現(xiàn)代控制理論-線性定常系統(tǒng)的綜合

線性定常系統(tǒng)的綜合1.引言2.狀態(tài)反饋和輸出反饋3.狀態(tài)反饋系統(tǒng)的能控性和能觀測性4.極點配置5.鎮(zhèn)定問題6.狀態(tài)重構(gòu)和狀態(tài)觀測器7.降階觀測器8.帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)9.MATLAB的應用本章內(nèi)容為:5.1引言線性定常系統(tǒng)綜合：給定被控對象，通過設(shè)計控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，使系統(tǒng)滿足性能指標要求。5.2狀態(tài)反饋和輸出反饋5.2.1狀態(tài)反饋線性定常系統(tǒng)方程為：（1）假定有n

個傳感器，使全部狀態(tài)變量均可以用于反饋。（2）其中，K

為反饋增益矩陣；V

為r維輸入向量。則有（3）5.2.2輸出反饋采用（4）H為常數(shù)矩陣（5）兩者比較：狀態(tài)反饋效果較好；輸出反饋實現(xiàn)較方便。5.3狀態(tài)反饋的能控性和能觀測性線性定常系統(tǒng)方程為（6）引入狀態(tài)反饋（7）則有（8）定理5-1

線性定常系統(tǒng)（6）引入狀態(tài)反饋后，成為系統(tǒng)（8），不改變系統(tǒng)的能控性。對任意的K

矩陣，均有證明因為滿秩，所以對任意常值矩陣K和

，均有（9）（9）式說明，引入狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。但是，狀態(tài)反饋可以改變系統(tǒng)的能觀測性，見例5-1。5.4極點配置定理線性定常系統(tǒng)可以通過狀態(tài)反饋進行極點配置的充分必要條件是：系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。狀態(tài)反饋（11）線性定常系統(tǒng)（10）狀態(tài)反饋系統(tǒng)方程（12）因為A和b

一定，確定K

的就可以配置系統(tǒng)的極點。經(jīng)過線性變換，可以使系統(tǒng)具有能控標準形。（13）系統(tǒng)傳遞函數(shù)：（14）（15）引入狀態(tài)反饋令（16）其中為待定常數(shù)狀態(tài)反饋系統(tǒng)特征多項式為（17）設(shè)狀態(tài)反饋系統(tǒng)希望的極點為其特征多項式為（18）比較（17）式和（18）式，選擇使同次冪系數(shù)相同。有（19）而狀態(tài)反饋矩陣例5-1

某位置控制系統(tǒng)（伺服系統(tǒng)）簡化線路如下為了實現(xiàn)全狀態(tài)反饋，電動機軸上安裝了測速發(fā)電機TG，通過霍爾電流傳感器測得電樞電流，即。已知折算到電動機軸上的粘性摩擦系數(shù)、轉(zhuǎn)動慣量；電動機電樞回路電阻；電樞回路電感；電動勢系數(shù)為、電動機轉(zhuǎn)矩系數(shù)為。選擇、、作為狀態(tài)變量。將系統(tǒng)極點配置到和，求K陣。解

1.建立系統(tǒng)狀態(tài)空間模型

為恒定的負載轉(zhuǎn)矩將主反饋斷開，系統(tǒng)不可變部分，代入?yún)?shù)后，系統(tǒng)方程為2.計算狀態(tài)反饋矩陣所以系統(tǒng)能控計算出狀態(tài)反饋矩陣狀態(tài)反饋系統(tǒng)的狀態(tài)圖如圖（c）所示（沒有畫出）。經(jīng)過結(jié)構(gòu)變換成（d）圖所示的狀態(tài)圖因為位置主反饋，其他參數(shù)的選擇應該滿足：驗證：求圖（d）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，其極點確實為希望配置的極點位置。5.5鎮(zhèn)定問題鎮(zhèn)定問題——非漸近穩(wěn)定系統(tǒng)通過引入狀態(tài)反饋，實現(xiàn)漸近穩(wěn)定（23）定理5-2SISO線性定常系統(tǒng)方程為顯然，能控系統(tǒng)可以通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)鎮(zhèn)定。如果系統(tǒng)不能控，引入狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的充要條件為：不能控的狀態(tài)分量是漸近穩(wěn)定的。那么，如果系統(tǒng)不能控，還能不能鎮(zhèn)定呢？請見定理5-2。當系統(tǒng)滿足可鎮(zhèn)定的條件時，狀態(tài)反饋陣的計算步驟為1）將系統(tǒng)按能控性進行結(jié)構(gòu)分解，確定變換矩陣2）確定，化為約當形式3）利用狀態(tài)反饋配置的特征值，計算4）所求鎮(zhèn)定系統(tǒng)的反饋陣例5-2

