1987年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及詳細(xì)解析

一試題(10月11日上午8∶00——9∶30)一．選擇題(每個(gè)小題選對(duì)得5分，不選得1分；選錯(cuò)或選出的代號(hào)超過一個(gè)者得0分．本題滿分20分)：1．對(duì)任意給定的自然數(shù)n，若n6+3a為正整數(shù)的立方，其中a為正整數(shù)，則()A．這樣的a有無窮多個(gè)B．這樣的a存在，但只有有限個(gè)C．這樣的a不存在D．以上A、B、C的結(jié)論都不正確(上海供題)2．邊長(zhǎng)為5的菱形，它的一條對(duì)角線的長(zhǎng)不大于6，另一條不小于6，則這個(gè)菱形兩條對(duì)角線長(zhǎng)度之和的最大值是()A．10eq\r(2)B．14C．5eq\r(6)D．12(天津供題)3．在平面直角坐標(biāo)系中縱橫坐標(biāo)均為有理數(shù)的點(diǎn)稱為有理點(diǎn)，若a為無理數(shù)，則過(a，0)的所有直線中()A．有無窮多條直線，其中每條直線上至少存在兩個(gè)有理點(diǎn)B．恰有n(2≤n<+∞)條直線，其中每條直線上至少存在兩個(gè)有理點(diǎn)C．有且僅有一條直線至少通過兩個(gè)有理點(diǎn)D．每條直線至多通過一個(gè)有理點(diǎn)(河南供題)2．已知集合A={(x，y)||x|+|y|=α，α>0}B={(x，y)||xy|+1=|x|+|y|}若A∩B是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，則α的值為．(青海供題)3．若k是大于1的整數(shù)，α是x2－kx+1=0的一個(gè)根，對(duì)于大于10的任意自然數(shù)n，αeq\o(\s\up6(2n))+αeq\o(\s\up6(－2n))的個(gè)位數(shù)字總是7，則k的個(gè)位數(shù)字是．(河北供題)4．現(xiàn)有邊長(zhǎng)為3，4，5的三角形兩個(gè)，邊長(zhǎng)為4，5，eq\r(41)的三角形四個(gè)，邊長(zhǎng)為eq\f(5,6)eq\r(2)，4，5的三角形六個(gè)，用上述三角形為面，可以拼成個(gè)四面體．(江西供題)5．五對(duì)孿生兄妹參加k個(gè)組活動(dòng)，若規(guī)定：⑴孿生兄妹不在同一組；⑵非孿生關(guān)系的任意兩個(gè)人都恰好共同參加過一個(gè)組的活動(dòng)，⑶有一人只參加兩個(gè)組的活動(dòng)，則k的最小值為．(命題組供題)

1987年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試題一．如圖，△ABC和△ADE是兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，現(xiàn)固定△ABC，而將△ADE繞A點(diǎn)在平面上旋轉(zhuǎn)，試證：不論△ADE旋轉(zhuǎn)到什么位置，線段EC上必存在點(diǎn)M，使△BMD為等腰直角三角形．二．在坐標(biāo)平面上，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．試證：存在一個(gè)同心圓的集合，使得⑴每個(gè)整點(diǎn)都在此集合的某個(gè)圓周上；⑵此集合的每個(gè)圓周上，有且只有一個(gè)整點(diǎn)．(辛澤爾定理)三．n(n>3)名乒乓球選手單打若干場(chǎng)后，任意兩個(gè)選手已賽過的對(duì)手恰好都不完全相同，試證明：總可以從中去掉一名選手，而使在余下的選手中，任意兩個(gè)選手已賽過的對(duì)手仍然都不完全相同．

