2022屆上海市長征高考數(shù)學必刷試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設函數(shù)/(x),g(x)的定義域都為R,且/(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A./(x>g(x)是偶函數(shù)B.|〃x)|-g(x)是奇函數(shù)

c.是奇函數(shù)D.是奇函數(shù)

2.用電腦每次可以從區(qū)間(0,3)內(nèi)自動生成一個實數(shù)，且每次生成每個實數(shù)都是等可能性的.若用該電腦連續(xù)生成3個

實數(shù)，則這3個實數(shù)都小于1的概率為()

4111

A.—B.-C.—D.—

273279

3.已知實數(shù)集R,集合A={x|lvxv3},集合3=,%|丁=71=4,則Ac(「5)=()

A.{x|l<x<2}B.[x\l<x<3]C.{x|2<x<3}D.{x|1<x<2}

22〃

4.雙曲線￡-g=im>o,b>o)的左右焦點為耳，心，一條漸近線方程為/:y=-=無，過點E且與/垂直的直線分

別交雙曲線的左支及右支于p,。，滿足。戶=g(?M+goC，則該雙曲線的離心率為()

A.MB.3C.V5D.2

5.已知關于x的方程Gsinx+sin[q-x=加在區(qū)間[0,2〃)上有兩個根占，x2,且歸一百之不，則實數(shù)加的取

127

值范圍是()

A.0,；)B.[1,2)C.[0,1)D.[0,1]

6.已知函數(shù)/(x)=ei+x一2的零點為如若存在實數(shù)“使Y一儂一。+3=0且|相一〃區(qū)1,則實數(shù)a的取值范圍

是()

「71「7-

A.[2,4]B.2,—C.—,3D.[2,3]

fl_1_V,

7.命題P：存在實數(shù)七，對任意實數(shù)x,使得sin（x+x（））=-sinx恒成立；q：Va>0,f（x）=In---為奇函數(shù),

a-x

則下列命題是真命題的是（）

A.p^qB.(」p)v(-u7)C.p/\Jq)D.Jp)八q

8.若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是（）

3

D.4

2

9.“幻方”最早記載于我國公元前500年的春秋時期《大戴禮》中.“〃階幻方（〃23,〃€9）”是由前〃2個正整數(shù)組

成的一個”階方陣，其各行各列及兩條對角線所含的〃個數(shù)之和（簡稱幻和）相等，例如“3階幻方”的幻和為15（如

圖所示）.則“5階幻方”的幻和為（）

E□□

□□

LZJ□□

A.75B.65C.55D.45

10.設一個正三棱柱ABC-。砂，每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面ABC的某頂點出發(fā)，每次只沿著棱爬行并

爬到另一個頂點，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行io次，仍然在上底面的概率為6°,

則幾為（）

IJi

A.

3尸544'2

’1、101

C.1"_1D.~1+—

、用2

1

11.數(shù)列僅“｝滿足：，z=g,—=2。,￡用，則數(shù)列｝前10項的和為

1020918

A.B.—C.—D.—

21211919

12.已知命題〃：x<27〃+l,q:x2-5x+6<0,且，是《的必要不充分條件，則實數(shù)，”的取值范圍為()

11,

A.m>—B.m>—C.m>\D.m>1

22

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

22

13.已知片，鳥為橢圓。：亍+4=1的左、右焦點，點P在橢圓。上移動時，耳工的內(nèi)心/的軌跡方程為

14.在三棱錐尸-ABC中，4?=5,3C=3,C4=4,三個側(cè)面與底面所成的角均為60°,三棱錐的內(nèi)切球的表面

積為.

15.如圖，直線/是曲線y=/(x)在x=3處的切線，則/(3)=.

2x-y<6

16.設x,，滿足約束條件,x+yN3,若z=x+3y+a的最大值是10,則。=.

)43

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，四棱錐尸-ABCD中，底面43CD是菱形，對角線AC,8。交于點為棱的中點,

MA=MC.求證：

(1)PB//平面AMC；

(2)平面PBD_L平面AMC.