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試用狀態(tài)反饋來鎮(zhèn)定系統(tǒng)。解矩陣A為對角陣，顯然系統(tǒng)不能控。不能控的子系統(tǒng)特征值為-5，因此，系統(tǒng)可以鎮(zhèn)定。能控子系統(tǒng)方程為引入狀態(tài)反饋其中為了保證系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，設(shè)希望極點為同次冪系數(shù)相等，得5.6狀態(tài)重構(gòu)和狀態(tài)觀測器問題的提出：狀態(tài)反饋可以改善系統(tǒng)性能，但有時不便于檢測。如何解決這個問題？答案是：重構(gòu)一個系統(tǒng)，用這個系統(tǒng)的狀態(tài)來實現(xiàn)狀態(tài)反饋。（24）系統(tǒng)方程為（25）重構(gòu)一個系統(tǒng)，該系統(tǒng)的各參數(shù)與原系統(tǒng)相同（24）式減去（25）式（26）當兩個系統(tǒng)的初始狀態(tài)完全一致，參數(shù)也完全一致，則。但是實際系統(tǒng)總會有一些差別，因此實際上。（27）當時，也不為零，可以引入信號來校正系統(tǒng)（25），它就成為了狀態(tài)觀測器。其中，為矩陣（24）式減去（27）式（28）由（28）式可知，如果適當選擇G矩陣，使(A-GC)的所有特征值具有負實部，則式（27）系統(tǒng)就是式（24）系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器，就是重構(gòu)的狀態(tài)。定理5-3

系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器存在的充分必要條件是：系統(tǒng)能觀測，或者系統(tǒng)雖然不能觀測，但是其不能觀測的子系統(tǒng)的特征值具有負實部。定理5-4線性定常系統(tǒng)的觀測器（30）可任意配置極點的充分必要條件是系統(tǒng)能觀測并且能控。例5-3系統(tǒng)方程為要求設(shè)計系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器，其特征值為－3、－4、－5。解首先判斷系統(tǒng)的能觀測性系統(tǒng)能觀測，可設(shè)計觀測器。設(shè)：其中，待定希望特征值對應的特征多項式而狀態(tài)觀測器的特征多項式同次冪系數(shù)分別相等，可以得出幾點說明：1）希望的特征值一定要具有負實部，且要比原系統(tǒng)的特征值更負。這樣重構(gòu)的狀態(tài)才可以盡快地趨近原系統(tǒng)狀態(tài)。2）狀態(tài)觀測器的特征值與原系統(tǒng)的特征值相比，又不能太負，否則，抗干擾能力降低。3）選擇觀測器特征值時，應該考慮到不至于因為參數(shù)變化而會有較大的變化，從而可能使系統(tǒng)不穩(wěn)定。5.7降階觀測器1.降階觀測器的維數(shù)定理

5-5若系統(tǒng)能觀測，且rankC=m，則系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的最小維數(shù)是(n-m)。（證明略）因為有m

維可以通過觀測y

得到，因此有(n-m)維需要觀測。對系統(tǒng)方程采用變換矩陣進行線性變換，（31）得到如下形式的系統(tǒng)方程可見可以通過觀測到，需要對維的進行估計。因此，降階觀測器的維數(shù)為(n-m)2.降階觀測器存在的條件及其構(gòu)成將（31）式改寫成（32）（33）（34）令于是有(n-m)階的子系統(tǒng)：（35）以下構(gòu)造這個子系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器（36）因為子系統(tǒng)能觀測，所以，通過選擇的參數(shù)，可以配置的特征值。為了在觀測器中不出現(xiàn)微分項，引入以下變換，（37）即（37）式代入（36），得由于故（38）因此，是的估計。（39）狀態(tài)圖中5.8帶有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)SISO線性定常系統(tǒng)（40）全階狀態(tài)觀測器（41）狀態(tài)反饋（42）還有寫成矩陣形式（43）作線性變換（44）其中為誤差估計對（43）式進行線性變換，得到如下方程（45）（46）由上式可見，的特征值與的特征值可以分別配置，互不影響。這種的特征值和特征值可以分別配置，互不影響的方法，稱為分離定理。需要注意：的特征值應該比的特征值更負，一般為四倍左右，才能夠保證盡快跟上，正常地實現(xiàn)狀態(tài)反饋。這時傳遞函數(shù)為5.9MATLAB的應用5.9.1極點配置

