專題8.1 統(tǒng)計和概率的簡單應用（例題講解）-2022-2023學年九年級數(shù)學下冊基礎知識專項講練（蘇科版）

專題8.1統(tǒng)計和概率的簡單應用（例題講解）【類型一】中學生視力情況調查1．某學校為了解全校學生對電視節(jié)目（新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲）的喜愛情況，從全校學生中隨機抽取部分學生進行問卷調查，并把調查結果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)以上信息，解答下列問題（1）這次被調查的學生共有多少名？（2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）若該校有3000名學生，估計全校學生中喜歡體育節(jié)目的約有多少名？（4）該校宣傳部需要宣傳干事，現(xiàn)決定從喜歡新聞節(jié)目的甲、乙、丙、丁四名同學中選取2名，用樹狀圖或列表法求恰好選中甲、乙兩位同學的概率．【答案】（1）50名；（2）見解析；（3）600名；（4）【分析】（1）根據(jù)動畫類人數(shù)及其百分比求得總人數(shù)；（2）總人數(shù)減去其他類型人數(shù)可得體育類人數(shù)，據(jù)此補全圖形即可；（3）用樣本估計總體的思想解決問題；（4）根據(jù)題意先畫出列表，得出所有情況數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出答案．解：（1）這次被調查的學生人數(shù)為（名；（2）喜愛“體育”的人數(shù)為（名，補全圖形如下：（3）估計全校學生中喜歡體育節(jié)目的約有（名；（4）列表如下：甲乙丙丁甲（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）乙（甲，乙）（丙，乙）（丁，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）（丁，丙）?。?，?。ㄒ遥。ū?，?。┧械瓤赡艿慕Y果為12種，恰好選中甲、乙兩位同學的有2種結果，所以恰好選中甲、乙兩位同學的概率為．【點撥】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大?。e一反三：【變式1】為了解甲?乙兩座城市的郵政企業(yè)4月份收入的情況，從這兩座城市的郵政企業(yè)中，各隨機抽取了25家郵政企業(yè)，獲得了它們4月份收入（單位：百萬元）的數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進行整理?描述和分析．下面給出了部分信息．．甲城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分成5組：）：．甲城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)在這一組的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8．甲?乙兩座城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)的平均數(shù)?中位數(shù)如下：平均數(shù)中位數(shù)甲城市10.8乙城市11.011.5根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）寫出表中的值；（2）在甲城市抽取的郵政企業(yè)中，記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業(yè)的個數(shù)為．在乙城市抽取的郵政企業(yè)中，記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業(yè)的個數(shù)為．比較的大小，并說明理由；（3）若乙城市共有200家郵政企業(yè)，估計乙城市的郵政企業(yè)4月份的總收入（直接寫出結果）．【答案】（1）；（2），理由見詳解；（3）乙城市的郵政企業(yè)4月份的總收入為2200百萬元．