18.(12分)選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)/(x)=|x-2|

(I)解不等式/(x)+/(2x+l)?6；

(U)對a+Z?=l(a,0>0)及VxeR,不等式/(x—機)—/(—x)：恒成立，求實數(shù)〃?的取值范圍.

19.(12分)某保險公司給年齡在20-70歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險，現(xiàn)從10000名參保人員中隨機抽

取100名作為樣本進行分析，按年齡段[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70]分成了五組，其頻率分布直方圖如

下圖所示；參保年齡與每人每年應交納的保費如下表所示.據(jù)統(tǒng)計，該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費用

為一百萬元.

年齡

[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

(單位：歲)

保費

X2x3x4x5x

(單位：元)

(1)用樣本的頻率分布估計總體分布，為使公司不虧本，求》精確到整數(shù)時的最小值看；

⑵經(jīng)調(diào)查，年齡在[60,70]之間的老人每50人中有1人患該項疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費為12000元，

如果參保，保險公司補貼治療費10000元.某老人年齡66歲，若購買該項保險(X取(1)中的%).針對此疾病所支付的費

用為x元；若沒有購買該項保險，針對此疾病所支付的費用為y元.試比較x和y的期望值大小，并判斷該老人購買

此項保險是否劃算？

X2

20.(12分)設函數(shù)/>(x)=21n(x+l)+,.

x+1

(I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(II)如果對所有的XN0,都有/(x)wax,求。的最小值；

(ni)已知數(shù)列｛%｝中，q=l,且(1-4+1)(1+凡)=1,若數(shù)列｛%｝的前n項和為S”，求證：

21.(12分)已知函數(shù)/'(x)=ar-lnx—l(aeH).

(1)討論/(x)的單調(diào)性并指出相應單調(diào)區(qū)間;

13

(2)若80)=5*2一%_］一/(?，設＜%2)是函數(shù)g(x)的兩個極值點，若aNj，且g(xj-g(馬)？攵恒

成立，求實數(shù)〃的取值范圍.

22.(10分)已知橢圓C:0+夕=1(。＞6＞0)的短軸長為26,左右焦點分別為月，F(xiàn)2,點3是橢圓上位于第一

象限的任一點，且當8月.而=()時，|配］=|.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若橢圓。上點A與點8關于原點。對稱，過點8作3。垂直于x軸，垂足為。，連接AQ并延長交。于另一點

M，交y軸于點N.

(i)求△QDN面積最大值；

(ii)證明：直線與/泌斜率之積為定值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：???/(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，

.../(—X)=-/(%),g(—x)=g(x),

f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x),故函數(shù)是奇函數(shù)，故A錯誤,

l/(-x)|.g(-x)=|f(x)卜g(x)為偶函數(shù),故8錯誤，

f(一加g(f)|=-f(X)4g(X)I是奇函數(shù),故C正確.

"(-x).g(-x)Hf(x).g(x)|為偶函數(shù),故。錯誤，

故選：C.

【點睛】

本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關鍵.

2.C

【解析】

由幾何概型的概率計算，知每次生成一個實數(shù)小于1的概率為工，結(jié)合獨立事件發(fā)生的概率計算即可.

3

【詳解】

1/1y1

???每次生成一個實數(shù)小于1的概率為一....這3個實數(shù)都小于1的概率為上.

327

故選：C.

【點睛】

本題考查獨立事件同時發(fā)生的概率，考查學生基本的計算能力，是一道容易題.

3.A

【解析】

可得集合B,求出補集孰8,再求出AC(CRB)即可.

【詳解】

由Jx-2>0,得x>2,即B=(2,+oo),

所以CRB=(-oo,2],

所以4c(CM)=(l,2].

故選:A

【點睛】

本題考查了集合的補集和交集的混合運算，屬于基礎題.

4.A

【解析】

/、/、blab3a/

設2(4k),。(工2，%)，直線PQ的方程為x=—c,聯(lián)立方程得到X+%=僅2_丁卜X必=僅2_*02'

根據(jù)向量關系化簡到b2=9a2，得到離心率.