線性系統(tǒng)是狀態(tài)能控時，可以通過狀態(tài)反饋來任意配置系統(tǒng)的極點。把極點配置到S左半平面所希望的位置上，則可以獲得滿意的控制特性。狀態(tài)反饋的系統(tǒng)方程為

在MATLAB中，用函數(shù)命令place()可以方便地求出狀態(tài)反饋矩陣K；該命令的調(diào)用格式為：K=place(A,b,P)。P為一個行向量，其各分量為所希望配置的各極點。即：該命令計算出狀態(tài)反饋陣K，使得（A-bK）的特征值為向量P的各個分量。使用函數(shù)命令acker()也可以計算出狀態(tài)矩陣K，其作用和調(diào)用格式與place()相同，只是算法有些差異。例5-4線性控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中要求確定狀態(tài)反饋矩陣，使狀態(tài)反饋系統(tǒng)極點配置為解首先判斷系統(tǒng)的能控性，輸入以下語句語句執(zhí)行結(jié)果為

這說明系統(tǒng)能控性矩陣滿秩，系統(tǒng)能控，可以應用狀態(tài)反饋，任意配置極點。

輸入以下語句語句執(zhí)行結(jié)果為計算結(jié)果表明，狀態(tài)反饋陣為注：如果將輸入語句中的K=place(A,B,P)改為K=acker(A,B,P)，可以得到同樣的結(jié)果。5.9.2狀態(tài)觀測器設(shè)計

在MATLAB中，可以使用函數(shù)命令acker()計算出狀態(tài)觀測器矩陣。調(diào)用格式，其中AT

和CT

分別是A和B

矩陣的轉(zhuǎn)置。P為一個行向量，其各分量為所希望的狀態(tài)觀測器的各極點。GT為所求的狀態(tài)觀測器矩陣G的轉(zhuǎn)置。例5-5線性控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中要求設(shè)計系統(tǒng)狀態(tài)觀測器，其特征值為:－3,－4,－5。解首先判斷系統(tǒng)的能觀測性，輸入以下語句語句運行結(jié)果為說明系統(tǒng)能觀測，可以設(shè)計狀態(tài)觀測器輸入以下語句語句運行結(jié)果為計算結(jié)果表明，狀態(tài)觀測器矩陣為狀態(tài)觀測器的方程為5.9.3單級倒立擺系統(tǒng)的極點配置與狀態(tài)觀測器設(shè)計1.狀態(tài)反饋系統(tǒng)的極點配置及其MATLAB/Simulink仿真例1-2中給出的單級倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

首先，使用MATLAB，判斷系統(tǒng)的能控性矩陣是否為滿秩。輸入以下程序計算結(jié)果為

根據(jù)判別系統(tǒng)能控性的定理，該系統(tǒng)的能控性矩陣滿秩，所以該系統(tǒng)是能控的。因為系統(tǒng)是能控的，所以，可以通過狀態(tài)反饋來任意配置極點。不失一般性，不妨將極點配置在在MATLAB中輸入命令得到計算結(jié)果為因此，求出狀態(tài)反饋矩陣為

采用MATLAB/Simulink構(gòu)造單級倒立擺狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的仿真模型，如下圖所示。

首先，在MATLAB的CommandWindow中輸入各個矩陣的值，并且在模型中的積分器中設(shè)置非零初值。然后運行仿真程序。得到的仿真曲線如右圖所示從仿真結(jié)果可以看出，可以將倒立擺的桿子與豎直方向的偏角控制在（即小球和桿子被控制保持在豎直倒立狀態(tài)）。2.狀態(tài)觀測器實現(xiàn)狀態(tài)反饋極點配置及其仿真首先，使用MATLAB，判斷系統(tǒng)的能觀性矩陣是否為滿秩。輸入以下程序計算結(jié)果為

因為該系統(tǒng)的能觀測性矩陣滿秩，所以該系統(tǒng)是能觀測的。因為系統(tǒng)是能觀測的，所以，可以設(shè)計狀態(tài)觀測器。而系統(tǒng)又是能控的，因此可以通過狀態(tài)觀測器實現(xiàn)狀態(tài)反饋。

設(shè)計狀態(tài)觀測器矩陣，使的特征值的實部均為負，且其絕對值要大于狀態(tài)反饋所配置極點的絕對值。通過仿真發(fā)現(xiàn)，這樣才能保證狀態(tài)觀測器有足夠快的收斂速度，才能夠保證使用狀態(tài)觀測器所觀