1987年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答一試題一．選擇題(每個(gè)小題選對(duì)得5分，不選得1分；選錯(cuò)或選出的代號(hào)超過一個(gè)者得0分．本題滿分20分)：2．邊長(zhǎng)為5的菱形，它的一條對(duì)角線的長(zhǎng)不大于6，另一條不小于6，則這個(gè)菱形兩條對(duì)角線長(zhǎng)度之和的最大值是()【解析】若直線斜率為k，則當(dāng)k=0時(shí)直線經(jīng)過x軸上所有有理點(diǎn)．當(dāng)k≠0時(shí)，直線方程為y=k(x－a)．若k為有理數(shù)，則當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，y為無理數(shù)；若k為無理數(shù)，若此時(shí)直線經(jīng)過一個(gè)有理點(diǎn)A(x1，y1)，對(duì)于直線上與A不重合的點(diǎn)B(x2，y2)．由y1=k(x1－a)，y2=k(x2－a)，由于a為無理數(shù)，故y1≠0，x2－a≠0，eq\f(y2,y1)=eq\f(x2－a,x1－a)=m，當(dāng)y2為有理數(shù)時(shí)，m為有理數(shù)，當(dāng)y2≠y1時(shí)，m≠1，此時(shí)x2=mx1+(1－m)a為無理數(shù)．即此直線上至多有一個(gè)有理點(diǎn)．選C．4．如圖，△ABC的頂點(diǎn)B在單位圓的圓心上，A、C在圓周上，∠ABC=2α(0<α<eq\f(π,3))現(xiàn)將△ABC在圓內(nèi)按逆時(shí)針方向依次作旋轉(zhuǎn)，具體方法如下：第一次，以A為中心使B落到圓周上；第二次，以B為中心，使C落到圓周上；第三次，以C為中心，使A落到圓周上．如此旋轉(zhuǎn)直到100次．那么A點(diǎn)所走過的路程的總長(zhǎng)度為()A．22π(1+sinα)－66αB．eq\f(67,3)πC．22π+eq\f(68,3)πsinα－66αD．33π－66α(北京供題)【答案】A【解析】點(diǎn)A每k(k≡1(mod3))不動(dòng)，第k(k≡2(mod3))次走過路程eq\f(2,3)π－2α，第k(k≡0(mod3))走過路程eq\f(π,3)(2sinα)，于是所求路程=33(eq\f(2,3)π－2α+eq\f(2,3)πsinα)．選A．二．填空題(每小題填寫結(jié)果完全正確者得8分，填寫錯(cuò)誤或多填、少填者均得0分，本題滿分40分)：1．已知集合M={x，xy，lg(xy)}及N={0，|x|，y}，并且M=N，那么(x+eq\f(1,y))+(x2+eq\f(1,y2))+(x3+eq\f(1,y3))+…+(x2001+eq\f(1,y2001))的值等于．(陜西供題)2．已知集合A={(x，y)||x|+|y|=α，α>0}B={(x，y)||xy|+1=|x|+|y|}若A∩B是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，則α的值為．(青海供題)【答案】α=2或2+eq\r(2)．【解析】集合A的圖形是依次連(α，0)，(0，α)，(－α，0)，(0，－α)四點(diǎn)的線段．集合B的圖形是直線x=1，x=－1，y=1，y=－1．它們交得一個(gè)正八邊形．若此4條直線為圖中的4條實(shí)線，則α=tan22.5°+1=eq\r(2)．或此正八邊形各邊與原點(diǎn)距離相等，知直線x+y=α與原點(diǎn)距離=1．α=eq\r(2)．若此4條直線為圖中的4條虛線，則eq\r(2)α=2eq\r(2)+2，α=2+eq\r(2)．∴α=2或2+eq\r(2)．4．現(xiàn)有邊長(zhǎng)為3，4，5的三角形兩個(gè)，邊長(zhǎng)為4，5，eq\r(41)的三角形四個(gè)，邊長(zhǎng)為eq\f(5,6)eq\r(2)，4，5的三角形六個(gè)，用上述三角形為面，可以拼成個(gè)四面體．(江西供題)若再取兩個(gè)③類三角形時(shí)，由于AD=eq\f(5,6)eq\r(2)，不滿足(*)式，故不可以構(gòu)成四面體．情況⑵：兩個(gè)①類，兩個(gè)③類．此時(shí)取BC=5，AB=CD=3，于是斜邊BC上的高AE=DF=h=eq\f(12,5)．且BE=CF=x=eq\f(9,5)，則EF=5－2×eq\f(9,5)=eq\f(7,5)．