【詳解】

設尸（百，弘）,。@2，必），直線PQ的方程為x

b

x=-y-c,

a整理得僅4_小2_2加0+?4=0,

聯(lián)立22

2ab^a2b4

貝Ui二尸一二尸p.

因為O7=go[+；oC，所以尸為線段QG的中點，所以刈=2y,

（必+%）2=2=4a2」692-〃2卜2_4。

整理得方=9瓜,

%%2（h2-a2^c2a2b4（b2-a2）

故該雙曲線的離心率e=J記.

【點睛】

本題考查了雙曲線的離心率，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.

5.C

【解析】

7T

先利用三角恒等變換將題中的方程化簡，構(gòu)造新的函數(shù)y=2sin（x+J）,將方程的解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問

6

題，畫出函數(shù)圖象，再結(jié)合上一回之乃，解得，〃的取值范圍.

【詳解】

由題化簡得J5sinx+cosx=，?j，m=2sin（x+二）,

6

TT

作出y=2sin（尤+/）的圖象,

6

又由后一萬易知.

故選：c.

【點睛】

本題考查了三角恒等變換，方程的根的問題，利用數(shù)形結(jié)合法，求得范圍.屬于中檔題.

6.D

【解析】

易知.f(x)單調(diào)遞增，由/(1)=0可得唯一零點m=1，通過已知可求得0<〃<2,則問題轉(zhuǎn)化為使方程

14

工2一依一〃+3=o在區(qū)間［r(),2］上有解，化簡可得a=x+l+-——2，借助對號函數(shù)即可解得實數(shù)a的取值范圍.

【詳解】

易知函數(shù)/(x)=e*T+x-2單調(diào)遞增且有惟一的零點為相=1,所以|1一〃區(qū)1,.?.()?〃42,問題轉(zhuǎn)化為：使方程

X?+3(x+1)'—2(x+1)+4

V—以_〃+3=0在區(qū)間［0,2］上有解，即a尤+1+-------2

x+l

在區(qū)間［0,2］上有解，而根據(jù)“對勾函數(shù)”可知函數(shù)y=x+1+匕-2在區(qū)間［0,2］的值域為［2,3］2WaW3.

故選D.

【點睛】

本題考查了函數(shù)的零點問題，考查了方程有解問題，分離參數(shù)法及構(gòu)造函數(shù)法的應用，考查了利用“對勾函數(shù)”求參數(shù)取值

范圍問題，難度較難.

7.A

【解析】

分別判斷命題"和4的真假性，然后根據(jù)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性判斷出正確選項.

【詳解】

對于命題P,由于sin(x+;r)=-sinx,所以命題，為真命題.對于命題夕，由于a>0,由竺三>。解得一a<x<a,

a-x

且/(-x)=ln匕=ln"土=-In—=-/(%),所以/(x)是奇函數(shù)，故4為真命題.所以〃人"為真命題.

a+x\a-xJa-x

(r?)v(-^)、pA(-,?7),(「p)△彳都是假命題.

故選：A

【點睛】

本小題主要考查誘導公式，考查函數(shù)的奇偶性，考查含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性的判斷，屬于基礎題.

8.D

【解析】

模擬程序運行，觀察變量值的變化，得出S的變化以4為周期出現(xiàn)，由此可得結(jié)論.

【詳解】

233

5=4/=1;5=—1"=2;5=±,，=3;5=2』=4;5=4』=5；如此循環(huán)下去，當，=2020時，5=2;5=4,?=2021,

322

此時不滿足，,<2021,循環(huán)結(jié)束，輸出S的值是4.

故選：D.

【點睛】

本題考查程序框圖，考查循環(huán)結(jié)構(gòu).解題時模擬程序運行，觀察變量值的變化，確定程序功能，可得結(jié)論.

9.B

【解析】

計算1+2+-.+25的和，然后除以5,得到“5階幻方”的幻和.

【詳解】

1±25

依題意“5階幻方”的幻和為1+2+…+25X25?，故選B.