【分析】（1）由題中所給數(shù)據(jù)可得甲城市的中位數(shù)為第13個數(shù)據(jù)，然后問題可求解；（2）由甲、乙兩城市的中位數(shù)可直接進行求解；（3）根據(jù)乙城市的平均數(shù)可直接進行求解．解：（1）由題意可得m為甲城市的中位數(shù)，由于總共有25家郵政企業(yè)，所以第13家郵政企業(yè)的收入作為該數(shù)據(jù)的中位數(shù)，∵有3家，有7家，有8家，∴中位數(shù)落在上，∴；（2）由（1）可得：甲城市中位數(shù)低于平均數(shù)，則最大為12個；乙城市中位數(shù)高于平均數(shù)，則至少為13個，∴；（3）由題意得：（百萬元）；答：乙城市的郵政企業(yè)4月份的總收入為2200百萬元．【點撥】本題主要考查中位數(shù)、平均數(shù)及統(tǒng)計與調查，熟練掌握中位數(shù)、平均數(shù)及統(tǒng)計與調查是解題的關鍵．【變式2】隨機調查某城市30天空氣質量指數(shù)（），繪制成如下扇形統(tǒng)計圖．空氣質量等級空氣質量指數(shù)（）頻數(shù)優(yōu)m良15中9差n（1）____，______；（2）求良的占比；（3）求差的圓心角；（4）統(tǒng)計表是一個月內的空氣污染指數(shù)統(tǒng)計，然后根據(jù)這個一個月內的統(tǒng)計進行估測一年的空氣污染指數(shù)為中的天數(shù)，從折線圖可以得到空氣污染指數(shù)為中的有9天．根據(jù)折線統(tǒng)計圖，一個月（30天）中有_____天AQI為中，估測該城市一年（以365天計）中大約有_____天為中．【答案】（1）4，2；（2）50%；（3）24°；（4）9，110【分析】（1）根據(jù)扇形統(tǒng)計圖中優(yōu)的圓心角的度數(shù)即可求出m的值，再用總數(shù)減去優(yōu)，良，中的天數(shù)即可求出n的值；（2）用良的天數(shù)除以總數(shù)即可得到答案；（3）用差的占比乘以360度即可；（4）要先算出樣本中有9天AQI為中，再估測該城市中一年（以365天計）中大約有110天AQI為中．解：（1）根據(jù)題意得，所以，故答案為：4，2；（2）良的占比為：（3）差的圓心角=（4）根據(jù)統(tǒng)計表，一個月（30天）中有9天AQI為中，估測該城市中一年（以365天計）中大約有（天）故答案為：9，110【點撥】本題主要考查利用統(tǒng)計表處理數(shù)據(jù)的能力，和利用樣本估計總體的思想，解答這類題目觀察圖表要細致，對應的圖例及其關系不能錯位，計算要認真準確．【類型二】貨比三家2．某校七、八年級各有500名學生，為了解該校七、八年級學生對黨史知識的掌握情況，從七、八年級學生中各隨機抽取15人進行黨史知識測試，統(tǒng)計這部分學生的測試成績（成績均為整數(shù)，滿分10分，8分及以上為優(yōu)秀），相關數(shù)據(jù)統(tǒng)計、整理如下：七年級抽取學生的成績：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10；（1）填空：＝________，＝________；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為該校七、八年級中，哪個年級的學生黨史知識掌握得較好？請說明理由（寫出一條即可）；（3）請估計七、八年級學生對黨史知識掌握能夠達到優(yōu)秀的總人數(shù)；（4）現(xiàn)從七、八年級獲得10分的4名學生中隨機抽取2人參加市黨史知識競賽，請用列表或畫樹狀圖法，求出被選中的2人恰好是七、八年級各1人的概率．【答案】（1）＝8，＝8；（2）見解析；（3）700人；（4）圖表見解析，【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義：可以直接從所給數(shù)據(jù)求得，從所給條形圖分析解決；（2）七、八年級的平均數(shù)和中位數(shù)相同，七年級的優(yōu)秀率大于八年級的優(yōu)秀率，即可求解；（3）由七、八年級的總人數(shù)分別乘以優(yōu)秀率，再相加即可；（4）根據(jù)題意列表，然后求出所有的等可能的結果數(shù)，然后求出恰好每個年級都有一個的結果數(shù)，然后計算即可.