于是AD2=AE2+EF2+FD2－2AE·DFcosθ=eq\f(1,25)(337－288cosθ)∈(eq\f(49,25)，25)．由于AD=eq\f(5,6)eq\r(2)，不滿足(*)式，故不可以構(gòu)成四面體．∴只能構(gòu)成1個(gè)四面體．5．五對(duì)孿生兄妹參加k個(gè)組活動(dòng)，若規(guī)定：⑴孿生兄妹不在同一組；⑵非孿生關(guān)系的任意兩個(gè)人都恰好共同參加過一個(gè)組的活動(dòng)，⑶有一人只參加兩個(gè)組的活動(dòng)，則k的最小值為．(命題組供題)1987年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試題一．如圖，△ABC和△ADE是兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，現(xiàn)固定△ABC，而將△ADE繞A點(diǎn)在平面上旋轉(zhuǎn)，試證：不論△ADE旋轉(zhuǎn)到什么位置，線段EC上必存在點(diǎn)M，使△BMD為等腰直角三角形．【解析】證明：以A為原點(diǎn)，AC為x軸正方向建立復(fù)平面．設(shè)C表示復(fù)數(shù)c，點(diǎn)E表示復(fù)數(shù)e(c、e∈R)．則點(diǎn)B表示復(fù)數(shù)b=eq\f(1,2)c+eq\f(1,2)ci，點(diǎn)D表示復(fù)數(shù)d=eq\f(1,2)e－eq\f(1,2)ei．把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)角θ得到△ADE，則點(diǎn)E表示復(fù)數(shù)e=e(cosθ+isinθ)．點(diǎn)D表示復(fù)數(shù)d=d(cosθ+isinθ)表示EC中點(diǎn)M的復(fù)數(shù)m=eq\f(1,2)(c+e)．∴表示向量eq\o(\s\up8(→),MB)的復(fù)數(shù)：z1=b－eq\f(1,2)(c+e)=eq\f(1,2)c+eq\f(1,2)ci－eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)e(cosθ+isinθ)=－eq\f(1,2)ecosθ+eq\f(1,2)(c－esinθ)i．表示向量eq\o(\s\up8(→),MD)的復(fù)數(shù)：z2=d－m=(eq\f(1,2)e－eq\f(1,2)ei)(cosθ+isinθ)－eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)e(cosθ+isinθ)=eq\f(1,2)(esinθ－c)－eq\f(1,2)iecosθ．顯然：z2=z1i．于是|MB|=|MD|，且∠BMD=90°．即△BMD為等腰直角三角形．故證．二．在坐標(biāo)平面上，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．試證：存在一個(gè)同心圓的集合，使得⑴每個(gè)整點(diǎn)都在此集合的某個(gè)圓周上；⑵此集合的每個(gè)圓周上，有且只有一個(gè)整點(diǎn)．(辛澤爾定理)三．n(n>3)名乒乓球選手單打若干場(chǎng)后，任意兩個(gè)選手已賽過的對(duì)手恰好都不完全相同，試證明：總可以從中去掉一名選手，而使在余下的選手中，任意兩個(gè)選手已賽過的對(duì)手仍然都不完全相同．又證：把這些選手編為1至n號(hào)，以n個(gè)點(diǎn)表示這n個(gè)人，各點(diǎn)也相應(yīng)編為1至n號(hào)．反設(shè)去掉任何一各選手后都有兩個(gè)選手的已賽過的對(duì)手完全相同．于是先去掉1號(hào)選手，則有兩個(gè)選手的已賽過的對(duì)手完全相同，設(shè)為第i號(hào)與第j號(hào)，在表示此二人的點(diǎn)間連一條線，并在線上注上“1號(hào)”．這說明，此二人在去掉1號(hào)選手之前必是一人與1號(hào)賽過，另一人與1號(hào)沒有賽過．而且不可能在去掉1號(hào)后有三人都相同，