----------=--2------=65

55

【點睛】

本小題主要考查合情推理與演繹推理，考查等差數(shù)列前〃項和公式，屬于基礎題.

10.D

【解析】

由題意，設第〃次爬行后仍然在上底面的概率為外.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率

21

為②若上一步在下面，則第〃-1步不在上面的概率是1-匕一「如果爬上來，其概率是§(1-兩種事件

21

又是互斥的，可得弋ET),根據(jù)求數(shù)列的通項知識可得選項.

【詳解】

由題意，設第“次爬行后仍然在上底面的概率為

2

①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為

②若上一步在下面，則第〃一1步不在上面的概率是1-匕1,(〃22).如果爬上來，其概率是|(l-^,),(n>2),

兩種事件又是互斥的,...匕—即匕［匕i+g."一9?心—￡|，

數(shù)列｛匕一；｝是以g為公比的等比數(shù)列，而4=1，所以勺

101

.,.當“=10時，%+—,

2

故選：D.

【點睛】

本題考查幾何體中的概率問題，關鍵在于運用遞推的知識，得出相鄰的項的關系，這是常用的方法，屬于難度題.

11.A

【解析】

11c1

分析：通過對an-an+i=2ana?+1變形可知---------=2,進而可知an=-~,利用裂項相消法求和即可.

%an2/2-1

11c

=2

詳解：Va-4+1=2aM匹］，,~~>

nan+\an

1

XV—=5,

%

.?.；=：+2（n—3）=2n—l,即4=丁—

4。32〃—1

—=/“一*）中擊-備｝

數(shù)列｛。也用｝前1()項的和為;++…+2_()=；(1一3)=2,

故選A.

點睛：裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子

1”11、1](,——

的結(jié)構(gòu)特點，常見的裂項技巧：(1)—-----^=7----------7'(2)"/,—r=：(,〃+1-6)；(3)

n[n+k)k\nn+kj\Jn+k+>Jnkv'

[=U_j______]=j_&-(〃+1)；〃+2)；此外‘需注意裂項

(2〃—1)(2〃+1)-a12〃—1-2〃+1J；⑷〃(“+l)(〃+2)—5

之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導致計算結(jié)果錯誤.

12.D

【解析】

求出命題4不等式的解為2<x<3,。是4的必要不充分條件，得夕是P的子集，建立不等式求解.

【詳解】

解：：命題〃：了<2相+1，4：12-5%+6<0,即：2cx<3,

。是4的必要不充分條件，

.?.(2,3)C(T?,2〃7+1,),

2/?+1>3,解得機21.實數(shù)加的取值范圍為〃221.

故選：D.

【點睛】

本題考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍，其思路方法：

⑴解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關系，然后根據(jù)集合之間關系列出關于參

數(shù)的不等式(組)求解.

⑵求解參數(shù)的取值范圍時，一定要注意區(qū)間端點值的檢驗.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.x2+3y2=1(^0)

【解析】

22

考查更為一般的問題：設尸為橢圓C：=-二=l(a>0,b>0)上的動點，與，鳥為橢圓的兩個焦點，/為△尸6尸2的

ab~

內(nèi)心，求點/的軌跡方程.

解法一：如圖，設內(nèi)切圓/與尸由2的切點為“，半徑為「，且FzH=z,PFi=x+j,PF2=x+z,C=行萬，則

y+z=2c

2x+y+z=2。

而根據(jù)海倫公式，有APFi尸2的面積為+

_,,xa-c

因此有5?攵出=----------=-------.

x+y+za+c

再根據(jù)橢圓的斜率積定義，可得/點的軌跡是以尸1F2為長軸，

離心率e滿足e2—1=一佇￡的橢圓，

a+c

%22

其標準方程為7r+a-c,=1(尸°).

c-c2

Q+C

解法二：令pgcos。力sin。)，則sinew0.三角形尸為民的面積:

S=-2c-|Z?sin回=g(2c+2〃)r,

其中，為內(nèi)切圓的半徑，解得，=絲包4=回|.

a+c

另一方面，由內(nèi)切圓的性質(zhì)及焦半徑公式得：

(c-x/)-(x/+=\PF}\-\PF2\=(a-ccos0)-(a+ccos0),

從而有a=ccos，.消去。得到點/的軌跡方程為：

a+c

22

本題中：a=Zc=l9代入上式可得軌跡方程為：x+3y=l(y^0).