解：（1）由題意可知：＝8，＝8；（2）七年級學生的黨史知識掌握得較好，理由如下：∵七年級和八年級的平均數(shù)相同，但是七年級的優(yōu)秀率大于八年級的優(yōu)秀率∴七年級學生的黨史知識掌握得較好；（3）從現(xiàn)有樣本估計全年級，七年級達到優(yōu)秀的人數(shù)可能有500人×80%＝400人，八年級達到優(yōu)秀的人數(shù)可能有500人×60%＝300人，所以兩個年級能達優(yōu)秀的總人數(shù)可能會有700人；（4）把七年級的學生記做A，八年級的三名學生即為B、C、D，列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）由表知，一共有12種等可能性的結果，恰好每個年級都有一個的結果數(shù)是6，兩人中恰好是七八年級各1人的概率是．【點撥】本題主要考查了統(tǒng)計與概率，用樣本估計總體，列表或畫樹狀圖求概率，中位數(shù)的定義等等，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.舉一反三：【變式1】2021年4月，教育部印發(fā)《關于進一步加強中小學生睡眠管理工作的通知》，明確要求初中生每天睡眠時間應達到小時．某初級中學為了解學生睡眠時間的情況，從本校學生中隨機抽取名進行問卷調查，并將調查結果用統(tǒng)計圖描述如下．調查問卷1．近兩周你平均每天睡眠時間大約是小時．如果你平均每天睡眠時間不足小時，請回答第個問題2．影響你睡眠時間的主要原因是．（單選）A．校內課業(yè)負擔重

B．校外學習任務重

C．學習效率低

D．其他平均每天睡眠時間（時）分為組：①；②；③；④；⑤．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）本次調查中，平均每天睡眠時間的中位數(shù)落在第（填序號）組，達到小時的學生人數(shù)占被調查人數(shù)的百分比為；（2）請對該校學生睡眠時間的情況作出評價，并提出兩條合理化建議．【答案】（1）③；17％；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義即可得到其所在小組；利用達到9小時的學生數(shù)除以500即可得出其所占百分比；（2）根據(jù)平均每天睡眠時間統(tǒng)計圖依次分析即可；根據(jù)影響學生睡眠時間的主要原因統(tǒng)計圖制定對應的措施即可．解：（1）由于共有500人，因此中位數(shù)應為該組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小排列的第250和251個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由平均每天睡眠時間統(tǒng)計圖可知，應位于第③組；∵達到9小時睡眠的人數(shù)為85人，∴其所占百分比為：；故答案為：③；17％．（2）該校學生睡眠情況為：該校學生極少數(shù)達到《關于進一步加強中小學生睡眠管理工作的通知》中的初中生每天睡眠時間應達到9小時的要求，大部分學生睡眠時間都偏少，其中超過一半的學生睡眠時間達不到8小時，約4％的學生睡眠時間不到6小時．建議：①減少校外學習任務時間，將其多出來的時間補充到學生睡眠中去；②減輕校內課業(yè)負擔，提高學生的學習效率，規(guī)定每晚各科作業(yè)總時間不超過90分鐘等（本題答案不唯一，回答合理即可）．【點撥】本題考查了統(tǒng)計的應用，涉及到了中位數(shù)的定義、從統(tǒng)計圖中獲取相關信息、根據(jù)圖表信息制定合理建議等內容，解決本題的關鍵是讀懂題意，能從統(tǒng)計圖中獲取對應信息，同時牢記相關定義等，本題屬于開放型試題，最后一題答案不統(tǒng)一，但回答應與題干信息相吻合等，本題考查了學生分析問題與解決問題的能力．【變式2】小聰、小明參加了100米跑的5期集訓，每期集訓結束時進行測試．根據(jù)他們集訓時間、測試成績繪制成如下兩個統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中信息，解答下列問題：這5期的集訓共有多少天？哪一期小聰?shù)某煽儽人弦黄诘某煽冞M步最多？進步了多少秒？根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，結合體育運動的實際，從集訓時間和測試成績這兩方面，簡要說說你的想法．