài)過程的性能。⒉對于，極點為：當時利用牛頓迭代公式可得當時，，這時可用一階系統(tǒng)來近似當時，系統(tǒng)也具有單調(diào)非振蕩的瞬間過程，是單調(diào)非振蕩的臨界狀態(tài)。在非振蕩過程中，它的最小。通常，都希望控制系統(tǒng)有較快的響應時間，即希望希統(tǒng)的阻尼系數(shù)在0~1之間。而不希望處于過阻尼情況，因為調(diào)節(jié)時間過長。但對于一些特殊的系統(tǒng)不希望出現(xiàn)超調(diào)系統(tǒng)（如液位控制）和大慣性系統(tǒng)（如加熱裝置），則可以處于情況。當時，極點遠離虛軸，且c(t)中包含極點s2的衰減項的系數(shù)小，所以由極點s2引起的指數(shù)項衰減的很快，因此，在瞬態(tài)過程中可以忽略s2的影響，把二階系統(tǒng)近似為一階系統(tǒng)。阻尼系數(shù)是二階系統(tǒng)的一個重要參數(shù)，用它可以間接地判斷一個二階系統(tǒng)的瞬態(tài)品質。在的情況下瞬態(tài)特性為單調(diào)變化曲線，無超調(diào)和振蕩，但長。當時，輸出量作等幅振蕩或發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。[總結]在欠阻尼情況下工作時，若過小，則超調(diào)量大，振蕩次數(shù)多，調(diào)節(jié)時間長，瞬態(tài)控制品質差。注意到只與有關，所以一般根據(jù)來選擇。

越大，（當一定時）為了限制超調(diào)量，并使較小，一般取0.4~0.8，則超調(diào)量在25%~1.5%之間。阻尼系數(shù)、阻尼角與最大超調(diào)量的關系zb=cos-1zd%zb=cos-1zd%0.184.26°72.90.6950.278.46°52.70.745.57°4.60.372.54°37.230.70745°4.30.466.42°25.380.7820.560°16.30.836.87°1.50.653.13°9.840.925.84°0.15[例]：求系統(tǒng)的特征參數(shù)并分析與性能指標的關系：[解]：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

時，。快速性好，振蕩加??；

時，下面分析瞬態(tài)性能指標和系統(tǒng)參數(shù)之間的關系：（假設）三、改善二階系統(tǒng)響應特性的措施二階系統(tǒng)超調(diào)產(chǎn)生過程[0,t1]誤差信號為正，產(chǎn)生正向修正作用，以使誤差減小，但因系統(tǒng)阻尼系數(shù)小，正向速度大，造成響應出現(xiàn)正向超調(diào)。[t1,t2]誤差信號為負，產(chǎn)生反向修正作用，但開始反向修正作用不夠大，經(jīng)過一段時間才使正向速度為零，此時輸出達到最大值。[t2,t3]誤差信號為負，此時反向修正作用，大，使輸出返回過程中又穿過穩(wěn)態(tài)值，出現(xiàn)反向超調(diào)。[t3,t4]誤差信號為正，產(chǎn)生正向修正作用，但開始正向修正作用不夠大，經(jīng)過一段時間才使反向速度為零，此時輸出達到反向最大值。二階系統(tǒng)超調(diào)產(chǎn)生原因[0,t1]正向修正作用太大，特別在靠近t1

點時。[t1,t2]反向修正作用不足。減小二階系統(tǒng)超調(diào)的思路[0,t1]減小正向修正作用。附加與原誤差信號相反的信號。[t1,t2]加大反向修正作用。附加與原誤差信號同向的信號。[t2,t3]減小反向修正作用。附加與原誤差信號相反的信號。[t3,t4]加大正向修正作用。附加與原誤差信號同向的信號。即在[0,t2]內(nèi)附加一個負信號，在[t2,t4]內(nèi)附加一個正信號。減去輸出的微分或加上誤差的微分都具有這種效果。a.輸出量的速度反饋控制--+-b.誤差的比例+微分控制將輸出量的速度信號c’(t)采用負反饋形式反饋到輸入端并與誤差信號e(t)比較，構成一個內(nèi)反饋回路。簡稱速度反饋。以誤差信號e(t)與誤差信號的微分信號e’(t)的和產(chǎn)生控制作用。簡稱PI控制。又稱微分順饋為了改善系統(tǒng)性能而改變系統(tǒng)的結構、參數(shù)或附加具有一定功能的環(huán)節(jié)的方法稱為對系統(tǒng)進行校正。附加環(huán)節(jié)稱為校正環(huán)節(jié)。速度反饋和速度順饋是較常用的校正方法。a.輸出量的速度反饋控制---與典型二階系統(tǒng)的標準形式比較⒈不改變無阻尼振蕩頻率⒉等效阻尼系數(shù)為由于，即等效阻尼系數(shù)加大，將使超調(diào)量δ%和調(diào)節(jié)時間ts變小。+-b.誤差的比例+微分控制-與典型二階系統(tǒng)的標準形式比較⒈不改變無阻尼振蕩頻率⒉等效阻尼系數(shù)為

由于，即等效阻尼系數(shù)加大，將使超調(diào)量δ%和調(diào)節(jié)時間ts變小。⒊閉環(huán)傳遞函數(shù)有零點，將會給系統(tǒng)帶來影響。c.比例+微分控制與速度反饋控制的關系--比例+微分控制相當于分別對輸入信號和反饋信號進行比例+微分。其中對反饋信號進行比例+微分相當于速度反饋。所以誤差的比例+微分控制相當于輸出的速度反饋構成的閉環(huán)系統(tǒng)再串聯(lián)比例+微分環(huán)節(jié)。因此可以將其分別討論。-零極點分布圖四、具有零點的二階系統(tǒng)分析具有零點的二階系統(tǒng)比典型的二階系統(tǒng)多一個零點，(和不變)。其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：，零點為：具有零點的二階系統(tǒng)的單位階躍響應為：由上圖可看出：使得比響應迅速且有較大超調(diào)量。設為零點和極點實部之比具有零點的二階系統(tǒng)階躍響應為：式中：，零極點分布圖根據(jù)上式可以得出主要性能指標如下：式中：，，具有零點的二階系統(tǒng)階躍響應為：+-比例+微分控制的性能

顯然，這是一個典型二階環(huán)節(jié)加微分順饋。不同的是其原二階環(huán)節(jié)的阻尼系數(shù)增加了，變?yōu)?，而無阻尼振蕩頻率不變。我們知道，當阻尼系數(shù)不變時，附加零點會使系統(tǒng)的超調(diào)量增大。但是，增加了順饋環(huán)節(jié)雖然增加了一個零點，卻使系統(tǒng)的阻尼系數(shù)增加了。一般來講，超調(diào)量會下降。這樣，就能改善系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。我們可以不證明地給出c(t)的緊湊形式：20根據(jù)上式可以得出主要性能指標如下：①②③[解]：①③當T不變時，T=0.25，②[例3-1]：如圖所示系統(tǒng)，試求：①和;②和③若要求時，當T不變時K=?[解]：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：[例3-2]：上例中，用速度反饋改善系統(tǒng)的性能。如下圖所示。為使，求的值。并計算加入速度反饋后的瞬態(tài)指標。--16這時的瞬態(tài)性能指標為：顯然，加入了速度反饋后，不變，而增加了倍。上例中，若要求，則：[解]：[例3-3]對典型的二階系統(tǒng)（）采用微分順饋校正。為使，試確定順饋系數(shù)和