4%

14.——

3

【解析】

先確定頂點在底面的射影，再求出三棱錐的高以及各側(cè)面三角形的高，利用各個面的面積和乘以內(nèi)切球半徑等于三棱

錐的體積的三倍即可解決.

【詳解】

設頂點在底面上的射影為H,"是三角形ABC的內(nèi)心，內(nèi)切圓半徑廠=1.三個側(cè)面與底面所

成的角均為60°,APAB，APBC,APAC的高PD=PE=PF=2,PH=6,設內(nèi)

切球的半徑為R,(g(3+4+5)x2+gx3x4)xR=3xgx；x3x4x0=66

:.R=B,內(nèi)切球表面積S=4〃R2=業(yè).

33

故答案為：.

3

【點睛】

本題考查三棱錐內(nèi)切球的表面積問題，考查學生空間想象能力，本題解題關鍵是找到內(nèi)切球的半徑，是一道中檔題.

1

15.一.

2

【解析】

求出切線/的斜率，即可求出結(jié)論.

【詳解】

由圖可知直線/過點(3,3),

可求出直線/的斜率/21，

3-02

由導數(shù)的幾何意義可知，r(3)=1.

故答案為:L.

2

【點睛】

本題考查導數(shù)與曲線的切線的幾何意義，屬于基礎題.

16.--

2

【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合即可容易求得結(jié)果.

【詳解】

目標函數(shù)z=x+3y+a可轉(zhuǎn)化為/=_；1+^^與直線y=_；x平行,

數(shù)形結(jié)合可知當且僅當目標函數(shù)過點A(|,3),取得最大值，

97

故可得10=-+9+。，解得。=一—.

22

7

故答案為：一

2

【點睛】

本題考查由目標函數(shù)的最值求參數(shù)值，屬基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)詳見解析；(2)詳見解析.

【解析】

(1)連結(jié)OM,根據(jù)中位線的性質(zhì)證明PB//Q0即可.

(2)證明47_1.8。,47，尸〃再證明4。_1平面產(chǎn)比)即可.

【詳解】

解：(1)證明：連結(jié)。加，

???O是菱形ABCO對角線AC、BO的交點，

.?.O為8D的中點，

?.?M是棱的中點，

:.OM//PB,

OMu平面AMC,PB仁平面AMC,

,尸8//平面AMC,

⑵解：在菱形ABC。中,4C>LBD,且。為AC的中點,

:.AC±OM,

?：0McBD=O,

.?.4。_1平面23。，

,/ACu平面AMC,

平面PBD_L平面AMC.

【點睛】

本題主要考查了線面平行與垂直的判定,屬于基礎題.

18.(I)(-oo,-l]U[3,+oo).

(II)-13<w<5.

【解析】

…1

3-3x,x<—,

詳解：(I)/(x)+/(2x+l)=|x-2|+|2x-l|=<x+l,|<x<2,

3x-3,x>2.

當x<!時，由3-3x26,解得xW—l；

2

當時，x+126不成立；

2

當x>2時，由3%一3之6,解得X之3.

所以不等式f(x)>6的解集為(-8,-1]U[3,心).

(H)因為a+匕=1(。/>0),

山|、|41/,41A_4Z?ac14ban

所以—I—=(〃+/?)]—+—=5H----1—25+2J—,一二9?

ab\ab)ab\ab

由題意知對X/xcR,|x—2—討一卜龍—2|<9,

即(卜一2-同一|一%-2kx?9,

因為|x—2—w|—|—x—2〔4|(x—2—/77)—(x+2)|=|-4—,

所以—9+4W9,解得—13＜加＜5.