【答案】(1)55天(2)第3期小聰?shù)某煽儽人弦黄诘某煽冞M步最多，進步了0.2秒(3)個人測試成績與很多因素有關，如集訓時間不是越長越好，集訓時間過長，可能會造成勞累，導致成績下降；集訓的時間為10天或14天時，成績最好等．（言之有理即可）【分析】（1）根據(jù)圖中的信息可知這5期的集訓各有多少天，求出它們的和即可；（2）由折線統(tǒng)計圖可得第3期小聰?shù)某煽儽人弦黄诘某煽冞M步最多，進步時間可由折線統(tǒng)計圖計算；（3）根據(jù)圖中的信心和題意，說明自己的觀點即可，本題答案不唯一，只要合理即可．解：（1）∵（天）．∴這5期的集訓共有55天．（2）由折線統(tǒng)計圖可得第3期小聰?shù)某煽儽人弦黄诘某煽冞M步最多，進步了（秒），∴第3期小聰?shù)某煽儽人弦黄诘某煽冞M步最多，進步了0.2秒．（3）個人測試成績與很多因素有關，如集訓時間不是越長越好，集訓時間過長，可能會造成勞累，導致成績下降；集訓的時間為10天或14天時，成績最好等．（言之有理即可）【點撥】本題考查條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、算術平均數(shù)，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．【類型三】統(tǒng)計圖幫你預測3．某中學開展主題為“垃圾分類知多少”的調查活動，調查問卷設置了“非常了解”、“比較了解”、“基本了解”、“不太了解”四個等級，要求每名學生選且只能選其中一個等級．隨機抽取了120名學生的有效問卷，數(shù)據(jù)整理如下：等級非常了解比較了解基本了解不太了解人數(shù)（人）247218（1）求的值；（2）若該校有學生1800人，請根據(jù)抽樣調查結果估算該校“非常了解”和“比較了解”垃圾分類知識的學生共有多少人？【答案】（1）6

（2）1440人【分析】（1）根據(jù)四個等級的人數(shù)之和為120求出x的值；（2）用總人數(shù)乘以樣本中“非常了解”和“比較了解”垃圾分類知識的學生占被調查人數(shù)的比例即可求出結果．（1）解：由題意得：解得（2）解：（人）答：估算“非常了解”和“比較了解”垃圾分類知識的學生有1440人.【點撥】本題主要考查了用樣本估計總體，屬于基礎題目，審清題意，找到對應數(shù)據(jù)是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】某單位食堂為全體名職工提供了四種套餐，為了解職工對這四種套餐的喜好情況，單位隨機抽取名職工進行“你最喜歡哪一種套餐（必選且只選一種）”問卷調查，根據(jù)調查結果繪制了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，部分信息如下：在抽取的人中最喜歡套餐的人數(shù)為，扇形統(tǒng)計圖中“”對應扇形的圓心角的大小為；依據(jù)本次調查的結果，估計全體名職工中最喜歡套餐的人數(shù)；現(xiàn)從甲、乙、丙、丁四名職工中任選兩人擔任“食品安全監(jiān)督員”，求甲被選到的概率．【答案】（1）60，108°；（2）336；（3）【分析】（1）用最喜歡套餐的人數(shù)對應的百分比乘以總人數(shù)即可，先求出最喜歡C套餐的人數(shù)，然后用最喜歡C套餐的人數(shù)占總人數(shù)的比值乘以360°即可求出答案；（2）先求出最喜歡B套餐的人數(shù)對應的百分比，然后乘以960即可；（3）用列舉法列出所有等可能的情況，然后找出甲被選到的情況即可求出概率．解：（1）最喜歡套餐的人數(shù)=25%×240=60（人），最喜歡C套餐的人數(shù)=240-60-84-24=72（人），扇形統(tǒng)計圖中“”對應扇形的圓心角為：360°×=108°，故答案為：60，108°；（2）最喜歡B套餐的人數(shù)對應的百分比為：×100%=35%，估計全體名職工中最喜歡套餐的人數(shù)為：960×35%=336（人）；（3）由題意可得，從甲、乙、丙、丁四名職工中任選兩人，總共有6種不同的結果，每種結果發(fā)生的可能性相同，列舉如下：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，其中甲被選到的情況有甲乙，甲丙，甲丁3種，故所求概率P==．