【點睛】

(1)絕對值不等式解法的基本思路是：去掉絕對值號，把它轉(zhuǎn)化為一般的不等式求解，轉(zhuǎn)化的方法一般有：①絕對值定

義法；②平方法；③零點區(qū)域法.

⑵不等式的恒成立可用分離變量法.若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化

為求主元函數(shù)的最值，進而求出參數(shù)范圍.這種方法本質(zhì)也是求最值.一般有：

①/(x)<g(a)(〃為參數(shù))恒成立=g(a)>/(x)max

②/(x)>g(a)("為參數(shù))恒成立=8(。)</。)皿.

19.(1)30；(2)E(Y)>E(X),比較劃算.

【解析】

(1)由頻率和為1求出a=0.032,根據(jù)”的值求出保費的平均值3.35x,然后解一元一次不等式3.35x2100即可

求出結(jié)果，最后取近似值即可；

(2)分別計算參保與不參保時的期望E(X),￡(7),比較大小即可.

【詳解】

解：(1)由(0.007+0.016+4+0.025+0.020)x10=1,

解得a=0.032.

保險公司每年收取的保費為：

1(XXX)(0.07x+0.16x2x+0.32x3.x+0.25x4x+0.20x5x)=10000x3.35x

二要使公司不虧本，貝!110000x3.35x21000000,即3.35x2100

解得xN生2a29.85,

3.35

%=30.

(2)①若該老人購買了此項保險，則X的取值為150,2150.

491

vP(X=150)=—,P(X=2150)=—

491

二E(X)=150x=+2150x—=147+43=190阮).

5050

②若該老人沒有購買此項保險，則y的取值為o.12000.

49I

vp(y=o)=-^,p(y=12000)=—

491

AE(y)=0X—+12000X—=240(76).

5050

E(Y)>E(X)

年齡為66的該老人購買此項保險比較劃算.

【點睛】

本題考查學生利用相關統(tǒng)計圖表知識處理實際問題的能力，掌握頻率分布直方圖的基本性質(zhì)，知道數(shù)學期望是平均數(shù)

的另一種數(shù)學語言，為容易題.

20.(I)函數(shù)/(x)在(一1,-2+加)上單調(diào)遞減，在(-2+虛,+8)單調(diào)遞增；(H)2；(IH)證明見解析.

【解析】

(I)先求出函數(shù)/(x)的導數(shù)，通過解關于導數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(II)設g(x)=/(x)-ax,先求出函數(shù)g(x)的導數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出a的最

小值；

(皿)先求出數(shù)列L是以'=1為首項，1為公差的等差數(shù)列，。,用=」一，問題轉(zhuǎn)化為證明：

anJn幾+1

7/1、〃.II1

小(〃+1)+―n〈1+7+1+~+一，通過換元法或數(shù)學歸納法進行證明即可.

2(及+1)23n

【詳解】

x2+4x+2

解：(I)/(X)的定義域為(-1,+00),f\x)=~~丁，

當_1Vx<—2+及時，f(X)<2,當x>—2+夜時，r(X)>2,

所以函數(shù)f(x)在(-1，-2+閭上單調(diào)遞減，在(-2+行,+8)單調(diào)遞增.

,、V-2

(II)設g(x)=2/〃(x+l)d-----ax9

2

,/\x+4x+2(x+1)"+2(x+l)-l12n

則n1g(尤)=一(_a=__L——a=-(---i)-+2-a,

(x+1)(x+l)x+l

因為xN2,故—IV—(」一—I)?KO,

x+1

(i)當生1時，1-aW2,gf(x)<2,所以g(x)在［2,+oo)單調(diào)遞減，

而g(2)=2,所以對所有的xN2,g(x)<2,即/(x)<<ix；

2—a+J2—a

(ii)當IVaVl時，2V1-aVL若XG0,-----------，則g，(x)>2,g(x)單調(diào)遞增，

2—Q+J2—Z

而g(2)=2,所以當工￡0,-------；----時，g(x)>2,即/(x)>ax；

\a-I7

r

(iii)當Q勺時，l-a>l,g(x)>2,所以g(x)在［2,+oo)單調(diào)遞增，

而g(2)=2,所以對所有的x>2,g(x)>2,即/(x)>ax；

綜上，〃的最小值為L

(HI)由(l-4〃+i)(1+?！?=1得，?！?1=?！?斯+1,由田=1得，。#2,

11,1111

所以--------=1,數(shù)列一是以一=1為首項，1為公差的等差數(shù)列，

“用冊an4

1

S>—"-Inax(〃+1)-I--—-<1H---1---F???十—

n+]

“2an、)2(〃+1)23n

火2

由(II)知。=1時，2加(x+l)+---<2x,x>2,

'7x+1

即勿(x+l)+—----,x>2.

2(x+l)

1,?+11

法一：令*=上，得/〃——+<-9

nnn

即/〃(〃+1)-/〃〃+'仕11<-

n

n

因為Z/〃〃氏+/〃(鹿+1)+

2(〃+1)'

k=I_

所以勿(〃+1)+島<+<+:+…+5

故S”〉$1一切6+1.

法二：S“>^--lnan+]^+-+-+-■■+->ln(n+l)+

2(1n23n2(〃+1)

下面用數(shù)學歸納法證明.

d1

(1)當〃=1時，令X=1代入/〃(x+l)+:^—即得1>歷2+—,不等式成立

2(x+l)4

（1）假設（上GN*,A>1）時，不等式成立，

即1+』+,+.一+1>/〃（z+1）H———~,

即23k'）2（k+\y

.1111^,/,k1

Oil]〃=A+1時1H---1---1-…-I---1----->l/t（k+1n）T---1----rH-----

川23kk+1'，2（4+1）女+1，

1/2

令X=----代入勿（1+1）+-；^----r<X,

Z+lV72（x+l）

1、.k+21，/，八k1、，“八k,k+21

付Z+1攵+12（攵+1）（2+2）'72（攵+1）k+]'，2（攵+1）Z+12（攵+1）（左+2）

二見"2）+瑞得J=W+2）+蒜J，

,1111、，/,c\2

即.1H---1---F…-I---1----->/〃（攵+2）-1---；-----T,

即?23k女+1V）2（k+2y

1Il1、//1\〃

由（D（1）可知不等式1+;+鼻+…〃（幾+1）+不二不對任何〃￡N”都成立.

23〃2（〃+1）

故S“>g±L-/〃a“+1.

考點：1利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；1、利用導數(shù)研究函數(shù)的最值；3、數(shù)列的通項公式；4、數(shù)列的前〃項和；5、

不等式的證明.

15,C

21.(1)答案見解析(2)-oo,----2In2

8

【解析】

HY—1

(1)先對函數(shù)進行求導得尸(x)=-----,對。分成〃＜0和。＞0兩種情況討論，從而得到相應的單調(diào)區(qū)間；

x

(2)對函數(shù)g(x)求導得,(幻=廠一("+DX+I,從而有＞+々=1+1,玉工2=1，々=，,三個方程中利用。2]

xx\2

得到0＜玉Wg.將不等式g(內(nèi))一g(w)＞k的左邊轉(zhuǎn)化成關于內(nèi)的函數(shù)，再構(gòu)造新函數(shù)利用導數(shù)研究函數(shù)的最小值,

從而得到A的取值范圍.

【詳解】

解：（1）由/（x）=ax-Inx-l,XG（0,+OO）,

1_ax-1

貝（If\x）=a

xX

當。<0時，則/'（x）W0,故/（X）在（0,+8）上單調(diào)遞減

當4>0時，令/'（x）=0=>x=—,

a

所以/（X）在（0,：）上單調(diào)遞減，在+8）上單調(diào)遞增.

綜上所述：當a40時，八幻在（。,+8）上單調(diào)遞減;

當a>（）時，f（x）在（0,，］上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

kci）

（2）Vg（x）=lnx+—x-（4Z+l）x,

廠一(q+l)x+1

g'(x)=—+x—(a+l)=

x