【點撥】本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體，用列舉法求概率，由圖表獲取正確的信息是解題關鍵．【變式2】為了解某校九年級學生的體質健康狀況，隨機抽取了該校九年級學生的10%進行測試，將這些學生的測試成績（x）分為四個等級：優(yōu)秀；良好；及格；不及格，并繪制成以下兩幅統(tǒng)計圖．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）在抽取的學生中不及格人數(shù)所占的百分比是______；（2）計算所抽取學生測試成績的平均分；（3）若不及格學生的人數(shù)為2人，請估算出該校九年級學生中優(yōu)秀等級的人數(shù)．【答案】（1）5%；（2）所抽取學生測試成績的平均分79.8（分）；（3）估算出該校九年級學生中優(yōu)秀等級的人數(shù)為200人．【分析】（1）用100%減去優(yōu)秀，良好，和及格部分對應的百分比；（2）利用加權平均數(shù)的方法計算即可；（3）先算出抽取的總人數(shù)，再算出抽取人數(shù)中優(yōu)秀的人數(shù)，再除以10%可得結果.解：（1）由題意可得：100%-50%-20%-25%=5%，∴在抽取的學生中不及格人數(shù)所占的百分比是5%；（2）由題意可得：90×50%+78×25%+66×20%+42×5%=79.8（分），∴所抽取學生測試成績的平均分為79.8分；（3）∵不及格學生的人數(shù)為2人，∴2÷5%×50%÷10%=200（人），∴該校九年級學生中優(yōu)秀等級的人數(shù)為200人.【點撥】本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，加權平均數(shù)，樣本估計總體，解題的關鍵是從圖表中獲取信息，正確進行計算.【類型四】概率幫你統(tǒng)計4．“網(wǎng)紅”長沙入選2021年“五一”假期熱門旅游城市．本市某景點為吸引游客，設置了一種游戲，其規(guī)則如下：凡參與游戲的游客從一個裝有12個紅球和若干個白球（每個球除顏色外，其他都相同）的不透明紙箱中，隨機摸出一個球，摸到紅球就可免費得到一個景點吉祥物．據(jù)統(tǒng)計參與這種游戲的游客共有60000人，景點一共為參與該游戲的游客免費發(fā)放了景點吉祥物15000個．（1）求參與該游戲可免費得到景點吉祥物的頻率；（2）請你估計紙箱中白球的數(shù)量接近多少？【答案】（1）；（2）紙箱中白球的數(shù)量接近36個．【分析】（1）利用免費發(fā)放的景點吉祥物數(shù)量除以參與這種游戲的游客人數(shù)即可得；（2）設紙箱中白球的數(shù)量為個，先利用頻率估計概率可得隨機摸出一個球是紅球的概率，再利用概率公式列出方程，解方程即可得．解：（1）由題意得：，答：參與該游戲可免費得到景點吉祥物的頻率為；（2）設紙箱中白球的數(shù)量為個，由（1）可知，隨機摸出一個球是紅球的概率約為，則，解得，經(jīng)檢驗，是所列分式方程的解，且符合題意，答：紙箱中白球的數(shù)量接近36個．【點撥】本題考查了利用頻率估計概率、已知概率求數(shù)量，熟練掌握概率公式是解題關鍵．舉一反三：【變式1】有四張反面完全相同的紙牌，其正面分別畫有四個不同的幾何圖形，將四張紙牌洗勻正面朝下隨機放在桌面上．（1）從四張紙牌中隨機摸出一張，摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率是．（2）小明和小亮約定做一個游戲，其規(guī)則為：先由小明隨機摸出一張，不放回．再由小亮從剩下的紙牌中隨機摸出一張，若摸出的兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則小亮獲勝，否則小明獲勝．這個游戲公平嗎？請用列表法（或畫樹狀圖）說明理由．（紙牌用表示）若不公平，請你幫忙修改一下游戲規(guī)則，使游戲公平．【答案】(1)；(2)見解析【分析】（1）直接根據(jù)概率公式計算即可．（2）首先列表列出可能的情況，摸出的兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的結果有2種，由概率公式得出概率；得出游戲不公平；關鍵概率相等修改即可．解：（1）共有4張牌，正面是中心對稱圖形的